Bernoulli Prensibi ve Denklemi Materyali
Motosikletle oldukça hızlı giderken giydiğimiz kıyafetler arkadan kabarır. Henüz motosiklet kullanamıyorsanız, motosiklet kullanan anne babanıza veya arkadaşlarınıza dikkat edin. Motosiklet hızlı giderken genellikle kıyafetlerinin arkası kabarır. Bazen rüzgar sert estiğinde, evin kapısı kendiliğinden kapanabilir. Dışarıda rüzgar eserken, kapı evin içindeyken bile bu durum yaşanabilir.
Bu durum Bernoulli ilkesi kullanılarak açıklanabilir. Daniel Bernoulli (1700–1782) , yukarıdakilerin bazılarını açıklamak için kullanılabilecek bir ilke keşfetti.
Bernoulli İlkesi
Bernoulli ilkesi, akışkan akış hızının yüksek olduğu yerlerde akışkan basıncının düşük olduğunu belirtir. Tersine, akışkan akış hızı düşükse basınç yükselir. Motosiklet hızlı hareket ettiğinde, vücudunuzun önünde ve yanında hava hızı yüksektir. Bu nedenle, hava basıncı düşer. Vücudunuzun arkası ön tarafı tarafından engellendiği için, vücudunuzun arkasındaki hava hızı yüksek seviyeye (tam arkanıza) değişmez. Sonuç olarak, vücudunuzun arkasındaki hava basıncı daha yüksek olur. Hava basıncındaki fark nedeniyle, vücudunuzun hemen arkasındaki hava basıncı daha yüksek olduğundan, hava tişörtünüzü geriye doğru iter ve arkasının kabarık görünmesine neden olur.
Dışarıda şiddetli rüzgar estiğinde kendiliğinden kapanan bir kapı düşünün. Dışarıdaki hava içerideki havadan daha hızlı hareket eder. Sonuç olarak, dışarıdaki hava basıncı içerideki hava basıncından daha düşüktür. Bu basınç farkı nedeniyle, içerideki hava basıncının daha yüksek olduğu yerde kapı dışarı doğru itilir. Başka bir deyişle, kapı daha yüksek hava basıncına sahip bir yerden daha düşük hava basıncına sahip bir yere doğru hareket eder.
Bernoulli denklemi
Daha önce Bernoulli ilkesini öğrenmiştik. Bernoulli bu ilkeyi niceliksel olarak da geliştirmiştir. Bernoulli denklemini türetmek için, kararlı, laminer akışkan akışı, sıkıştırılamazlık ve ihmal edilebilecek düşük viskozite varsayıyoruz.
Süreklilik Denklemi tartışmasında, akışkan akış hızının akış borusunun kesit alanına bağlı olarak da değişebileceğini öğrendik. Yukarıda açıklanan Bernoulli prensibine göre, akışkan basıncı da akışkan akış hızına bağlı olarak değişebilir. Akışkan basıncı ayrıca akışkanın yüksekliğine bağlı olarak da değişebilir. Basınç, akış hızı ve akış yüksekliği arasındaki ilişki Bernoulli denkleminden elde edilebilir.
Bernoulli denklemi, uçak uçuşlarını, hidroelektrik santrallerini, boru sistemlerini vb. analiz etmek için kullanılabildiğinden çok önemlidir. Türeteceğimiz Bernoulli denkleminin genel olarak uygulanabilir olması için, akışkanın eşit olmayan kesit alanlarına ve farklı yüksekliklere sahip bir akış borusundan aktığını varsayacağız (aşağıdaki şekle bakınız). Bernoulli denklemini türetmek için, akış borusu bölgesindeki akışkana iş ve enerji teoremini uygulayacağız. Ardından, akışkan miktarını ve akışkanı hareket ettirmek için yapılan işi hesaplayacağız.
Resimdeki akış tüpündeki opak renk, sıvı akışını, beyaz renk ise sıvı olmadığını gösterir.
Kesit alanı 1'deki (sol taraf) akışkan L1 mesafesi kadar akar ve kesit alanı 2'deki (sağ taraf) akışkanı L2 mesafesi kadar hareket etmeye zorlar . Sağ taraftaki kesit alanı 2 daha küçük olduğundan, akış borusunun sağ tarafındaki akışkan akış hızı daha büyüktür (Süreklilik denklemini hatırlayın). Bu, kesit alanı 2 (akış borusunun sağ tarafı) ve kesit alanı 1 (akış borusunun sol tarafı) arasında bir basınç farkına neden olur - Bernoulli ilkesini hatırlayın. Kesit alanı 1'in sol tarafındaki akışkan, sağ taraftaki akışkana P1 basıncı uygular ve şu kadar iş yapar :
O halde W 1 denklemi şu şekilde yazılabilir:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Kesit 2'de (akış borusunun sağ tarafı), akışkan üzerinde yapılan iş şöyledir:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Negatif işaret, uygulanan kuvvetin hareket yönünün tersine olduğunu gösterir. Dolayısıyla akışkan, 2. bölümün sağında iş yapar. Ayrıca, yerçekimi kuvveti de akışkan üzerinde iş yapar. Yukarıdaki durumda, belirli bir kütledeki akışkan, 1. bölümden L1 mesafesine kadar 2. bölüme L2 mesafesine kadar hareket ettirilir ; burada 1. bölümdeki akışkan hacmi (A1L1 ) = 2. bölümdeki akışkan hacmi (A2L2 ) ' dir . Yerçekimi tarafından yapılan iş şöyledir:
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Negatif işaret, sıvının yerçekimi yönünün tersine, yukarı doğru akmasından kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla, yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi, sıvı üzerinde yapılan toplam iş şöyledir:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
İş-enerji teoremi, bir sisteme yapılan toplam işin, kinetik enerjisindeki değişime eşit olduğunu belirtir. Dolayısıyla, İş (W) yerine kinetik enerjideki değişimi (EK₂ - EK₁ ) koyabiliriz.
Yukarıdaki denklemi şu şekilde yeniden yazabiliriz:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 - EK 1 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
A1 kesitinde L1 mesafesi boyunca akan akışkanın kütlesi , A2 kesitinde L2 mesafesi boyunca akan akışkanın kütlesine eşittir . Örneğin , m kütlesindeki bir akışkanın hacmi A1L1 ve A2L2'dir ; burada A1L1 = A2L2'dir ( L2 , L1'den daha uzundur ).
Şimdi yukarıdaki denklemde m'yi m = ρ AL ile değiştiriyoruz veya yerine koyuyoruz:
Bu, Bernoulli denklemidir. Bernoulli denklemini iş-enerji prensibine dayanarak türettik, bu nedenle Enerjinin Korunumu Yasası'nın bir biçimidir.
Bilgi:
P = Basınç
ρ = Sıvının yoğunluğu
v = Akışkan akış hızı
g = Yerçekimi ivmesi
h = Akış borusunun/tüpünün yerden yüksekliği
Yukarıdaki Bernoulli denkleminin sol ve sağ tarafları, akış borusu boyunca herhangi iki noktayı ifade edebilir; bu nedenle denklemi şu şekilde yeniden yazabiliriz:
Bu denklem, denklemdeki miktarların toplamının akış borusu boyunca aynı değere sahip olduğunu belirtir.
Şimdi Bernoulli denklemini bazı durumlar için inceleyelim.
Durgun Haldeki Sıvılar için Bernoulli Denklemi
Bernoulli denkleminin özel bir durumu, durgun haldeki sıvılar (statik sıvılar) içindir. Bir sıvı durgun haldeyken hızı yoktur. Dolayısıyla, v₁ = v₂ = 0'dır. Durgun haldeki bir sıvı durumunda, Bernoulli denklemi şu şekilde formüle edilebilir:
Eğer h 2 ‐ h 1 = h ise, bu denklem şu şekilde yazılabilir:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Aynı yükseklikteki boru veya tüplerin akışı için Bernoulli denklemi
Akış borusunun veya tüpünün yüksekliği aynı ise, Bernoulli denklemi şu şekilde değişir:
