ویکٹر کا اضافہ

ویکٹر کے اضافے کے بارے میں مضمون

1. ویکٹر اور اسکیلر کی مقدار

بنیادی اور اخذ کردہ مقداروں کے علاوہ، طبعی مقداروں کو اب بھی دو دیگر اقسام میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، یعنی اسکیلر مقدار اور ویکٹر مقدار۔ مقداریں جیسے کمیت، فاصلہ، وقت اور حجم، اسکیلر مقداریں ہیں، ایسی مقداریں جن کی صرف وسعت ہے لیکن ان کی کوئی سمت نہیں ہے۔ جب کہ طول و عرض جیسے نقل مکانی، رفتار، سرعت، اور قوت ویکٹر کی مقداریں ہیں، وہ مقداریں جن کی شدت اور سمت بھی ہے۔

a s کیلر اور ویکٹر کی مقدار کے درمیان فرق

اگر آپ کہتے ہیں کہ گیند کا وزن 400 گرام ہے، تو یہ بیان آپ کے لیے گیند کی کمیت جاننے کے لیے کافی ہے۔ گیند کے بڑے پیمانے کو معلوم کرنے کے لیے آپ کو سمت کی ضرورت نہیں ہے۔ اسی طرح وقت، درجہ حرارت، حجم، کثافت وغیرہ کے ساتھ ساتھ کئی جسمانی مقداریں ہیں جن کا اظہار صرف شدت میں نہیں کیا جا سکتا۔ اگر آپ کہتے ہیں کہ بچہ 100 میٹر تک چلتا ہے، تو یہ بیان کافی نہیں ہے۔ آپ پوچھ سکتے ہیں، وہ کہاں منتقل ہوا؟ کیا یہ شمال، جنوب، مشرق یا مغرب ہے؟ اسی طرح، اگر آپ کہتے ہیں کہ آپ میز کو 200 N کی قوت سے دھکیلتے ہیں۔

آپ کہاں گاڑی چلاتے ہیں؟ ٹھیک ہے، ایسی مقداروں کو ویکٹر کی مقدار کہا جاتا ہے، جس کی شدت اور سمت کی وضاحت کی ضرورت ہوتی ہے۔ ویکٹر کی مقداروں کی مثالیں نقل مکانی، سرعت، تسلسل، رفتار وغیرہ ہیں۔ آپ اس مقدار سے متعلق مضامین کا مطالعہ کرتے وقت اسے زیادہ واضح طور پر سمجھ سکتے ہیں۔

ب ایک ویکٹر کھینچیں۔

ویکٹر ایک تیر کے ذریعہ اشارہ کیا جاتا ہے۔ تیر کو ہمیشہ اس طرح کھینچا جاتا ہے کہ یہ ویکٹر کی سمت اشارہ کرتا ہے۔ تیر کی لمبائی کو ویکٹر کی شدت کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، قوت کے ویکٹر (F) کے اعداد و شمار میں 2 N کی شدت کے ساتھ جس کی سمت شمال مشرق کی طرف ہے یا x-axis کے بارے میں 45 ^{o ہے ۔}

c ویکٹر کی مقدار لکھنے کے اصول

ویکٹر لکھنے میں، اگر آپ ہینڈ رائٹنگ کا استعمال کرتے ہیں، تو ویکٹر کی علامت عام طور پر بڑے حروف کا استعمال کرتے ہوئے ترچھے میں لکھی جاتی ہے، اور اس کے اوپر ایک تیر کے ساتھ شامل کرنے کی ضرورت ہے۔ چھپی ہوئی کتابوں کے لیے، ویکٹر کی علامتیں بڑے حروف میں جلی حروف میں لکھی جاتی ہیں، مثال کے طور پر ، F۔ ویکٹر کی میگنیٹیوڈ کے لیے، اگر ہم ہینڈ رائٹنگ استعمال کرتے ہیں تو ویکٹر کی میگنیٹیوڈ لکھی جاتی ہے، مثال کے طور پر، |F| مطبوعہ کتابوں کے لیے، ویکٹر کی شدت کو ترچھا میں لکھا جاتا ہے، مثال کے طور پر ، F۔

2. ویکٹرز کا اضافہ — گرافیکل طریقے

ویکٹر کو گرافی طور پر شامل کرنے کے کئی طریقے ہیں، بشمول ٹیل ٹو ٹپ طریقہ اور متوازی علامت طریقہ۔

a ویکٹر کو شامل کرنے کا ٹیل ٹو ٹپ طریقہ

ویکٹر A اور B معلوم ہیں۔ ویکٹر A = 3 سینٹی میٹر ایکس محور (مشرق کی طرف) کے ساتھ موافق ہے۔ ویکٹر B = 2 سینٹی میٹر x محور (شمال مشرق کی طرف) پر 30 ^o کا زاویہ بناتا ہے ۔ ٹیل ٹو ٹپ طریقہ استعمال کرتے ہوئے گرافی طور پر A اور B شامل کریں۔ a) R = A + B b) R = A - B

نتیجہ خیز ویکٹر (R) کی شدت کو ایک حکمران کا استعمال کرتے ہوئے ماپا جاتا ہے۔ نتیجہ خیز ویکٹر کی سمت ایک پروٹریکٹر کا استعمال کرتے ہوئے ماپا جاتا ہے۔

معروف ویکٹر A, B، اور C۔ ویکٹر A = 3 سینٹی میٹر ایکس محور (مشرق کی طرف) کے ساتھ موافق ہے۔ ویکٹر B = 2 سینٹی میٹر x محور (شمال مشرق کی طرف) پر 30 ^o کا زاویہ بناتا ہے ۔ ویکٹر C = 1 سینٹی میٹر x محور (شمال مشرق کی طرف) پر 60 ^o کا زاویہ بناتا ہے ۔ ٹیل ٹو ٹپ طریقہ استعمال کرتے ہوئے گرافی طور پر A، B اور C شامل کریں۔

a) R = A + B + C

b) R = A - B - C

نتیجہ خیز ویکٹر (R) کو حکمران کا استعمال کرتے ہوئے ماپا جاتا ہے۔ نتیجہ خیز ویکٹر کی سمت ایک پروٹریکٹر کا استعمال کرتے ہوئے ماپا جاتا ہے۔

ب متوازی علامت کا طریقہ

معروف ویکٹر A, B، اور C۔ ویکٹر A = 3 سینٹی میٹر ایکس محور (مشرق کی طرف) کے ساتھ موافق ہے۔ ویکٹر B = 2 سینٹی میٹر x محور (شمال مشرق کی طرف) پر 30 ^o کا زاویہ بناتا ہے ۔ ویکٹر C = 1 سینٹی میٹر x محور (شمال مشرق کی طرف) پر 60 ^o کا زاویہ بناتا ہے ۔ متوازی علامت کا استعمال کرتے ہوئے گرافی طور پر A، B، اور C شامل کریں۔

a) R = A + B

b) R = A - B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

نتیجہ خیز ویکٹر (R) کو حکمران کا استعمال کرتے ہوئے ماپا جاتا ہے۔ نتیجہ خیز ویکٹر کی سمت ایک پروٹریکٹر کا استعمال کرتے ہوئے ماپا جاتا ہے۔

3. ویکٹرز کا اضافہ – aتجزیاتی طریقہ

گرافیکل طریقہ سے نتیجہ خیز ویکٹر کی شدت اور سمت کا تعین کرنا ایک طریقہ ہے۔ نتائج کی درستگی کا انحصار آپ کی درستگی اور اسکیل کو ڈرائنگ اور پڑھنے میں درستگی پر ہے۔ نتیجہ خیز ویکٹر کی وسعت اور سمت ریاضی کے حساب سے زیادہ درست طریقے سے حاصل کی جاتی ہے۔

a کوزائن کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے 2 ویکٹروں کے مجموعہ کا حساب لگانا

نتیجہ خیز ویکٹر کی شدت کا تعین کرنے کا فارمولا:

نتیجے میں ویکٹر کی سمت کا تعین کرنے کا فارمولا:

C = نتیجہ خیز ویکٹر

A = ویکٹر 1

B = ویکٹر 2

cos ∠(A, B) = زاویہ جو کہ ویکٹر A اور B سے بنتا ہے۔

نمونہ کا مسئلہ 1:

F ₁ = 2 N x محور کے بارے میں 30 کا زاویہ بناتا ہے، F ₂ = 3 N x محور کے بارے میں 60 ^o کا زاویہ بناتا ہے ، θ = 30 ^o ۔

نمونہ کا مسئلہ 2:

F ₁ = 2 N x-axis کے ساتھ موافق ہے، F ₂ = 3 N x محور کے بارے میں 90 ^o کا زاویہ بناتا ہے ، θ = 90 ^o ۔

ب اجزاء کے لحاظ سے ویکٹر کو شامل کرنا

ایک ویکٹر F کا جائزہ لیں جو x-axis کے بارے میں ایک خاص زاویہ بناتا ہے، جیسا کہ ذیل کی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ F _x اور F _y ویکٹر F کے جزو ویکٹر ہیں۔

جزو ویکٹر کی وسعت کا تعین اس فارمولے سے کیا جاتا ہے:

F _x = F cos θ

F _y = F گناہ θ

دو ویکٹر F کا جائزہ لیں۔₁ اور ایف₂ جو کہ x-axis کے بارے میں ایک خاص زاویہ بناتا ہے، جیسا کہ نیچے دی گئی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ ایف_1x اور ایف_1y ویکٹر ایف کے اجزاء ہیں۔₁، تو F_2x اور ایف_2y ویکٹر ایف کے اجزاء ہیں۔₂.

جزو ویکٹر کا تعین اس فارمولے سے کیا جاتا ہے:

F_1x = ایف₁ cosθ

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

اجزاء ویکٹر کو شامل کرنا:

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

نتیجہ خیز ویکٹر کا تعین فارمولے کے ذریعے کیا جاتا ہے:

نتیجے میں ویکٹر کی سمت کا تعین فارمولے کے ذریعے کیا جاتا ہے:

نمونہ کا مسئلہ 1:

ویکٹر F کے اجزاء کا تعین کریں جن کی شدت 20 N ہے اور x-axis کے بارے میں 30 ^o کا زاویہ بنائیں ۔

F _x = (20 N) (cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

نمونہ کا مسئلہ 2:

F ₁ = 20 N x-axis کے بارے میں 30 ^o کا زاویہ بناتا ہے اور F ₂ = 15 N x-محور کے بارے میں 180o کا زاویہ بناتا ہے۔ نتیجے میں ویکٹر کی شدت اور سمت کا تعین کریں۔

F _1x = (20 N) (cos 30 ^o ) = 17 N

F _2x = F ₁ = – 15 N

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F _2y = 0

اجزاء ویکٹر کو شامل کرنا:

F _x = F _1x – F _2x = 17 N – 15 N = 2 N

F _y = 10 N

نتیجہ خیز ویکٹر:

F ₂ = F _x ² + F _y ² = 2 ² + 10 ² = 4 + 100 = 104

ایف = 10.2 این

نتیجہ خیز ویکٹر کی سمت:

θ = tan −15 = 78.7 ^o x محور کے بارے میں

نمونہ کا مسئلہ 3:

F₁، ایف_2, اور ایف₃ 20 N، 30 N اور 40 N. F ہیں۔₁ 60 کا زاویہ بناتا ہے۔^o ایکس محور کے بارے میں، ایف₂ 150 کا زاویہ بناتا ہے۔^o ایکس محور کے بارے میں، اور ایف₃ 315 کا زاویہ بناتا ہے۔^o ایکس محور کے بارے میں نتیجے میں ویکٹر کی شدت اور سمت کا تعین کریں۔

F _1x = (20 N) (cos 60 ^o ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F _2x = (30 N) (cos 30 ^o ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 N) (cos 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N)(sin 45 ^o ) = -28 N

جزو ویکٹر کو شامل کرنا:

F _x = F _1x – F _2x + F _3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

نتیجہ خیز ویکٹر:

F ² = F _x ² + F _y ² = 12 ² + 4 ² = 144 + 16 = 160

ایف = 13 این

نتیجہ خیز ویکٹر کی سمت:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^o x-axis کے بارے میں