جڑتا کا لمحہ

1. ذرہ کی جڑتا کا لمحہ

گھومنے والے ذرہ کا جائزہ لیں۔ بڑے پیمانے پر m والے ذرے کو F قوت دی جاتی ہے تاکہ ذرہ محور O کے گرد گھومے۔ ذرہ گردش کے محور سے الگ ہے۔ سب سے پہلے، ذرہ آرام پر ہے (v = 0)۔ F کی قوت سے حرکت کرنے کے بعد، ذرات ایک خاص رفتار کے ساتھ حرکت کرتے ہیں تاکہ ذرات میں ٹینجینٹل ایکسلریشن ہو۔ قوت (F)، ماس (m)، اور ذرات کی ٹینجینٹل ایکسلریشن کے درمیان تعلق کو مساوات 3 سے ظاہر کیا جاتا ہے:

F = ما _ٹین (مساوات 3)

ذرات گھومتے ہیں تاکہ ذرات کو کونیی سرعت حاصل ہو۔ ٹینجینٹل سرعت اور کونیی سرعت کے درمیان تعلق کو مساوات 4 سے ظاہر کیا جاتا ہے:

a _tan = r α (مساوات 4)

مساوات 3 میں ایک کو مساوات 4 کے ساتھ بدل دیں:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (مساوات 5)

r F قوت کا لمحہ ہے اور mr ² ذرہ کی جڑتا کا لمحہ ہے۔ مساوات 5 قوت کے لمحے، جمود کے لمحے، اور گھومنے والے ذرات کی کونیی سرعت کے درمیان تعلق بیان کرتی ہے۔ مساوات 5 گھومنے والے ذرات کے لیے نیوٹن کے دوسرے قانون کی مساوات ہے۔

ایک ذرہ کی جڑتا کا لمحہ ذرہ کے بڑے پیمانے پر (m) اور گردش کے محور (r ² ) کے ساتھ ذرات کے درمیان فاصلے کے مربع کی پیداوار ہے ۔

I = mr ² (مساوات 6)

I = ذرہ کی جڑتا کا لمحہ، m = ذرہ کا ماس، r = ذرہ اور گردش کے محور کے درمیان فاصلہ۔ مساوات 6 کا استعمال ذرہ کی جڑتا کے لمحے کا تعین کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔

3.2 ذرہ کی جڑتا کے لمحے کے نمونے کے مسائل

نمونہ کا مسئلہ 1۔

ایک ذرہ جس کا وزن 2 کلو گرام تھا، کو 0.5 میٹر لمبی رسی سے باندھا گیا اور پھر گھمایا گیا۔ گردش کرتے وقت ذرات کی جڑتا کا لمحہ کیا ہوتا ہے؟

حل:

میں = مسٹر ²

I = (2 کلو) (0.5 میٹر) ²

I = 0.5 kg m ²

نمونہ کا مسئلہ 2۔

دو ذرات، جن میں سے ہر ایک کا وزن 2 کلوگرام اور 4 کلوگرام ہے، ایک ہلکے وزن کے تار سے جڑے ہوئے ہیں، جہاں تار کی لمبائی 2 میٹر ہے۔ تاروں کے بڑے پیمانے کو نظر انداز کریں۔ دو ذرات کی جڑتا کے لمحے کا تعین کریں، اگر:

a) گردش کا محور دو ذرات کے درمیان واقع ہے۔

حل:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg m ²

b) گردش کا محور ذرہ سے 0.5 میٹر کے فاصلے پر ہے جس کا وزن 2 کلو گرام ہے

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

c) گردش کا محور ذرہ سے 0.5 میٹر کے فاصلے پر ہے جس کا وزن 4 کلو گرام ہے

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

اوپر دیے گئے حسابات کے نتائج کی بنیاد پر، جمود کا لمحہ گردش کے محور کے مقام سے سخت متاثر ہوتا ہے۔ اگرچہ شکل اور سائز ایک جیسے ہیں کیونکہ گردش کے محور کا مقام مختلف ہے، لیکن جڑتا کا لمحہ بھی مختلف ہے۔

گردش کے محور کے قریب ذرات میں جڑتا کا لمحہ چھوٹا ہوتا ہے، جبکہ وہ ذرات جو گردش کے محور سے دور ہوتے ہیں ان میں جڑتا کا لمحہ زیادہ ہوتا ہے۔ اگر ہم فرض کریں کہ اوپر کے دو ذرات سخت اشیاء ہیں، تو ہر ذرہ گردش کے محور کے قریب ہے۔

گردش کے محور سے دور ذرہ کی جڑتا کے لمحے کے مقابلے میں جڑتا کا ایک چھوٹا لمحہ ہے۔

3.3 یکساں سخت جسم کی جڑتا کا لمحہ

سخت اشیاء بہت سے ذرات پر مشتمل ہوتی ہیں۔ ایک سخت جسم کی جڑتا کا لمحہ ہر ایک ذرہ کی جڑتا کے لمحات کی کل تعداد ہے جو چیز کو بناتا ہے۔

I = Σ مسٹر ²

میں = ایم₁ r₁² + م₂ r₂² + م₃ r₃² + ….. + میٹر_n r_n²

کسی سخت چیز کی جڑتا کے لمحے کا تعین کرنے کے لیے، ہمیں اس چیز کا جائزہ لینے کی ضرورت ہے جب وہ گھومتی ہے کیونکہ گردش کے محور کا مقام آبجیکٹ کی جڑتا کے لمحے کو متاثر کرتا ہے۔ ہر ذرے کی جڑتا (I) کا لمحہ بھی ذرہ کی کمیت (m) اور گردش کے محور سے ذرہ کے فاصلے (r ² ) کے مربع پر منحصر ہے۔ آبجیکٹ کو بنانے والے تمام ذرات کا ماس اس شے کی کمیت ہے۔

مسئلہ یہ ہے کہ گردش کے محور سے ہر ذرے کا فاصلہ مختلف ہوتا ہے۔

انگلیوں R اور بڑے پیمانے پر M کے ساتھ پتلی انگوٹھی کی جڑتا کے لمحے کے فارمولے میں کمی کا جائزہ لیں۔

اگر گردش کا محور حلقے کے مرکز میں واقع ہے، تو پتلی انگوٹھی کے تمام ذرات گردش کے محور سے واقع ہوتے ہیں۔ ایک پتلی انگوٹھی کی جڑتا کا لمحہ تمام ذرات کی جڑتا کے لمحے کے برابر ہے:

میں = Σ مسٹر²

میں = ایم₁ r₁² + م₂ r₂² + م₃ r₃² + ….. + میٹر_n r_n²

تمام ذرات کا ماس = پتلی انگوٹھی کا ماس (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

پتلی انگوٹھی کا ہر ذرہ گردش کے محور سے r ہے تاکہ r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

پتلی انگوٹھی کی جڑتا کے لمحے کی مساوات:

I = MR ²

I = پتلی انگوٹھی کی جڑتا کا لمحہ، M = پتلی انگوٹھی کا ماس، R = پتلی انگوٹھی کا رداس۔

اگر گردش کا محور انگوٹھی کے مرکز میں واقع نہیں ہے تو کیا ہوگا؟ اگر گردش کا محور انگوٹھی کے مرکز میں واقع نہیں ہے، تو پتلی انگوٹھی کے جڑتا فارمولے کے لمحے کو مذکورہ طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے اخذ نہیں کیا جا سکتا،

کیونکہ گردش کے محور سے ہر ایک ذرہ کا فاصلہ مختلف ہے۔ اس طرح کے مسئلے کے لئے جڑتا کے لمحے کا فارمولہ اخذ کرنا اس موضوع میں زیر بحث نہیں ہے۔

کچھ سخت اشیاء کے لیے جمود کے لمحے کا فارمولا

3.4 یکساں سخت جسم کی جڑتا کے لمحے کا نمونہ مسئلہ

نمونہ کا مسئلہ 1:

راڈ سلنڈر AB کا وزن 3 کلوگرام ہوتا ہے جب B کے ذریعے گھمایا جاتا ہے،

جڑتا کا لمحہ 27 کلو میٹر ہے ² ۔ جڑتا کا لمحہ کیا ہے اگر

C کے ذریعے گھمایا؟

حل:

حل:

یکساں ٹھوس چھڑی کے لیے جڑتا کے لمحے کا فارمولا (گھومنے کا محور چھڑی کے مرکز میں ہے):

I = 1/12 ایم ایل ²

27 = (1/12) ایم ایل ²

(27)(12) = ایم ایل ²

324 = ایم ایل ²

یکساں ٹھوس چھڑی کی جڑتا کے لمحے کا فارمولا (چھڑی کے کنارے پر گردش کا محور):

I = 1/3 ایم ایل ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²