הקדמה צו פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג
סטאַטיסטיק איז אַן אומפֿאַרמיידלעך געצייַג אין פֿאַרשידענע דיסציפּלינעס ווי עקאָנאָמיק, ביאָלאָגיע, אינזשעניריע און געזעלשאַפֿטלעכע וויסנשאַפֿטן. איינער פֿון די וויכטיקע אַספּעקטן פֿון סטאַטיסטיק איז וואַרשיינלעכקייט פֿאַרשפּרייטונגען, וואָס באַשרײַבן די ליקעליהאָאָד פֿון פֿאַרשידענע רעזולטאַטן. צווישן די פֿאַרשפּרייטונגען איז די פּואַסאָן פֿאַרשפּרייטונג באַדײַטנדיק אין סצענאַרן וואָס אַרייַננעמען דאָס ציילן פֿון געשעענישן איבער פֿיקסירטע אינטערוואַלן. דער אַרטיקל האָט די כוונה צו צושטעלן אַ טיפֿן פֿאַרשטאַנד פֿון דער פּואַסאָן פֿאַרשפּרייטונג, אירע אייגנשאַפֿטן, אַפּליקאַציעס און באַטײַט אין סטאַטיסטישער אַנאַליז.
איבערבליק פון פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג
גערופן נאך דעם פראנצויזישן מאטעמאטיקער סימעאן-דעניס פואסאן, איז די פואסאן פארטיילונג א דיסקרעטע ווארשיינליכקייט פארטיילונג וואס אויסדריקט די ווארשיינליכקייט פון א געגעבענע צאל געשעענישן וואס פאסירן אין א פעסטן צייט אדער פלאץ אינטערוואל. דער אינטערוואל קען זיין אלעס: א ספעציפישע פעריאד, א געוויסע שטח, א לענג, אדער אפילו א פארנעם. דער קריטישער פונקט איז אז די געשעענישן זאלן פאסירן אומאפהענגיק פון יעדן אנדערן און מיט א קאנסטאנטן דורכשניטלעכן ראטע.
מאַטאַמאַטיקאַל פאָרמולאַטיאָן
די פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג ווערט כאַראַקטעריזירט דורך אַן איינציקן פּאַראַמעטער, λ (לאַמבדאַ), וואָס רעפּרעזענטירט די דורכשניטלעכע צאָל געשעענישן אין דעם געגעבענעם אינטערוואַל. די וואַרשיינלעכקייט מאַסע פונקציע (PMF) פון דער פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג ווערט געגעבן דורך:
[P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]
ווו:
– \(P(X = k) \) איז די וואַרשיינלעכקייט פון באַאָבאַכטן \(k \) געשעענישן אין דעם אינטערוואַל.
– λ (לאַמבדאַ) איז די דורכשניטלעכע צאָל געשעענישן.
– \(e \) איז די באַזע פֿון דעם נאַטירלעכן לאָגאַריטם, אַפּראָקסימאַטיוו גלייך צו 2.71828.
– \(k \) איז די צאָל געשעענישן (וואָס קענען זיין 0, 1, 2, 3,…).
– \(k! \) איז דער פאַקטאָריאַל פֿון \(k \).
דער דורכשניט פון דער פּואַסאָן דיסטריביוציע איז λ, און די וואַריאַנס איז אויך λ. די גלייכקייט פון דורכשניט און וואַריאַנס איז איינע פון די הויפּט פֿעיִקייטן וואָס אונטערשיידט די פּואַסאָן דיסטריביוציע פון אַנדערע דיסטריביוציעס.
אייגנשאפטן פון פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג
1. דיסקרעטקייט: די פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג איז דיסקרעט, דאָס הייסט אַז זי באַהאַנדלט געשעענישן וואָס קענען נאָר פּאַסירן אין גאַנצע נומערן. למשל, איר קענט ציילן די צאָל אימעילס וואָס מען באַקומט אין אַ שעה, אָבער נישט אַ בראָכצאָל פון אַן אימעיל.
2. אומאפהענגיקייט: געשעענישן זענען אומאפהענגיק איינע פון די אנדערע. די אויפטרעטונג פון איין געשעעניש ווירקט נישט אויף די ווארשיינליכקייט פון אן אנדער געשעעניש.
3. קאנסטאנציע פון ראטע: די ראטע מיט וועלכער געשעענישן פאסירן איז קאנסטאנט איבער צייט. דאס מיינט אז λ ענדערט זיך נישט איבער דעם אינטערוואל וואס ווערט באטראכט.
4. נישט-געקלאסטערט: געשעענישן אין א פואסאן פראצעס פאסירן נישט אין דער זעלבער צייט און זענען נישט געקלאסטערט. די ווארשיינליכקייט פון מער ווי איין געשעעניש וואס פאסירט אין אן אומענדלעך קליינעם אינטערוואל איז כמעט נול.
אַפּליקאַציעס פון פּואַסאָן דיסטריביושאַן
די ווערסאַטילאַטי פון די פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג מאכט עס אָנווענדלעך אין פאַרשידענע פאַקטישע סצענאַרן, אַרייַנגערעכנט אָבער נישט לימיטעד צו:
1. טעלעקאָמוניקאַציע: עס ווערט גענוצט צו מאָדעלירן די צאָל טעלעפאָן רופן וואָס ווערן באַקומען אין אַ רוף צענטער אין אַ שעה אָדער די צאָל מעסעדזשעס וואָס ווערן באַקומען דורך אַ נעץ סערווער.
2. ביאלאגיע און מעדיצין: די פארשפרייטונג קען באשרייבן געשעענישן ווי די צאל מוטאציעס אין א שטריק פון דנ״א איבער א באשטימטע צייט אדער די צאל פאציענטן וואס קומען אן אין א קליניק.
3. קוואַליטעט קאָנטראָל: אין מאַנופאַקטורינג, עס העלפֿט צו פֿאַרשטיין די צאָל חסרונות אין אַ פּעקל פּראָדוקטן.
4. טראַנספּאָרטאַציע: עס ווערט גענוצט צו מאָדעלירן די צאָל קאַרס וואָס פאָרן דורך אַ טאָל בודקע אין אַ געגעבענער צייט ראַם אָדער די אָפטקייט פון אַקסידענטן אויף אַ שטיק וועג.
5. פארברעכן אנאליז: אנאליסטן ניצן עס צו פאראויסזאגן די צאל פארברעכנס וואס פאסירן אין א באשטימטן געגנט איבער א חודש.
יללוסטראַטיוו בייַשפּיל
לאָמיר זאָגן אַז אַ בוך־קראָם באַקומט דורכשניטלעך 3 קלאָגעס פּער טאָג. מיר ווילן געפֿינען די וואַרשיינלעכקייט צו באַקומען 5 קלאָגעס אין אַ טאָג.
ניצנדיק די פּואַסאָן פֿאָרמולע: \[ P(X = 5) = \frac{e^{-3} 3^5}{5!} \]
אויסרעכענען דאס שריט ביי שריט:
– \( e^{-3} \אומגעפער 0.0498 \)
– \( 3^5 = 243 \)
– \( 5! = 120 \)
אַלזאָ, [P(X = 5) = 0.0498 × 243}{120} איז אַפּפּראָקס 0.1008.]
די בוך-געשעפט האט בערך א 10.08% שאנס צו באקומען פונקט 5 קלאגעס אין א טאג.
באַציִונג מיט אַנדערע פאַרשפּרייטונגען
די פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג איז ענג פֿאַרבונדן מיט אַנדערע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען, אַזאַ ווי:
1. עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג: די צייט צווישן קאָנסעקוטיווע געשעענישן אין אַ פּואַסאָן פּראָצעס פֿאָלגט אַן עקספּאָנענציעלע פאַרשפּרייטונג מיט פּאַראַמעטער \( \lambda \).
2. בינאָמיאַלע פאַרשפּרייטונג: פֿאַר אַ גרויסע צאָל פּראָבעס און אַ קליינע וואַרשיינלעכקייט פֿון הצלחה, קען מען אַפּראָקסימירן די בינאָמיאַלע פאַרשפּרייטונג דורך דער פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג. ספּעציפֿיש, אויב \(n \) איז גרויס, \(p \) איז קליין, און \(np = λ \) בלייבט קאָנסטאַנט, דעמאָלט \( \lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} p^k(1 – p)^{n – k} = \frac{e^{-λ} λ^k}{k!} \).
לימיטאַטיאָנס
כאָטש שטאַרק, האט די פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג לימיטאַציעס. איין הויפּט הנחה איז די קאָנסטאַנטקייט פון , וואָס קען נישט האַלטן אין פאַקטישע סצענאַרן וואו דער ראַטע פּאַראַמעטער קען זיך ענדערן מיט דער צייט. אויב די אומאָפּהענגיקייט פון געשעענישן ווערט ווייאַלייטיד, אָדער געשעענישן השפּעה האָבן איינער אויף דעם אַנדערן, קען דער פּואַסאָן מאָדעל נישט זיין פּאַסיק.
סאָף
די פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג איז אַ יסודותדיק געצייַג אין סטאַטיסטיק, וואָס אָפפערט טיפע איינזיכטן אין סצענאַרן וואו געשעענישן פּאַסירן זעלבשטענדיק מיט אַ קאָנסטאַנטן טעמפּאָ. אירע ברייטע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער און קאָמפּאַטאַביליטי מיט אַנדערע פאַרשפּרייטונגען אונטערשטרייכן איר נוצלעכקייט. פֿאַרשטיין אירע גרונטלעכע אייגנשאַפֿטן, מאַטעמאַטישע פֿאָרמולאַציע און פּראַקטישע אַפּליקאַציעס באַוואָרנט סטאַטיסטיקער און פֿאָרשער מיט אַ שטאַרקן מאָדעל פֿאַר אַנאַליזירן דיסקרעטע געשעענישן. צי איר פירט אַ רוף צענטער, קאָנטראָלירט פּראָדוקציע קוואַליטעט, אָדער אַנאַליזירט ביאָלאָגישע דאַטן, די פּואַסאָן פאַרשפּרייטונג באַווייַזט זיך צו זיין אַן אַנשאַצבאַרער אַסעט אין אייער סטאַטיסטישער געצייַגקאַסטן.
