ڈاٹ پروڈکٹ

ویکٹر عام اعداد نہیں ہیں، اس لیے عام ضرب کا براہ راست ان پر اطلاق نہیں کیا جا سکتا۔ ہمیں ویکٹر ضرب کا استعمال کرنا چاہیے۔ ویکٹر ضرب کی دو قسمیں ہیں: ڈاٹ ضرب اور کراس ضرب۔ ڈاٹ ضرب کو اسکیلر ضرب بھی کہا جاتا ہے کیونکہ یہ اسکیلر مقدار پیدا کرتا ہے۔ کراس ضرب کو ویکٹر ضرب بھی کہا جاتا ہے کیونکہ یہ ایک ویکٹر کی مقدار پیدا کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، دو ویکٹر ہیں، یعنی A سے B. ویکٹرز کی سکیلر ضرب A سے B کے ساتھ بیان کیا اے بی کےچونکہ میدان ڈاٹ اشارے کا استعمال کرتا ہے، اس ضرب کو کہا جاتا ہے۔ ڈاٹ مصنوعات. کا ویکٹر ضرب A سے B کے ساتھ بیان کیا A x بی. کیونکہ یہ اشارے استعمال کرتا ہے۔ x، پھر اس ضرب کو کراس ضرب کہا جاتا ہے۔

مثال کے طور پر، ویکٹر دیا A سے B جیسا کہ ذیل کی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ ویکٹر کے درمیان ڈاٹ پروڈکٹ A سے B کے طور پر لکھا اے بی (A نقطہ B).

ویکٹر کے ڈاٹ پروڈکٹ کی وضاحت کرنے کے لیے A سے B (اے بی)، دکھایا گیا ویکٹر A اور ویکٹر y کی طرف سےجو ایک زاویہ بناتا ہے۔ θ. اگلا ہم ویکٹر کا پروجیکشن کھینچتے ہیں۔ B ویکٹر کی سمت کی طرف A. یہ پروجیکشن ویکٹر کا ایک جزو ہے۔ B جو ویکٹر کے متوازی ہے۔ A، جس کا سائز ایک ہی ہے۔ B کیونکہ θ.

اس طرح، ہم تعریف کرتے ہیں اے بی ایک بڑے ویکٹر کے طور پر A ویکٹر اجزاء سے ضرب B جو کہ متوازی ہے۔ A. ریاضی کے لحاظ سے ہم اسے اس طرح لکھ سکتے ہیں:

AB کیونکہ θ ایک عام عدد (اسکیلر) ہے۔ لہذا، ڈاٹ پروڈکٹ کو اسکیلر پروڈکٹ بھی کہا جاتا ہے۔ کیا ہوگا اگر ویکٹر کے درمیان ڈاٹ پروڈکٹ A سے B پر الٹ دیا بی اے ? اس سے پہلے کہ ہم وضاحت کریں۔ بی اےپہلے ہم ویکٹر کا پروجیکشن کھینچتے ہیں۔ A ویکٹر کو B (نیچے تصویر دیکھیں)۔

اس تصویر کی بنیاد پر، ہم وضاحت کر سکتے ہیں بی اے ایک بڑے ویکٹر کے طور پر B ویکٹر اجزاء سے ضرب A جو کہ متوازی ہے۔ B. ریاضی کے لحاظ سے ہم اسے اس طرح لکھ سکتے ہیں:

ڈاٹ پروڈکٹ کا نتیجہ اے بی = AB کیونکہ θ اور ڈاٹ پروڈکٹ کا نتیجہ بی اے = BA کیونکہ θ. کیونکہ AB کیونکہ θ = BA کیونکہ θ، پھر یہ لاگو ہوتا ہے۔ اے بی = بی اے

ڈاٹ ضرب کے بارے میں کچھ چیزیں جو آپ کو جاننے کی ضرورت ہے:

1. ڈاٹ پروڈکٹ تبدیلی کے قانون کو پورا کرتا ہے۔

AB = BA

2. ڈاٹ پروڈکٹ تقسیم کے قانون کو پورا کرتا ہے۔

A. (B + C) = AB + AC

3. اگر ویکٹر A اور B ایک دوسرے پر کھڑے ہیں، تو ڈاٹ پروڈکٹ AB = 0

جب ویکٹر A سے B ایک دوسرے پر کھڑا ہے، پھر بننے والا زاویہ 90 ہے۔^o. کوس 90^o = 0. اس طرح: اے بی = AB کیونکہ ٹیٹا = AB کیونکہ 90^o = 0. دوسری طرف، بی اے = BA کیونکہ ٹیٹا = BA کیونکہ 90^o 0 =

4. اگر ویکٹر A اور ویکٹر B ایک ہی سمت میں ہیں ، تو AB = AB cos 0 ^o = AB

جب ویکٹر A سے B اسی سمت میں، پھر تشکیل شدہ زاویہ 0 ہے۔^o. Cos 0 = 1. اس طرح، اے بی = AB کیونکہ ٹیٹا = AB کیونکہ 0^o = AB. اس کے برعکس بی اے = BA کیونکہ ٹیٹا = BA کیونکہ 0^o = BA

(آپ کو اس میں الجھن نہیں ہونی چاہئے۔ AB سے BA. بڑا AB = بڑا BA. مثال کے طور پر، ویکٹر کی شدت A = 2. ویکٹر کی شدت B = 3۔ پھر اے بی = 2.3 = 6; یہ اسی طرح ہے بی اے = 3.2 = 6۔

^{5. ایک ہی سمت میں دو ویکٹرز کے لیے ایک اور شرط، اگر} A = B تو ہمیں AA = A ² یا BB = B ^{2 ملتا ہے۔}

6. اگر ویکٹر A اور B متضاد سمتوں میں ہیں (جب دو ویکٹر مخالف سمتوں میں ہوں تو بننے والا زاویہ 180º ہے) ، تو ضرب AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB کا نتیجہ ۔

Cos 180º = -1۔

مسائل کی مثال:

^{ایک ویکٹر} A کی شدت 4 یونٹس ہے اور ویکٹر B کی شدت 3 یونٹس ہے۔ دو ویکٹروں کے ڈاٹ پروڈکٹ کا تعین کریں اگر دو ویکٹرز کے ذریعہ بنائے گئے زاویے 60º، 90º اور 180º ہیں ^۔

بحث

چونکہ AB = BA ، ہم کسی ایک کو استعمال کرنے کا انتخاب کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ہم AB استعمال کرتے ہیں۔

AB = AB cos تھیٹا

A = 4 یونٹس کا سائز اور B = 3 یونٹس کا سائز ۔