Düzgün Dairesel Hareket Problemlerine İlişkin 11 Örnek
1. Bir parçacık, saniyede 10 rad'lık sabit bir açısal hızla dairesel bir yörüngede hareket etmektedir. (a) Parçacığın 10 saniye sonraki açısal hızını ve (b) parçacığın 10 saniye sonra oluşturduğu açıyı belirleyin.
Pembahasan
(a) 10 saniye sonraki açısal hız
Bir parçacık düzgün bir daire içinde hareket eder = parçacık sabit bir açısal hızla hareket eder. Dolayısıyla 10 saniye sonra açısal hız 10 radyan/saniye olarak kalır.
(b) 10 saniye sonra oluşan açı
Saniyede 10 radyanlık sabit bir açısal hız, parçacığın her 1 saniyede 10 radyanlık bir açıyla döndüğü anlamına gelir. 2 saniye sonra, parçacık 2 x 10 = 20 radyanlık bir açıyla dönmüş olur. 10 saniye sonra, parçacık 10 x 10 radyan = 100 radyanlık bir açıyla dönmüş olur.
2. Bir silindirin kenarındaki bir nokta, saniyede 10 m'lik sabit bir hızla dairesel bir hareket yapmaktadır. Silindirin yarıçapı 1 metredir. (a) 5 saniye sonra silindirin kenarının hızını, (b) 5 saniye sonra silindirin kenarının kat ettiği mesafeyi ve (c) dönme ekseninden 0,5 metre ve 1 metre uzaklıktaki noktaların merkezcil ivmesini belirleyin.
Pembahasan
(A) Silindirin kenarındaki bir noktanın 5 saniye sonraki hızı.
Silindir sabit bir hızla dairesel bir hareket yapıyor, bu nedenle 5 saniye sonra silindirin kenarının hızı 10 metre/saniye olarak kalıyor.
(B) Silindirin kenarındaki bir noktanın 5 saniye sonra kat ettiği mesafe.
Formülsüz
Saniyede 10 metre hız, silindirin kenarındaki noktanın her 1 saniyede 10 metre hareket ettiği anlamına gelir. 1 saniye sonra, silindirin kenarındaki nokta 10 metre hareket eder. 2 saniye sonra, silindirin kenarındaki nokta 20 metre hareket eder. 5 saniye sonra, silindirin kenarındaki nokta 50 metrelik bir daire çizer.
Formülü kullanarak :
v = s / t
s = vt = (10)(5) = 50 metre
(C) merkezcil ivme (as)
Eksenden 0,5 metre uzaklıktaki bir noktanın merkezcil ivmesi şöyledir:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 0,5 = 200 m/s2
Eksenden 1 metre uzaklıktaki bir noktanın merkezcil ivmesi şöyledir:
as = v2 / r = 102 / 0,5 = 100 / 1 = 100 m/s2
3. Yarıçapı 2 metre olan bir döner tabla, sabit 60 devir/dakika açısal hızla hareket etmektedir. (a) 2 saniye sonra döner tablanın açısal hızını, (b) 1 dakika sonra döner tablanın oluşturduğu açıyı, (c) dönme ekseninden 1 metre uzaklıktaki bir noktanın teğetsel hızını, merkezcil ivmesini ve kat ettiği mesafeyi, (d) döner tablanın kenarındaki bir noktanın teğetsel hızını, merkezcil ivmesini ve kat ettiği mesafeyi belirleyin.
Pembahasan
Bilinen :
Cevab :
(A) açısal hız ( ) 2 saniye sonra
Açısal hız sabittir, bu nedenle 2 saniye sonra döner tablanın açısal hızı 6,28 radyan/saniye olarak kalır.
(B) köşe ( ) 1 dakika sonra döner bir platformla çevrili
Saniyede 1 devir açısal hız, döner tablanın her saniyede bir dönüş yaptığı anlamına gelir. 60 saniye sonra döner tabla 60 dönüş yapmış olur. Ya da başka bir deyişle,
Saniyede 6,28 radyanlık açısal hız, döner tablanın her saniyede 6,28 radyanlık bir açıyla döndüğü anlamına gelir. 60 saniye sonra, döner tabla 376,8 radyanlık bir açıyla dönmüş olur.
4. Bir araba tekerleği her 60 saniyede bir 120 devir yapar. Tekerleğin açısal hızı nedir? Bunu aşağıdaki şekilde ifade edin: (a) dakika başına devrim (rpm) veya dakikadaki devir sayısı (b) saniyede derece (o/s) (c) saniyede radyan (rad/s)
Pembahasan
(A) Tekerleğin açısal hızı, dakikadaki devir sayısı (rpm) cinsinden.
120 devir / 60 saniye = 120 devir / 1 dakika = 120 devir/dakika = 120 rpm
(B) tekerleğin açısal hızı, derece/saniye cinsinden (o/ s)
1 dönüş = 360o120 dönüş = 43200o
Yani 120 devir / 60 saniye = (120)(360)o) / 60 saniye = 43200o / 60 saniye = 720o/ikinci
(C) Tekerleğin açısal hızı, radyan/saniye (rad/s) cinsinden.
1 dönüş = 6,28 radyan
Yani 120 devir / 60 saniye = (120)(6,28) radyan / 60 saniye = 753,6 radyan / 60 saniye = 12,56 radyan/saniye
5. Çapı 1 m olan dairesel bir kapta bir bilye döndürülüyor. Bilye, kabın kenarı etrafında sabit bir açısal hız olan 50 devir/dakika ile dönüyorsa, bilyenin doğrusal hızı ve merkezcil ivmesi nedir?
A. 50 ms-1 ve 2500 ms-2
B. 5π ms-1 ve 25π2 Hanım-2
C. 5π/3 ms-1 ve 25π2/18 ms-2
D. 5π/6 ms-1 ve 25π2/18 ms-2
E. 5π/12 ms-1 ve 25π2/36 ms-2
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Daire çapı (D) = 1 metre
Çemberin yarıçapı (r) = 0,5 metre
Açısal hız (ω) = 50 devir/dakika = 50 devir / 1 dakika
1 devir = 2π radyan
50 devir = 50 (2π radyan) = 100π radyan
1 dakika = 60 saniye
Açısal hız (ω) = 100π radyan / 60 saniye = (10π/6) radyan/saniye
Soru: Doğrusal hız (v) ve merkezcil ivme (a)s)
Cevap :
Doğrusal hız (v):
v = r ω = (0,5)(10π/6) = 5π/6 m/s
Merkezcil ivme (a)s)
as = v2/r = (5π/6)2 : 0,5 = 25π2/36 : 0,5 = (25π2/36)(1/0,5)
as = (25π2/18) m/s2
Doğru cevap D şıkkıdır.
6. Bir cisim 50 cm yarıçaplı bir daire içinde hareket etmektedir. Cisim 120 devir/dakika hızla dönüyorsa, cismin dönme süresi ve hızı sırasıyla nedir?
A. 0,5 s ve 2π ms-1
B. 0,5 s ve 0,2π ms-1
C. 0,5 s ve π ms-1
D. 2 s ve 5π ms-1
E. 2 s ve 10π ms-1
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Yarıçap (r) = 50 cm = 0,5 metre
Açısal hız (ω) = 120 devir/dakika = 120 devir / 1 dakika = 120 devir / 60 dakika = 2 devir / 1 saniye
1 devir = 2π radyan
Açısal hız (ω) = 2 (2π radyan) / 1 saniye = 4π radyan/saniye
Soru: Dönme süresi (T) ve doğrusal hız (v)
Cevap :
Çevrim süresi veya periyodu (T):
Periyot, bir cismin bir tur dönüşünü tamamlaması için geçen süredir.
Bir cisim 1 saniyede 2 devir yapıyor = cisim 0,5 saniyede 1 devir yapıyor. Dolayısıyla dönüş süresi veya periyodu 0,5 saniyedir.
Nesne hızı (v):
v = r ω = (0,5 metre)(4π radyan/saniye) = 2π metre/saniye
Doğru cevap A şıkkıdır.
Materyali inceleyin. dairesel hareket oyleyse düzgün dairesel hareket Bu konudaki tartışmayı daha iyi anlamak için.
7. Yarıçapı 10 cm olan bir tekerlek, dakikada 180 devir yaparak düzgün bir şekilde dönmektedir. Tekerleğin kenarındaki bir noktanın doğrusal hızı nedir?
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Soruldu:
Doğrusal hız (v) ?
Cevap :
Tekerleğin kenarındaki nokta, tekerleğin merkezinden 0,1 metre uzaklıktadır.
Doğru cevap A şıkkıdır.
8. Bir cisim, yarıçapı R olan dairesel bir yol boyunca sabit v hızıyla hareket ediyor ve merkezcil ivmesi (a)sBöylece merkezcil ivme orijinal ivmenin üç katına çıkar...
A. v 4 kez, R ise tekrar 2 kez oluşturulur.
B. v 2 kez, R ise tekrar 4 kez oluşturulur.
C. v 3 kez oluşturulur ve R tekrar 3 kez oluşturulur.
D. v aynı kalır ve R tekrar ikiye katlanır.
E. v tekrar ikiye katlanır ve R aynı kalır.
Pembahasan
Doğru cevap C şıkkıdır.
9. Şekilde gösterildiği gibi A, B ve C tekerlekleri birbirine bağlıdır. A, B ve C tekerleklerinin yarıçapları sırasıyla 10 cm, 4 cm ve 2 cm ise ve B tekerleği 5 rad/s açısal hızla dönüyorsa...-1 O halde C tekerleği şu açısal hızla döner: ...
A. 80 rad.s-1
B. 55 rad.s-1
C. 40 rad.s-1
D. 25 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Cevap :
A tekerleği ile B tekerleği arasındaki ilişki
A ve B tekerlekleri birbirine bağlıdır, bu nedenle birlikte dönerler. Birlikte döndükleri için A tekerleğinin açısal hızı, B tekerleğinin açısal hızına eşittir.
A tekerleği ile C tekerleği arasındaki ilişki
A tekerleğinin çevresi, C tekerleğinin çevresinden çok daha büyüktür. Eğer C tekerleği 360 derecelik bir açı almışsa...o veya bir tur dön, aynı anda A tekerleği 360 dereceye ulaşmamış olur.o veya bir dönüş. Dolayısıyla, A tekerleğinin açısal hızı, C tekerleğinin açısal hızıyla aynı değildir.
Ancak A ve C tekerlekleri bir halatla birbirine bağlıdır. Halatla bağlı oldukları için, aynı zaman aralığında A tekerleğinin kenarının kat ettiği mesafe, C tekerleğinin kenarının kat ettiği mesafeye eşittir. Dolayısıyla A tekerleğinin doğrusal hızı, B tekerleğinin doğrusal hızına eşittir.
Çözüm :
Doğru cevap D şıkkıdır.
10. Bir nesnedüzgün dairesel hareket Yarıçapı 6 metre olan bir cisim, 2 dakikada 16 tur dönüyorsa, doğrusal hız Nesne şudur…
A. 0,8 p ms-1
B. 1,0 p ms-1
C. 1,2 p ms-1
D. 1,4 p ms-1
E. 1,6 p ms-1
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Yarıçap (r) = 6 metre
Açısal hız (ω) = 16 devir / 2 dakika = 8 devir / dakika = 8 devir / 60 saniye = 0,13 devir / saniye.
Sorulan soru: doğrusal hız (v)?
Cevap :
Doğrusal hız (v) ile ivme arasındaki ilişkiyi gösteren formül açısal hız (ω) :
v = r ω = (6 metre)(0,13 devir/saniye) = 0,8 devir metre/saniye
Doğru cevap A şıkkıdır.
Radyan cinsinden ifade edilirse:
1 devir = 2π radyan = 2(3,14) = 6,28 radyan
Açısal hız = 8 (6,28) radyan / 60 saniye = 50,24 radyan / 60 saniye = 0,84 radyan/saniye
v = r ω = (6 metre)(0,84 radyan/saniye) = 5,04 radyan/saniye
11. Yarıçapı 20/π cm olan bir pervane, 1 saniyede 4 kez dönebilmektedir. Pervane ucunun doğrusal hızı nedir?
A. 3,2 ms-1
B. 1,6 ms-1
Yaklaşık 1,3 ms-1
D. 1,0 ms-1
E. 0,8 ms-1
Pembahasan
Şunlar bilinmektedir:
Yarıçap (r) = 20/π m = 20 / 3,14 cm = 6,4 cm = 0,064 metre
Açısal hız (ω) = 4 devir / 1 saniye = 4 devir/saniye
1 devir = (2)(3,14) radyan = 6,28 radyan
Açısal hız (ω) = (4)(6,28) radyan/saniye = 25,12 radyan/saniye
Soru: Pervane ucunun doğrusal hızı (v) nedir?
Cevap :
v = r ω = (0,064 metre)(25,12 radyan/saniye) = 1,6 metre/saniye
Doğru cevap B şıkkıdır.
