Birlik vektor komponentlaridan foydalangan holda nuqtali koʻpaytma

Birlik vektor komponentlaridan foydalangan holda nuqta ko'paytirish materiali

Agar biz A va B vektorlarining x, y va z komponentlarini (ma'lum vektorlar) bilsak, skalyar ko'paytmani to'g'ridan-to'g'ri hisoblashimiz mumkin.

Nuqtali ko'paytmani shu tarzda bajarish uchun avval birlik vektorlarning nuqtali ko'paytmasini bajaramiz, shundan so'ng A va B vektorlarini ularning komponentlarida ifodalaymiz, ko'paytmani parchalaymiz va birlik vektorlarining ko'paytmasidan foydalanamiz.

i , j va k birlik vektorlari bir-biriga perpendikulyar bo'lib, bu hisoblashlarni osonlashtiradi. Yuqorida olingan skalyar ko'paytirish tenglamasidan ( AB = AB cos teta ) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

i.i = j.j = k.k = (1)(1) cos 0 = 1

i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 ^o = 0

Endi biz A va B vektorlarini ularning komponentlari orqali ifodalaymiz, ularning ko'paytmasini parchalaymiz va birlik vektorlarining ko'paytmasidan foydalanamiz.

A . B = A_xi . B_xi + A_xi . B_yj + A_xi . B_zk +

A_yj . B_xi + A_yj . B_yj + A_yj . B_zk +

A_zk . B_xi + A_zk . B_yj + A_zk . B_zk

A . B = A_xB_x (i . i) + A_xB_y (i . j) + A_x B_z (i . k) +

A_yB_x (j . i) + A_yB_y (j . j) + A_yB_z (j . k) +

A_zB_x (k . i) + A_zB_y (k . j) + A_zB_z (k . k)

Karena i . i = j . j = k . k = 1 va i . j = i . k = j . k = 0, keyin:

A . B = A_xB_x (1) + A_xB_y (0) + A_x B_z (0) +

A_yB_x (0) + A_yB_y (1) + A_yB_z (0) +

A_zB_x (0) + A_zB_y (0) + A_zB_z (1)

A. B = A _x B _x (1) + 0 + 0 +

0 + A _y By _y (1) + 0 +

0 + 0 + A _z B _z (1)

_A . B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

Ushbu hisoblash natijalariga asoslanib, ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi yoki nuqta ko'paytmasi ularning o'xshash komponentlarining ko'paytmalari yig'indisi degan xulosaga kelish mumkin.

1-namuna savol:

Katta vektor A dan B mos ravishda 5 va 4 ga teng, quyidagi rasmda ko'rsatilgandek. Hosil bo'lgan burchak 90 ga teng.^oHisoblang nuqtali mahsulot ikkala vektor ham.

Munozara

A va B vektorlarining nuqtali ko'paytmasini hisoblashdan oldin, avval ikkinchi vektorning komponentlarini bilishimiz kerak.

A _x = (5) cos 0 ^o = (5) (1) = 5

A _y = (5) sin 0 ^o = (5) (0) = 0

A _z = 0

B _x = (4) cos 90 ^o = (4) (0) = 0

B _y = (4) sin 90 ^o = (4) (1) = 4

Bz = ₀

A vektori faqat x o'qida vektor komponentlariga, B vektori esa faqat y o'qida vektor komponentlariga ega. z komponenti nolga teng, chunki A va B vektorlari xy tekisligida joylashgan.

Endi komponent vektorlari bilan nuqta ko'paytma tenglamasidan foydalanib, A va B vektorlari orasidagi nuqta ko'paytmasini hisoblaymiz :

_A. B = A_x B_x + A_yB_y + A_zB_z

A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0

A. B = 0 + 0 + 0

A. B = 0

Keling, buni birinchi usul bilan taqqoslaylik

AB = AB cos teta

AB = (4)(5) cos 90

AB = (4) (5) (0)

AB = 0

Natija bir xil.

2-namuna savol:

^{Katta vektor} A dan B quyidagi rasmda ko'rsatilgandek, mos ravishda 5 va 4 ga teng. Hisoblang. nuqtali mahsulot ikkala vektor ham, agar hosil bo'lgan burchak 30 ga teng bo'lsa^o

Munozara

A va B vektorlarining nuqtali ko'paytmasini hisoblashdan oldin, avval ikkinchi vektorning komponentlarini bilishimiz kerak.

z komponenti nolga teng, chunki A va B vektorlari xy tekisligida joylashgan.

Endi komponent vektorlari bilan nuqta ko'paytma tenglamasidan foydalanib, A va B vektorlari orasidagi nuqta ko'paytmasini hisoblaymiz :

Birinchi usul bilan solishtiring.