Ọ̀nà Àwọn Onígun Méjì Kéré Jùlọ: Ìṣàyẹ̀wò Púpọ̀
Ọ̀nà Least Squares jẹ́ ọ̀kan lára àwọn ọ̀nà ìpìlẹ̀ jùlọ nínú ìṣàyẹ̀wò ìfàsẹ́yìn ìṣirò, ó ń kó ipa pàtàkì nínú ìṣàfihàn dátà, àwòṣe, àti ìṣàyẹ̀wò àsọtẹ́lẹ̀. Ó jẹ́ ọ̀nà ìṣirò tí ó ń dín àròpọ̀ àwọn onígun mẹ́rin ti ìyàtọ̀ láàárín àwọn iye tí a rí àti èyí tí a sọtẹ́lẹ̀ kù. Nípa ṣíṣe bẹ́ẹ̀, ó ń pèsè ìlà tàbí ìlà tí ó báramu jùlọ sí àkójọ àwọn ojú ìtọ́ka dátà kan. Nínú àpilẹ̀kọ yìí, a ó ṣe àwárí àwọn ìpìlẹ̀, àwọn ìlò, àwọn ìyọrísí, àti àwọn ààlà ti Ọ̀nà Least Squares.
Itan itan abẹlẹ
Carl Friedrich Gauss ló kọ́kọ́ ṣe àgbékalẹ̀ Ọ̀nà Least Squares ní ọdún 1795 nígbà tí ó wà ní ọmọ ọdún 18, bó tilẹ̀ jẹ́ pé wọn kò tẹ̀ ẹ́ jáde títí di ọdún 1809. Adrien-Marie Legendre, onímọ̀ ìṣirò mìíràn tó gbajúmọ̀, dá ọ̀nà kan náà sílẹ̀ fúnra rẹ̀ ní ọdún 1805. Láìka èyí sí, àkọsílẹ̀ Gauss àti ìfẹ̀sí ọ̀nà náà ló fi ìpìlẹ̀ lélẹ̀ fún lílo òde òní.
Ipilẹ Mathematiki
Ní ọ̀nà tó rọrùn jùlọ, a lo Ọ̀nà Least Squares láti fi àpẹẹrẹ onílà kan sí àkójọ àwọn ojú ìwádìí dátà kan. Nítorí àkójọ àwọn ojú ìwádìí dátà `n` \((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)\, góńgó náà ni láti wá ìlà \(y = mx + c\) tí ó dín àròpọ̀ àwọn onígun mẹ́rin ti àwọn ìjìnnà inaro (àwọn ìṣẹ́kù) láàrín àwọn iye \(y_i\) tí a ṣàkíyèsí àti àwọn iye tí ìlà \(\hat{y}_i\ sọtẹ́lẹ̀).
Ní ti ìṣirò, a lè ṣe àfihàn ète yìí gẹ́gẹ́ bí:
\[ S = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y}_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + c))^2 \]
Ìgbékalẹ̀ yìí dúró fún àròpọ̀ àwọn onígun mẹ́rin ti àwọn àṣẹ́kù, \(S\), àti pé góńgó wa ni láti rí àwọn iye \(m\) (ìtẹ̀sí) àti \(c\) (ìdènà) tí ó dín \(S\) kù.
Itọjade
Láti rí àwọn iye \(m\) àti \(c\) tí ó dín àròpọ̀ àwọn onígun mẹ́rin \(S\) kù, a mú àwọn ìdámọ̀ràn apa kan ti \(S\) ní ìbámu pẹ̀lú \(m\) àti \(c\) a sì ṣètò wọn sí òdo.
1. Àkójọpọ̀ ìpín nípa \(m\):
\[ \frac{\partial S}{\partial m} = \sum_{i=1}^{n} 2(y_i – (mx_i + c))(-x_i) = 0 \]
2. Àkójọpọ̀ ìpín nípa \(c\):
\[ \frac{\partial S}{\partial c} = \sum_{i=1}^{n} 2(y_i – (mx_i + c))(-1) = 0 \]
Ṣíṣe àtúnṣe àwọn ìdọ́gba ìṣọ̀kan yìí yóò mú kí àwọn ìdọ́gba déédé wáyé:
\[ m = \frac{n(\sum x_i y_i) – (\sum x_i)(\sum y_i)}{n (\sum x_i^2) – (\sum x_i)^2} \]
\[ c = \frac{(\sum y_i)(\sum x_i^2) – (\sum x_i)(\sum x_i y_i)}{n(\sum x_i^2) – (\sum x_i)^2} \]
Àwọn ìṣirò wọ̀nyí fún wa ní àwọn iye ti \(m\) àti \(c\) tí ó dín iye àwọn àṣẹ́kù onígun mẹ́rin kù.
ohun elo
Ọ̀nà Least Squares ní àwọn ohun èlò tó gbòòrò lórí onírúurú agbègbè:
1. Eto-ọrọ-aje ati Isuna: A lo lati ṣe apẹẹrẹ ati asọtẹlẹ awọn itọkasi eto-ọrọ-aje gẹgẹbi GDP, awọn oṣuwọn afikun, ati awọn idiyele ọja.
2. Imọ-ẹrọ: A lo ninu sisẹ ifihan agbara, awọn eto iṣakoso, ati idanwo igbẹkẹle lati baamu awọn awoṣe si data ti o ni imọran.
3. Oògùn: Ó ń ran àwọn ìpele ìdàgbàsókè, ìpele ìdáhùn ìwọ̀n, àti àwọn ìlànà ìṣẹ̀dá mìíràn lọ́wọ́ láti fi àwọn ìwádìí ìwádìí kún un.
4. Ẹ̀kọ́ Ẹ̀rọ: Àwọn àwòṣe ìfàsẹ́yìn onílànà, tí wọ́n sábà máa ń lo Ọ̀nà Least Squares fún ìṣirò paramita, jẹ́ ìpìlẹ̀ nínú àwọn ọ̀nà ẹ̀kọ́ tí a ń ṣàkóso.
5. Ìràwọ̀: Gauss lo ìtàn láti ṣírò bí àwọn ohun tí ó wà ní ojú ọ̀run ṣe ń yípo.
Awọn iyatọ ati awọn amugbooro
1. Àwọn Onígun Méjì Tó Tóbi Jùlọ: Ní àwọn ọ̀ràn tí àwọn àkíyèsí bá ní ìyàtọ̀ tó yàtọ̀ síra, Àwọn Onígun Méjì Tó Tóbi Jùlọ máa ń pín àwọn ìwọ̀n sí ojú ìwé dátà kọ̀ọ̀kan, èyí sì máa ń dín iye àwọn onígun Méjì kù.
2. Àwọn Onígun mẹ́rin tí kìí ṣe onígun mẹ́rin: Ó ń fẹ̀ ọ̀nà náà sí i láti bá àwọn àwòṣe tí kìí ṣe onígun mẹ́rin mu, nígbà míìrán nípasẹ̀ àwọn ọ̀nà ìyípadà bíi àwọn àlòrí Gauss-Newton tàbí Levenberg-Marquardt.
3. Àwọn Onígun Méjì Tí A Ṣètò (Ìfàsẹ́yìn Ríjì): Ó ń fi ọ̀rọ̀ ìyà kan kún iye àwọn onígun Méjì láti dènà ìfàsẹ́yìn jù, pàápàá jùlọ nígbà tí a bá ń bá àwọn onígun Méjì lò.
4. Àwọn Onígun mẹ́rin tí a ti ṣàkóso: Àwọn àkọsílẹ̀ fún àwọn àkíyèsí tí ó sopọ̀ mọ́ra, tí ó ń fa ọ̀nà onígun mẹ́rin tí ó kéré jùlọ láti kojú àwọn àṣìṣe aláfọwọ́ṣe àti àwọn àṣìṣe tí ó yàtọ̀ síra.
Awọn irinṣẹ Iṣiro
Oniruuru awọn irinṣẹ sọfitiwia ati awọn agbegbe siseto nfunni ni awọn iṣẹ ti a ṣe sinu fun ṣiṣe atunṣe awọn onigun mẹrin ti o kere julọ:
1. Python: Àwọn ilé ìkàwé bíi NumPy àti SciPy ń pese àwọn iṣẹ́ `numpy.linalg.lstsq` àti `scipy.optimize.curve_fit` fún ìbáramu àwọn onígun mẹ́rin tó kéré jùlọ ní ìlà àti tí kì í ṣe onílà, lẹ́sẹẹsẹ.
2. R: Àwọn iṣẹ́ bíi `lm()` fún àwọn àwòṣe ìlà àti `nls()` fún àwọn àwòṣe tí kìí ṣe ìlà ní àyíká ìṣirò pípéye ti R.
3. MATLAB: A lo iṣẹ́ `lsqcurvefit` nínú MATLAB fún ìbáramu tí kì í ṣe ti ìlà, pẹ̀lú àtìlẹ́yìn tí a ṣe sínú rẹ̀ fún àwọn iṣẹ́ aljebra onílànà.
idiwọn
Bí ó tilẹ̀ jẹ́ pé ó wúlò dáadáa, Ọ̀nà Least Squares ní àwọn ààlà:
1. Ìfaramọ́ sí Àwọn Àìsí: Àwọn Ààmì kékeré ní ìmọ̀lára púpọ̀ sí àwọn àìsí, nítorí pé ọ̀rọ̀ onígun mẹ́rin náà ń mú kí ipa àwọn àìsí ńlá pọ̀ sí i.
2. Ìrònú nípa Ìlànà: Ó gbà pé ìbáṣepọ̀ onílà kan wà láàárín àwọn oníyípadà, èyí tí ó lè má jẹ́ òótọ́ fún àwọn ìwádìí onípele.
3. Àwọn Ìṣòro Onírúurú Ìṣọ̀kan: Nínú ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìfàsẹ́yìn ìlà, onírúurú ìṣọ̀kan láàrín àwọn onírúurú àsọtẹ́lẹ̀ lè yí ìṣirò àwọn onírúurú padà.
4. Ìbáramu ti Ìyàtọ̀ (Ìbáramu): Ó gbà pé ìyàtọ̀ ti àwọn ọ̀rọ̀ àṣìṣe dúró ṣinṣin ní gbogbo àwọn àkíyèsí, èyí tí ó lè má jẹ́ bẹ́ẹ̀ nígbà gbogbo.
ipari
Ọ̀nà Least Squares, bó tilẹ̀ jẹ́ pé ó ti pẹ́ tó, ṣì jẹ́ ohun pàtàkì nínú ìṣàyẹ̀wò àti ṣíṣe àwòṣe ìwádìí lórí ìwádìí àti ìṣàwòṣe. Ìrọ̀rùn rẹ̀, ìṣeéṣe rẹ̀, àti àyípadà rẹ̀ sí onírúurú ìrísí, láti ìpìlẹ̀ ìfàsẹ́yìn ìlà sí àwọn àwòṣe tí kò ní ìlà àti gbogbogbòò, mú kí ó ṣe pàtàkì. Lílóye àwọn ìpìlẹ̀ ìṣirò rẹ̀, àwọn ìlò rẹ̀, àti àwọn ààlà rẹ̀ ṣe pàtàkì fún ẹnikẹ́ni tí ó bá ní ipa nínú ìṣàyẹ̀wò dátà, ní rírí i dájú pé a lo ọ̀nà náà dáadáa láti gba àwọn òye tó ní ìtumọ̀. Yálà ní ilé-ẹ̀kọ́ gíga tàbí ní ilé-iṣẹ́, Ọ̀nà Least Squares ṣì jẹ́ ohun èlò tó lágbára fún òye àwọn ìbáṣepọ̀ láàárín dátà àti ṣíṣe àwọn àsọtẹ́lẹ̀ tó ní ìmọ̀.
