Algebraik funksiyaning hosilasi bo'yicha muhokama savoliga misol
Kalkulyatordagi hosila funksiyaning qanday o'zgarishini yoki funksiyaning bir nuqtadagi qiyaligini tasvirlash uchun ishlatiladigan asosiy tushunchadir. Hosilalar fizika, iqtisodiyot va muhandislik kabi turli sohalarda foydalidir, chunki ular o'zgarish tezligi haqida ma'lumot beradi. Ushbu maqolada biz algebraik funksiyalarning hosilalarining bir nechta misollarini va ularni qanday yechishni muhokama qilamiz.
1-misol: Polinom funksiyasining hosilasi
Savol: \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) funksiyasi berilgan. Funksiyaning hosilasini aniqlang!
Yechim:
Polinom funksiyalari uchun hosilalarning asosiy qoidasidan, ya'ni \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) foydalanib, funksiyaning har bir hadining hosilasini birma-bir hisoblaymiz.
\[
\begin{align}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) va = 9x^2 – 10x + 2.
\end{align}
\]
Demak, \(f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) ning hosilasi \(f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) ga teng.
2-misol: Kasr ko'rsatkichlari bilan funksiyaning hosilasi
Savol: \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) funksiyasining hosilasini aniqlang.
Yechim:
Xuddi shu hosila qoidasidan foydalanib, ya'ni \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align}
g(x) va= x^{3/2} + x^{1/2} \\
$ g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) $$
$ g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} $
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align}
\]
Demak, \(g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) ning hosilasi \(g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \) ga teng.
3-misol: Eksponensial va trigonometrik funksiyalarning hosilalari
Savol: \(h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) funksiyasining hosilasini aniqlang.
Yechim:
Bu hosilani yechish uchun bizga \((uv)' = u'v + uv'\) deb aytilgan Ko'paytma qoidasi kerak. Faraz qilaylik, \(u(x) = e^x \) va \(v(x) = \sin(x) \), keyin:
\[
\begin{align}
u'(x) &= e^x, & \text{chunki } e^x \text{ ning hosilasi } e^x \\ ga teng
v'(x) &= \cos(x), & \text{chunki } \sin(x) \text{ ning hosilasi } \cos(x) ga teng.
\end{align}
\]
Mahsulotlar uchun olingan qoidadan foydalanish:
\[
\begin{align}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align}
\]
Demak, \(h(x) = e^x \sin(x) \) ning hosilasi \(h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
4-misol: Zanjir qoidasidan foydalanib funksiyaning hosilasi
Savol: \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) funksiyasining hosilasini aniqlang.
Yechim:
Bu hosilani yechish uchun bizga zanjir qoidasi kerak, ya'ni \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Faraz qilaylik, \(u(x) = 3x^2 – x + 4 \) va \(f(u) = u^5 \), unda:
\[
\begin{align}
k(x) va = (3x^2 – x + 4)^5
u(x) va = 3x^2 – x + 4, va \text{so} \\
k(x) va= f(u(x)) = u^5
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align}
\]
Zanjir qoidasidan foydalanish:
\[
\begin{align}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align}
\]
Demak, \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) ning hosilasi \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \) ga teng.
5-misol: Trigonometrik identifikatorlarga ega funksiyaning hosilasi
Savol: m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) funksiyasining hosilasini aniqlang.
Yechim:
Biz hosilalar qoidasidan foydalanib, ko'paytmalarni hosil qilamiz. Faraz qilaylik, \(u(x) = \sin(x) \) va \(v(x) = \cos(x) \), unda:
\[
\begin{align}
u'(x) va= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align}
\]
Mahsulotlar uchun olingan qoidadan foydalanish:
\[
\begin{align}
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align}
\]
Trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x) ning qiymati.
\]
Demak, \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) ning hosilasi \(m'(x) = \cos(2x) \) ga teng.
Xulosa
Algebraik funksiyaning hosilasi hisoblashda turli xil qo'llanmalarda juda muhim va foydali bo'lgan asosiy tushunchadir. Asosiy hosila qoidasi, ko'paytma qoidasi, zanjir qoidasi va trigonometrik hosilalar uchun qoidalar kabi turli xil hosila qoidalari murakkabroq funksiyalarning hosilalarini hisoblashda yordam beradi. Yuqoridagi misollarni tushunish va masalalarni mashq qilish orqali biz algebraik funksiyalarning hosilalarini olish bo'yicha tushunchamiz va ko'nikmalarimizni yaxshilashimiz mumkin.
