1. 粒子的转动惯量
考虑一个旋转粒子。质量为 m 的粒子受到力 F 的作用，绕轴 O 旋转。粒子与旋转轴的距离为 r。初始状态下，粒子静止（v = 0）。在力 F 的作用下，粒子以一定的速度运动，因此粒子具有切向加速度。力 (F)、质量 (m) 和粒子切向加速度之间的关系由公式 3 表示：
F = ma tan（公式 3）
粒子旋转，因此粒子具有角加速度。切向加速度和角加速度之间的关系由公式 4 表示：
tan = r α （公式 4）
将方程 3 中的 a 替换为方程 4 中的 a：
F = mr α
r F = mr 2 α
τ = (mr 2 ) α (公式 5)
其中，rF 为力矩，mr²为粒子的转动惯量。公式 5 描述了旋转粒子的力矩、转动惯量和角加速度之间的关系。公式 5 是旋转粒子的牛顿第二定律方程。
粒子的转动惯量是粒子的质量（m）与粒子到旋转轴的距离的平方（r² ）的乘积。
I = mr 2（公式 6）
I = 粒子的转动惯量，m = 粒子的质量，r = 粒子到旋转轴的距离。公式 6 用于确定粒子的转动惯量。
3.2 粒子转动惯量示例题
例题1.
一个质量为 2 kg 的粒子被系在一根长 0.5 m 的绳子上，然后旋转。粒子旋转时的转动惯量是多少？
解决方案：
我 = 先生2
I = (2 kg) (0.5 m) 2
I = 0.5 kg m 2
例题2.
两个质量分别为 2 kg 和 4 kg 的质点通过一根长 2 米的轻质导线连接。忽略导线的质量。求这两个质点的转动惯量，已知：
a) 旋转轴位于两个粒子之间
解决方案：
I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2
I = (2)(12) + (4)(12)
我=2+4
I = 6 kg m 2
b) 旋转轴距离质量为 2 kg 的粒子 0.5 米。
I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2
I = (2)(0.5 2 ) + (4)(1.5 2 )
I = (2)(0.25) + (4)(2.25)
我=0.5+9
I = 9.5 kg m 2
c) 旋转轴距离质量为 4 kg 的粒子 0.5 米。
I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2
I = (2)(1.52) + (4)(0.5 2 )
I = (2)(2.25) + (4)(0.25)
我=4.5+1
I = 5.5 kg m 2
根据以上计算结果，转动惯量受旋转轴位置的显著影响。即使形状和尺寸相同，但由于旋转轴位置不同，转动惯量也会不同。
靠近旋转轴的粒子转动惯量较小，而远离旋转轴的粒子转动惯量较大。如果我们假设上述两个粒子都是刚体，那么每个粒子都靠近旋转轴。
它的转动惯量小于距离旋转轴较远的粒子的转动惯量。
3.3 均质刚体的转动惯量
刚体由许多粒子组成。刚体的转动惯量是构成该刚体的每个粒子的转动惯量之和。
I = Σ mr 2
I = m1 r12 + 米2 r22 + 米3 r32 + ….. + mn rn2
要确定刚体的转动惯量，我们需要考察物体旋转时的状态，因为旋转轴的位置会影响物体的转动惯量。每个质点的转动惯量 (I) 还取决于质点的质量 (m) 以及质点到旋转轴距离的平方 (r² )。构成物体的所有质点的质量之和即为物体的质量。
问题是，每个粒子到旋转轴的距离都不相同。
复习具有 R 个指片和 M 个质量的细环的转动惯量公式的减小情况。
如果旋转轴位于环的中心，则薄环的所有质点都位于旋转轴的正上方。薄环的转动惯量等于所有质点转动惯量的总和：
I = Σ mr2
I = m1 r12 + 米2 r22 + 米3 r32 + ….. + mn rn2
所有粒子的质量 = 细环的质量 (M)
I = M (r 1 2 + r 2 2 + r 3 2 + ….. + rn 2 )
细环上的每个粒子到旋转轴的距离均为 r，因此r₁ = r₂ = r₃ = rn = R
薄环转动惯量的方程：
I = MR 2
I = 细环的转动惯量，M = 细环的质量，R = 细环的半径。
如果旋转轴不在环的中心怎么办？如果旋转轴不在环的中心，则无法用上述方法推导出薄环的转动惯量公式。
因为每个粒子到旋转轴的距离都不同。本文不讨论此类问题的转动惯量公式推导。
某些刚体的转动惯量公式
3.4 均匀刚体转动惯量示例题
例题1：
杆状圆柱体AB绕B点旋转时的质量为3千克，
转动惯量为 27 kg·m² 。如果……，转动惯量是多少？
旋转经过 C？
解决方案：
解决方案：
均质实心杆的转动惯量公式（旋转轴位于杆的中心）：
I = 1/12 毫升2
27 = (1/12) 毫升2
(27)(12) = ML 2
324 = ML 2
均质实心杆（旋转轴位于杆的边上）转动惯量的计算公式：
I = 1/3 毫升2
I = 1/3 (324)
I = 108 kg m 2
