利用单位向量分量进行点乘法运算
如果我们知道向量A和B的 x、y 和 z 分量（已知向量），我们可以直接计算标量积。
为了以这种方式进行点积运算，我们首先对单位向量进行点积运算，然后将向量A和B表示为它们的分量，分解乘积并使用单位向量的乘积。
单位向量i、j和k互相垂直，这使得计算更加容易。利用上面推导出的标量乘法方程（AB = AB cos θ），我们得到：
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 ° = 0
现在我们将向量 A 和 B 用它们的分量表示，分解它们的乘积，并使用单位向量的乘积。
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
林嘉欣 i . i = j . j = k . k = 1 和 i . j = i . k = j . k = 0，则：
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A · B = A × B × (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
根据该计算结果可以得出结论：两个向量的标量积或点积等于它们相同分量的乘积之和。
例题 1：
大向量 A 担 B 如图所示，这两个角分别为5和4。它们形成的夹角为90度。o数一数 点积 两个向量。
讨论
在计算向量 A 和 B 的点积之前，我们首先需要知道第二个向量的分量。
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
向量A仅在 x 轴方向上有分量，向量B仅在 y 轴方向上有分量。由于向量A和B位于 xy 平面内，因此 z 分量为零。
现在我们使用分量向量的点积公式来计算向量A和B的点积：
一种 。 B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
让我们把它与第一种方法进行比较。
AB = AB cos θ
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
结果是一样的。
例题 2：
大向量 A 担 B 如图所示，x 和 y 分别为 5 和 4。计算： 点积 这两个向量，如果它们形成的夹角为 30 度。o
讨论
在计算向量 A 和 B 的点积之前，我们首先需要知道第二个向量的分量。
因为向量A和B位于 xy 平面内，所以 z 分量为零。
现在我们使用分量向量的点积公式来计算向量A和B的点积：
与第一种方法进行比较。
