Bernoulli ilkesi ve Bernoulli denklemi hakkında makale
Motosiklete bindiğimizde giydiğimiz kıyafetler geriye doğru şişer. Bazen, rüzgar sert eserse, kapı kendiliğinden kapanabilir. Rüzgar evin dışında eserken, kapı evin içindedir.
Bu durum Bernoulli ilkesi kullanılarak açıklanabilir. Daniel Bernoulli (1700-1782), yukarıdaki olayı açıklamak için kullanılabilecek bir ilke keşfetti.
Bernoulli ilkesi
Bernoulli ilkesi, akışkanın akış hızının yüksek olduğu yerlerde akışkan basıncının düşük olduğunu belirtir. Tersine, akışkanın akış hızı düşükse, akışkan basıncı yüksektir. Bir motosiklet hızlı hareket ettiğinde, vücudunuzun ön ve yan tarafındaki hava hızı yüksektir. Bu nedenle, hava basıncı düşer. Vücudunuzun arkası, ön tarafınız tarafından engellendiği için, vücudunuzun arkasındaki hava hızı yükselmez. Sonuç olarak, vücudunuzun arkasındaki hava basıncı daha yüksek olur. Hava basıncındaki bu fark nedeniyle, vücudun arkasındaki hava basıncı daha yüksek olduğu için, hava tişörtünüzü geriye doğru iter ve kıyafetleriniz geriye doğru şişkin görünür.
Peki ya dışarıda rüzgar estiğinde kendiliğinden kapanan ev kapısı? Dışarıdaki hava, evin içindeki havadan daha hızlı hareket eder. Sonuç olarak, evin dışındaki hava basıncı, evin içindeki hava basıncından daha düşüktür. Basınç farkı olduğu için, evin içindeki hava basıncının daha yüksek olduğu yerde kapı dışarı doğru itilir. Başka bir deyişle, kapı kanadı, hava basıncının yüksek olduğu yerden hava basıncının düşük olduğu yere doğru hareket eder.
Bernoulli denklemi
Daha önce Bernoulli ilkesini öğrenmiştik. Bernoulli ayrıca bu ilkeyi nicel olarak da geliştirmiştir. Bernoulli denklemini türetmek için, akışkan akışının kararlı ve laminer, sıkıştırılmamış olduğunu ve viskozitenin ihmal edilebilecek kadar minimum olduğunu varsayıyoruz.
Süreklilik denkleminin tartışılmasında, akışkan akış hızının akış borusunun akış alanına bağlı olarak da değişebileceğini öğrendik. Yukarıda açıklanan Bernoulli ilkesine dayanarak, akışkan basıncı da akışkanın akış hızına bağlı olarak değişebilir. Akışkan basıncı ayrıca akışkanın yüksekliğine bağlı olarak da değişebilir. Basınç, akış hızı ve akış yüksekliği arasındaki ilişki Bernoulli denkleminde elde edilebilir.
Bernoulli denklemi, uçak uçuşlarını, hidroelektrik santrallerini, boru sistemlerini vb. analiz etmek için kullanılabildiğinden kritik öneme sahiptir. Bernoulli denkleminin genel olarak türetilmesi için, akışkanın kesit alanı ve yüksekliği farklı olan bir akış borusundan aktığını varsayıyoruz. Bernoulli denklemini türetmek için, akış borusundaki akışkana iş ve enerji teoremini uyguluyoruz.
Aşağıdaki şekildeki akış tüpündeki opak renk, sıvı akışını gösterirken, beyaz renk sıvı olmadığını gösterir.
Kesit alanı 1'deki (sol taraf) akışkan, L'ye kadar akar.1 ve 2. bölümdeki (sağ taraf) sıvının L mesafesine kadar hareket etmesini sağlar.2Sağ taraftaki kesit alanı 2 daha küçük olduğundan, akış borusunun sağ tarafındaki akışkanın akış hızı daha büyüktür (Süreklilik denklemini hatırlayın). Bu, kesit 2 (akış borusunun sağ tarafı) ve kesit 1 (akış borusunun sol tarafı) arasında bir basınç farkına neden olur – Bernoulli ilkesini hatırlayın. Kesit 1'in solunda bulunan akışkan basınç (P) oluşturur.1Sağdaki sıvıya etki eder ve işe yarar:
Sonra W1 Denklem şu şekilde yazılabilir:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Bölüm 2'de (akış borusunun sağ tarafı), akışkan üzerinde yapılan iş şöyledir:
W2 = − p2 A2 L2
Negatif işaret, uygulanan kuvvetin hareket yönünün tersine olduğunu gösterir. Dolayısıyla, akışkan kesit 2'nin sağında iş yapar. Ayrıca, yerçekimi kuvveti de akışkan üzerinde iş yapar. Yukarıdaki durumda, bazı akışkan kütleleri kesit 1'den L'ye kadar aktarılır.1 L'ye kadar bölüm 2'ye kadar2Burada, kesit 1'deki (A) sıvı hacmidir.1 L1) = 2. kesitteki sıvının hacmi (A2 L2Yerçekiminin yaptığı iş şöyledir:
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Negatif işaret, sıvının yerçekimi yönünün aksine yukarı doğru akmasından kaynaklanır. Dolayısıyla, sıvı üzerinde yapılan net iş şöyledir:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
İş-enerji teoremi, bir sisteme yapılan net işin, kinetik enerjideki değişime eşit olduğunu belirtir. Dolayısıyla, işi (W) kinetik enerjideki değişimle (EK) değiştirebiliriz.2 – EK1).
Yukarıdaki denklem tekrar şu şekilde yazılabilir:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1/2 mV22 – 1/2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
L mesafesine kadar akan akışkan kütlesi1 A kesitinde1 = L mesafesine kadar akan sıvının kütlesi2 (kesit A)2Sıvının kütlesi, diyelim ki m, A hacmine sahiptir.1 L1 ve A2 L2 burada bir1 L1 = A2 L2 (L2 L'den daha uzundur1).
Şimdi yukarıdaki denklemde m'yi m = ρ AL ile değiştiriyoruz:
Bu, Bernoulli denklemidir. Bernoulli denklemi, iş-enerji ilkesine dayanarak türetilmiştir ve bu nedenle enerjinin korunumu ilkesinin bir biçimidir.
P = basınç, ρ = yoğunluk, v = akışkanın hızı, g = yerçekimi ivmesi, h = borunun yerden yüksekliği.
Yukarıdaki Bernoulli denkleminin sol ve sağ bölümleri, akış borusu boyunca herhangi bir iki noktayı ifade edebilir; bu nedenle yukarıdaki denklemi şu şekilde yeniden yazabiliriz:
Şimdi Bernoulli denklemini bazı durumlar için inceleyelim.
Statik akışkanlarda Bernoulli denklemi
Bernoulli denkleminin özel durumu, akışkanın hızının olmadığı statik akışkan içindir. Dolayısıyla, v1 = v2 = 0. Durağan bir akışkan durumunda, Bernoulli denklemini şu şekilde formüle edebiliriz:
Eğer h2 - h1 = h, bu denklem şu şekilde yazılabilir:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Aynı yükseklikteki boruda Bernoulli denklemi
Borunun yüksekliği aynı ise, Bernoulli denklemi şu şekilde değişir:
