Süreklilik denklemi hakkında makale
Musluğu yavaşça açarken, musluktan akan suyun hızına dikkat edin. Şimdi karşılaştırın, musluk kapalıyken mi yoksa açıkken mi su akış hızı daha yüksek? Bunun sebebi nedir? Bunu anlamak için lütfen süreklilik denklemini inceleyin.
Aerodinamik
Durağan bir akışta, örneğin A noktasında, her bir akışkan parçacığının hızı her zaman aynıdır. B noktasından geçerken, akışkan parçacıklarının hızı değişebilir. Ancak, B noktasına varıldığında, arkadan gelen akışkan parçacıkları, önden gelen akışkan parçacıklarıyla aynı hızda akar. Aynı durum C noktasına varıldığında da geçerlidir ve bu böyle devam eder. Akış çizgisi, A, B ve C noktalarını birleştiren bir eğridir.
Akış tüpü
Akışkan akışındaki her noktadan geçen akış çizgilerini tanımlayabiliriz. Sabit bir akışkan akışı algılarsak, hayali yüzey alanında belirli bir açıyla geçen bazı akış çizgileri bir akış tüpü oluşturur. Hiçbir akışkan parçacığı kesişmez, her zaman paraleldir ve akış tüpü, şekli aynı kalan bir boruya benzer. Tüpün bir ucundan giren akışkan, diğer ucundan çıkar.
borç
Debi, belirli bir zaman aralığında belirli bir kesitten geçen akışkanın hacmini ifade eder. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir:
Deşarj = Sıvı Hacmi / zaman aralığı
Q = V / t
Anlamayı kolaylaştırmak için bir örnek kullanalım. Örneğin, bir borudan sıvı akar. Borular genellikle silindirik şekildedir ve belirli bir kesit alanına sahiptir. Borunun ayrıca bir uzunluğu da vardır.
Sıvı boruda L uzunluğuna kadar aktığında, borudaki sıvının hacmi V = AL'dir (V = sıvının hacmi, A = kesit alanı ve L = borunun uzunluğu). Sıvı boruda L uzunluğu boyunca aktığı sürece belirli bir zaman aralığına ihtiyaç duyduğundan, sıvının miktarının şu şekilde olduğunu söyleyebiliriz:
v = s / t = L / t —> L = vt olduğundan, yukarıdaki denklem şu şekilde değişir:
Dolayısıyla, belirli bir kesit alanına ve uzunluğa sahip bir borudan belirli bir süre boyunca akışkan aktığında, akışkan deşarj miktarı (Q), kesit alanı (A) ile akışkan akış hızının (v) çarpımına eşittir.
Süreklilik denklemi
Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, farklı çaplara sahip bir borudaki sıvı akışını inceleyin.
Bu görüntü, sıvının soldan sağa doğru akışını göstermektedir (sıvı, geniş çaplı bir borudan dar çaplı bir boruya doğru akar). Kesikli çizgi, akışkanın akışının düzgünlüğünü göstermektedir.
A 1 = büyük çaplı boru kesit alanı, A 2 = küçük çaplı boru kesit alanı, v 1 = büyük çaplı borudaki akışkan akış hızı, v 2 = küçük çaplı borudaki akışkan akış hızı, L = akışkanın kat ettiği mesafe.
Durağan bir akışta, bir noktadaki akışkan parçacıklarının akış hızı, o noktadan geçen diğer akışkan parçacıklarının akış hızına eşittir. Akışkan akışı ayrıca kesişmez (çizgiler paraleldir). Bu nedenle, borunun bir ucundan giren akışkanın kütlesi, diğer ucundan çıkan akışkanın kütlesine eşit olmalıdır. Eğer akışkan, geniş çaplı bir boruya belirli bir kütleyle giriyorsa, küçük çaplı bir borudan aynı kütleyle çıkacaktır.
Şimdi yukarıdaki boru şeklini ele alalım. Büyük çaplı boruyu ve küçük çaplı boruyu inceleyin.
Belirli bir zaman aralığında, bazı akışkanlar büyük çaplı boru bölümünden (A1 ) L1 uzunluğuna kadar akar (L1 = v1t ) . Akan akışkanın hacmi V1 = A1L1 = A1v1t'dir . Aynı zaman aralığında, diğer bazı akışkanlar küçük çaplı boru bölümünden ( A2 ) L2 uzunluğuna kadar akar ( L2 = v2t ) . Akan akışkanın hacmi V2 = A2L2 = A2v2t'dir.
Sıkıştırılamaz akışkanlar için süreklilik denklemi
Sıkıştırılamaz akışkanlarda, akışkanın yoğunluğu geçtiği her noktada her zaman aynıdır. Belirli bir zaman aralığında kesit alanı A1 olan (büyük boru çapı) bir borudan akan akışkan kütlesi şöyledir:
Benzer şekilde, belirli bir zaman aralığında kesit alanı A² olan ( küçük boru çapı) bir boruda akan sıvının kütlesi şöyledir:
Sürekli akış halindeki bir sıvının kütlesi, çıkan sıvının kütlesiyle aynıdır, dolayısıyla:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 v 1 = A 2 v 2
Dolayısıyla, sıkıştırılamaz akışkanlarda süreklilik denklemi şöyledir :
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Denklem 1
A 1 = kesit alanı 1, A 2 = kesit alanı 2, v 1 = kesit 1'deki akışkan akış hızı, v 2 = kesit 2'deki akışkan akış hızı, A v = hacimsel akış hızı (V / t) = debi.
Denklem 1, boru veya akış tüpü boyunca her noktada debinin her zaman aynı olduğunu göstermektedir. Boru kesiti azaldığında akışkan akış hızı artarken, boru kesiti büyüdüğünde akışkan akış hızı azalır.
Musluğun ağzının bir kısmı kapalı olduğunda, su akışı musluğun ağzının bir kısmı açık olduğundan daha fazla olur. Bunun nedeni, musluğun ağzının bir kısmı kapalı olduğunda musluğun kesit alanının küçülmesi ve dolayısıyla su akış hızının artmasıdır. Ancak, musluğun ağzının bir kısmı kapalı olsun ya da olmasın, su akışının her noktasında akış hızının veya sıvı debisinin her zaman aynı olduğunu bilmek önemlidir. Peki, sıvı akış hızında ne gibi değişiklikler olur?
Peki ya nehirdeki su akışı? Nehrin derin kesiminin kesit alanı sığ kesimden daha büyüktür, bu nedenle derin nehirdeki su akış hızı, sığ kesimdeki su akış hızından daha düşüktür.
Sıkıştırılabilir akışkanlar için süreklilik denklemi
Sıkıştırılmış akışkan için, akışkanın yoğunluğu her zaman aynı değildir. Başka bir deyişle, akışkan sıkıştırıldığında yoğunluğu değişir. Eğer akışkan sıkıştırılmamışsa, akışkanın yoğunluğu denklemden çıkarılır; bu durumda ise akışkan yoğunluğu denkleme dahil edilir. Daha önce türetilen denkleme atıfta bulunarak, sıkıştırılmış akışkan için denklemi türetelim.
Giren sıvının kütlesi, çıkan sıvının kütlesine eşittir, dolayısıyla:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Akışkan akış aralığı aynı olduğundan ortadan kaldırılabilir. Denklemler şu şekilde değişir:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Denklem 2
Bu, sıkıştırılmış akışkan için denklemdir. Fark, akışkanın yoğunluğunda yatmaktadır. Akışkan sıkıştırılırsa, yoğunluk değişir. Tersine, akışkan sıkıştırılmazsa, yoğunluk her zaman aynı kalır, bu nedenle denklemden çıkarılabilir.
Örnek problem 1:
Çapı 10 cm olan bir borudan saniyede 2 m hızla su akmaktadır. Su debisi nedir?
Bilinenler:
Boru çapı = 10 cm
Boru yarıçapı (r) = 5 cm = 0.05 m
Suyun hızı (v) = 2 m/s
Aranıyor: Banka Kartı
Çözüm :
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
Örnek problem 2:
Çapı 20 cm olan bir boru, çapı 10 cm olan başka bir boruya bağlanmıştır. Çapı 20 cm olan borudaki suyun hızı 4 m/s ise, çapı 10 cm olan borudaki suyun hızı nedir?
Bilinenler:
Çap 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0.1 m)
v 1 = 4 m/s
Çap 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0.05 m)
Aranıyor: v 1
Cevap :
Q 1 = Q 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v 2 = 16 m/s
