Süreklilik Denklemi Malzemesi
Musluğu yavaşça açıp akan suyun akışını gözlemleyin. Musluk dönmeyi durdurduktan sonra, musluğu elinizle kısmen kapatın. Şimdi hangi su akışının daha fazla olduğunu karşılaştırın. Kısmen kapalıyken mi yoksa açıkken mi? Çiçekleri sulamak için kullandığınız bir hortumunuz varsa, içinden su akmasına izin verin. Hortumu elinizle veya parmağınızla kısmen kapatın. Hortumun ne kadar çok kısmı kapatılırsa, su o kadar hızlı akar. Tersine, hortum kapatılmazsa, su daha yavaş akar. Bunun nedeni nedir? Bunu anlamak için lütfen süreklilik denklemini inceleyin.
Akış çizgileri ve akış boruları
Öncelikle, akış çizgileri ve akış tüpleri kavramlarını anlayalım. Bu kavram önemlidir çünkü süreklilik denklemini anlamanıza yardımcı olacaktır.
Akışkan hat
Aşağıdaki resme bakın, mavi çizgi Streamline'ı gösteriyor.
Durağan akışta, örneğin A noktasında, her bir akışkan parçacığının hızı sabit kalır. B noktasından geçerken, akışkan parçacıklarının hızı değişebilir. Ancak, B noktasına vardıklarında, arkalarından gelen akışkan parçacıkları, kendilerinden önce gelen akışkan parçacıklarıyla aynı hızda akmaya devam eder. Aynı durum C noktasına varıldığında da geçerlidir ve bu böyle devam eder. Akış çizgisi, A, B ve C noktalarını birleştiren eğridir.
Akış borusu
Esasen, akışkan akışındaki her noktadan bir akış çizgisi çizebiliriz. Durağan akışkan akışını ele alırsak, hayali bir yüzey alanında (hayali yüzey alanı) belirli bir açıyla geçen bir dizi akış çizgisi bir akış tüpü oluşturur. Hiçbir akışkan parçacığı birbirini kesmez, her zaman paraleldir ve akış tüpü her zaman aynı şekle sahip bir boruya benzer. Tüpün bir ucundan giren akışkan, diğer ucundan çıkar.
borç
Debi, belirli bir zaman aralığında belirli bir kesitten geçen akışkanın hacmini ifade eder. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir:
Daha iyi anlamanız için bir örnek kullanalım. Bir sıvının bir borudan aktığını varsayalım. Borular genellikle silindirik şekildedir ve belirli bir kesit alanına sahiptir. Borunun ayrıca bir uzunluğu da vardır.
Sıvı boruda L uzunluğuna kadar aktığında, borudaki sıvının hacmi V = AL olur (V = sıvı hacmi, A = kesit alanı ve L = boru uzunluğu). Sıvı, boruda L boyunca akarken belirli bir zaman aralığı kat ettiğinden, sıvı debisinin büyüklüğünün şu şekilde olduğunu söyleyebiliriz:
v = s/t = L/t —> L = vt olduğundan, yukarıdaki denklem şu şekilde değişir:
Dolayısıyla, belirli bir kesit alanına ve uzunluğa sahip bir borudan belirli bir zaman aralığında akışkan aktığında, akışkan debisinin (Q) büyüklüğü, kesit yüzey alanı (A) ile akışkan akış hızının (v) çarpımına eşittir.
Süreklilik Denklemi
Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, farklı çaplara sahip bir borudaki sıvı akışını ele alalım.
Bu görüntü, sıvının soldan sağa doğru akışını göstermektedir (sıvı, geniş çaplı bir borudan dar çaplı bir boruya doğru akmaktadır). Noktalı çizgiler akış çizgileridir.
Resim alt yazısı: A1 = geniş çaplı boru kesitinin kesit alanı, A2 = küçük çaplı boru kesitinin kesit alanı, v1 = geniş çaplı boru kesitindeki akışkan akış hızı, v2 = küçük çaplı boru kesitindeki akışkan akış hızı, L = akışkanın kat ettiği mesafe.
Akışkanlar dinamiğine giriş bölümünde, akışkanlar dinamiğinde sıkıştırılamaz, viskoz olmayan, türbülanssız ve kararlı akışkanların akışının incelendiği açıklanmıştı. Kararlı akışta, bir noktadaki akışkan parçacıklarının hızı, o noktadan geçen diğer akışkan parçacıklarının hızıyla aynıdır. Akışkan akışları da birbirini kesmez (akış çizgileri paraleldir). Bu nedenle, borunun bir ucundan giren akışkanın kütlesi, diğer ucundan çıkan akışkanın kütlesine eşit olmalıdır. Belirli bir kütleye sahip bir akışkan, geniş çaplı bir boruya girerse, küçük çaplı borudan sabit bir kütleyle çıkacaktır.
Şimdi yukarıdaki boru resmine bakın. Borunun geniş çaplı kısmına ve dar çaplı kısmına bakın.
Belirli bir zaman aralığında, belirli miktarda sıvı, geniş çaplı (A) bir boru kesitinden akmaktadır.1) L'ye kadar1 (L1 = v1 t). Akan sıvının hacmi V'dir.1 = A1 L1 = A1 v1 Aynı zaman aralığında, daha küçük çaplı bir boru kesitinden (A) başka bir miktarda sıvı akar.2) L'ye kadar2 (L2 = v2 t). Akan sıvının hacmi V'dir.2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Sıkıştırılamaz Akışkanlar için Süreklilik Denklemi (sıkıştırılamaz)
Öncelikle, sıkıştırılamaz bir akışkan durumunu ele alalım. Sıkıştırılamaz bir akışkanda, akışkanın yoğunluğu veya kütlesi, geçtiği her noktada her zaman aynıdır. Kesit alanı A olan bir boruda akan akışkanın kütlesi şöyledir:1 (Büyük boru çapı) belirli bir zaman aralığında şöyledir:
Benzer şekilde, kesit alanı A olan bir boruda akan sıvının kütlesi2 (Küçük boru çapı) belirli bir zaman aralığında şöyledir:
Sürekli akışta giren akışkanın kütlesinin çıkan akışkanın kütlesiyle aynı olduğunu göz önünde bulundurursak:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 (Akışkan yoğunluğu ve zaman aralığı aynı olduğundan birbirlerini götürürler)
A1 v1 = A2 v2
Dolayısıyla, sıkıştırılamaz akışkanlarda süreklilik denklemi geçerlidir:
A1 v1 = A2 v2 — Denklem 1
Bilgi:
A1 = kesit alanı 1, A2 = kesit alanı 2, v1 = kesit 1'deki akışkan akış hızı, v2 = kesit 2'deki akışkan akış hızı, A v = hacimsel akış hızı V/t yani debi
Denklem 1, hacimsel akış hızının (debi olarak da bilinir) bir boru veya akış tüpü boyunca her noktada her zaman aynı olduğunu göstermektedir. Boru kesiti azaldıkça, akışkan akış hızı artar; tersine, boru kesiti arttıkça, akışkan akış hızı azalır.
Musluğu kısmen tıkadığımızda, su akışı musluk kısmen kapalı olduğundan daha hızlı olur. Bunun nedeni, musluk kısmen kapalıyken kesit alanının azalması ve su akış hızının artmasıdır (sıvı daha hızlı akar). Hortumlar için de aynı durum geçerlidir. Bununla birlikte, musluğun kısmen kapalı olup olmamasına bakılmaksızın, su akışının tüm noktalarında deşarj veya hacimsel akış hızının aynı kaldığını belirtmek önemlidir. Dolayısıyla değişen şey sıvı akış hızıdır.
Peki ya nehirdeki su akışı? Nehrin daha derin kısımlarının kesit alanı, daha sığ kısımlarından daha büyüktür; bu nedenle, daha derin kısımlardaki su akış hızı, daha sığ kısımlardakinden daha düşüktür. Çok sakin bir nehir akışı görürseniz, bu nehrin derin olduğu anlamına gelir. Ancak nehir aniden hızlı akmaya başlarsa, o kısım kesinlikle sığdır. Bununla birlikte, su hacmi akış hızı, nehrin derin veya sakin kısımlarında her zaman aynıdır.
Sıkıştırılabilir Akışkanlar için Süreklilik Denklemi (sıkıştırılabilir)
Sıkıştırılabilir bir akışkan söz konusu olduğunda (sıkıştırılabilirBir akışkanın yoğunluğu her zaman aynı değildir. Başka bir deyişle, bir akışkan sıkıştırıldığında yoğunluğu değişir. Sıkıştırılamaz bir akışkan için denklemden akışkanın yoğunluğunu çıkarırsak, bu durumda akışkanın yoğunluğu hala denklemde yer alır. Daha önce türetilen denklemi kılavuz olarak kullanarak, sıkıştırılabilir bir akışkan için denklemi türetelim.
Sürekli akışta giren akışkanın kütlesinin çıkan akışkanın kütlesiyle aynı olduğunu göz önünde bulundurursak:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
Akışkan akışının zaman aralığı aynı olduğundan, bu terim ortadan kaldırılabilir. Denklem şu şekilde değişir:
ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → Denklem 2
Bu, sıkıştırılabilir bir akışkan için denklemdir. Tek fark, akışkanın yoğunluğundadır. Bir akışkan sıkıştırıldığında, yoğunluğu değişir. Tersine, bir akışkan sıkıştırılamaz olduğunda, yoğunluğu sabit kalır ve sadeleştirilebilir.
Örnek soru 1:
Çapı 10 cm olan bir borudan saniyede 2 m hızla su akmaktadır. Su debisi nedir?
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Boru çapı = 10 cm (bu, borunun iç çapıdır)
Boru yarıçapı (r) = 5 cm = 0,05 m
v su = 2 m/s
Soruldu: borç
Cevap :
Q = A v
Q = ( π r2(2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m)2 (2 m / sn)
Q = (3,14)(0,0025 m2(2 m/s)
Q = 0,0157 m3 /s
Örnek soru 2:
Çapı 20 cm olan bir su borusu, çapı 10 cm olan başka bir boruya bağlanmıştır. 20 cm çaplı borudaki su akış hızı 4 m/s ise, 10 cm çaplı borudaki su akış hızı nedir?
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Çap 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m / s
Çap 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)
Soruldu: v1
Cevap :
Q1 = Q,2
A1 v1 = A2 v2
(π r12) (4 m/s) = (π r22) (v2)
(0,1 m)2 (4 m/s) = (0,05 m)2 (v2)
(0,01 m2)(4 m/s) = (0,0025 m2(v)2)
(0,04 m3 /s) = (0,0025 m2(v)2)
v2 = 16 m / s
