Atalet momenti

1. Zarrachaning inersiya momenti

Aylanuvchi zarrachani ko'rib chiqing. Massasi m bo'lgan zarrachaga F kuchi beriladi, shunda zarracha O o'qi atrofida aylanadi. Zarracha aylanish o'qidan r masofada joylashgan. Birinchidan, zarracha tinch holatda bo'ladi (v = 0). F kuchi bilan harakatlangandan so'ng, zarrachalar tangensial tezlanishga ega bo'lishi uchun ma'lum bir tezlikda harakatlanadi. Kuch (F), massa (m) va zarrachalarning tangensial tezlanishi o'rtasidagi bog'liqlik 3-tenglama bilan ifodalanadi:

F = ma _tan (3-tenglama)

Zarrachalar burchak tezlanishiga ega bo'lishi uchun aylanadi. Tangensial tezlanish va burchak tezlanishi o'rtasidagi bog'liqlik 4-tenglama bilan ifodalanadi:

a _tan = r α (4-tenglama)

3-tenglamadagi a ni 4-tenglamadagi a ga almashtiring:

F = janob α

r F = janob ² α

τ = (mr2 ⁾ α (5-tenglama)

r F kuch momenti va mr ² zarrachaning inersiya momentidir. 5-tenglama aylanuvchi zarrachalarning kuch momenti, inersiya momenti va burchak tezlanishi o'rtasidagi bog'liqlikni bildiradi. 5-tenglama aylanuvchi zarrachalar uchun Nyutonning ikkinchi qonunining tenglamasidir.

Zarrachaning inersiya momenti zarracha massasi (m) va aylanish o'qi (r2) bilan zarrachalar orasidagi masofaning kvadratiga ^ko'paytmadir.

I = mr ² (6-tenglama)

I = zarrachaning inersiya momenti, m = zarrachaning massasi, r = zarracha va aylanish o'qi orasidagi masofa. 6-tenglama zarrachaning inersiya momentini aniqlash uchun ishlatiladi.

3.2 Zarrachaning inersiya momentiga oid namunaviy masalalar

1-namunaviy muammo.

Massasi 2 kg bo'lgan zarracha 0.5 metr uzunlikdagi arqonga bog'langan va keyin aylantirilgan. Aylanish paytida zarrachalarning inersiya momenti qanday?

Qarori:

Men = Janob ²

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg ^m2

2-namunaviy muammo.

Har biri 2 kg va 4 kg massaga ega bo'lgan ikkita zarracha yengil sim bilan bog'langan, bu yerda simning uzunligi 2 metr. Simlarning massasini hisobga olmang. Agar quyidagi bo'lsa, ikkita zarrachaning inersiya momentini aniqlang:

a) Aylanish o'qi ikki zarracha orasida joylashgan

Qarori:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg ^m2

b) Aylanish o'qi 2 kg massali zarrachadan 0.5 metr masofada joylashgan

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m2

c) Aylanish o'qi 4 kg massali zarrachadan 0.5 metr masofada joylashgan

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m2

Yuqoridagi hisob-kitoblar natijalariga ko'ra, inersiya momenti aylanish o'qining joylashuviga kuchli ta'sir qiladi. Aylanish o'qining joylashuvi har xil bo'lgani uchun shakli va o'lchami bir xil bo'lsa-da, inersiya momenti ham har xil.

Aylanish o'qiga yaqin zarrachalarning inersiya momenti kichikroq, aylanish o'qidan uzoqda joylashgan zarrachalarning inersiya momenti esa kattaroq. Agar yuqoridagi ikkita zarracha qattiq jism deb faraz qilsak, unda har bir zarracha aylanish o'qiga yaqin.

aylanish o'qidan uzoqroqdagi zarrachaning inersiya momentidan kichikroq inersiya momentiga ega.

3.3 Bir jinsli qattiq jismning inersiya momenti

Qattiq jismlar ko'plab zarrachalardan iborat. Qattiq jismning inersiya momenti - bu jismni quruvchi har bir zarrachaning inersiya momentlarining umumiy soni.

I = Σ janob ²

Men = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Qattiq jismning inersiya momentini aniqlash uchun biz jism aylanganda uni ko'rib chiqishimiz kerak, chunki aylanish o'qining joylashuvi jismning inersiya momentiga ta'sir qiladi. Har bir zarrachaning inersiya momenti (I) shuningdek, zarrachaning massasiga (m) va zarrachaning aylanish o'qidan masofasining kvadratiga (r2) bog'liq ^. Jismni tashkil etuvchi barcha zarrachalarning massasi jismning massasidir.

Muammo shundaki, har bir zarrachaning aylanish o'qidan masofasi har xil bo'ladi.

Barmoqlari R va massasi M bo'lgan ingichka halqaning inersiya momenti formulasining pasayishini ko'rib chiqing.

Agar aylanish o'qi halqaning markazida joylashgan bo'lsa, yupqa halqaning barcha zarralari aylanish o'qidan joylashgan. Yupqa halqaning inersiya momenti barcha zarralarning inersiya momentiga teng:

I = Σ mr²

Men = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Barcha zarrachalarning massasi = yupqa halqaning massasi (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

Yupqa halqaning har bir zarrasi aylanish o'qidan r masofada joylashgan, ya'ni r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

Yupqa halqaning inersiya momenti tenglamasi:

I = MR ²

I = yupqa halqaning inersiya momenti, M = yupqa halqaning massasi, R = yupqa halqaning radiusi.

Agar aylanish o'qi halqaning markazida joylashgan bo'lmasa-chi? Agar aylanish o'qi halqaning markazida joylashgan bo'lmasa, yupqa halqaning inersiya momenti formulasini yuqoridagi usul yordamida chiqarib bo'lmaydi,

chunki har bir zarrachaning aylanish o'qidan masofasi har xil. Bunday masala uchun inersiya momenti formulasini chiqarish bu mavzuda muhokama qilinmaydi.

Ba'zi qattiq jismlar uchun inersiya momentining formulasi

3.4 Bir jinsli qattiq jismning inersiya momentining namunaviy masalasi

1-namunaviy muammo:

AB silindrining sterjenining B orqali aylantirilganda massasi 3 kg ga teng,

inersiya momenti 27 kg m2 ga teng ^. Agar inersiya momenti qanday bo'lsa

C orqali aylantirildi?

Qarori:

Qarori:

Bir hil qattiq sterjen uchun inersiya momentining formulasi (aylanish o'qi sterjenning markazida joylashgan):

I = 1/12 ML ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Bir hil qattiq sterjenning inersiya momentining formulasi (sterjen chetidagi aylanish o'qi):

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m2