یونٹ ویکٹر اجزاء کا استعمال کرتے ہوئے ڈاٹ ضرب کا مواد
اگر ہم ویکٹر A اور B (معلوم ویکٹر) کے x، y اور z اجزاء کو جانتے ہیں تو ہم اسکیلر پروڈکٹ کا براہ راست حساب لگا سکتے ہیں ۔
اس طرح ڈاٹ پروڈکٹ کو انجام دینے کے لیے، ہم سب سے پہلے یونٹ ویکٹر کی ڈاٹ پروڈکٹ کو انجام دیتے ہیں، اس کے بعد ہم ویکٹر A اور B کو ان کے اجزاء میں ظاہر کرتے ہیں، پروڈکٹ کو گلتے ہیں اور یونٹ ویکٹر کی پیداوار کو استعمال کرتے ہیں۔
اکائی ویکٹر i ، j، اور k ایک دوسرے پر کھڑے ہیں، حساب کو آسان بناتے ہیں۔ اوپر اخذ کردہ اسکیلر ضرب مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ( AB = AB cos theta )، ہم حاصل کرتے ہیں:
i i = j j = k k = (1) (1) cos 0 = 1
i j = میں k = j k = (1) (1) cos 90 o = 0
اب ہم ویکٹر A اور B کو ان کے اجزاء کے لحاظ سے ظاہر کرتے ہیں، ان کی پیداوار کو گلتے ہیں اور یونٹ ویکٹر کی پیداوار کو استعمال کرتے ہیں۔
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
کیرینا i . i = j . j = k . k = 1 اور i . j = i . k = j . k = 0، پھر:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
اے B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
اس حساب کے نتائج کی بنیاد پر، یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ دو ویکٹرز کی اسکیلر پروڈکٹ یا ڈاٹ پروڈکٹ ان کے ملتے جلتے اجزاء کی مصنوعات کا مجموعہ ہے۔
مثال سوال 1:
بڑا ویکٹر A سے B بالترتیب 5 اور 4 ہیں، جیسا کہ ذیل کی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ تشکیل شدہ زاویہ 90 ہے۔o. اسے گنو ڈاٹ مصنوعات دونوں ویکٹر
بحث
اس سے پہلے کہ ہم ویکٹر A اور B کے ڈاٹ پروڈکٹ کا حساب لگائیں، ہمیں پہلے دوسرے ویکٹر کے اجزاء کو جاننے کی ضرورت ہے۔
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) گناہ 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
ویکٹر A کے صرف x-axis پر ویکٹر کے اجزاء ہوتے ہیں اور Vector B کے صرف y-axis پر ویکٹر کے اجزاء ہوتے ہیں۔ z جزو صفر ہے کیونکہ ویکٹر A اور B xy جہاز میں ہیں۔
اب ہم جزو ویکٹر کے ساتھ ڈاٹ پروڈکٹ مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ویکٹر A اور B کے درمیان ڈاٹ پروڈکٹ کا حساب لگاتے ہیں:
A B = Ax Bx + AyBy + AzBz
اے B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
آئیے پہلے طریقہ سے اس کا موازنہ کریں۔
AB = AB cos تھیٹا
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
نتیجہ وہی نکلتا ہے۔
مثال سوال 2:
بڑا ویکٹر A سے B بالترتیب 5 اور 4 ہیں، جیسا کہ ذیل کی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ حساب لگانا ڈاٹ مصنوعات دونوں ویکٹرز، اگر بننے والا زاویہ 30 ہے۔o
بحث
اس سے پہلے کہ ہم ویکٹر A اور B کے ڈاٹ پروڈکٹ کا حساب لگائیں، ہمیں پہلے دوسرے ویکٹر کے اجزاء کو جاننے کی ضرورت ہے۔
z جزو صفر ہے کیونکہ ویکٹر A اور B xy جہاز میں ہیں۔
اب ہم جزو ویکٹر کے ساتھ ڈاٹ پروڈکٹ مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ویکٹر A اور B کے درمیان ڈاٹ پروڈکٹ کا حساب لگاتے ہیں:
پہلے طریقہ سے موازنہ کریں۔
