Moment of inertia para sa mga particle – mga problema at solusyon

1. Dalawang bolang pinagdugtong ng isang baras, gaya ng ipinapakita sa larawan sa ibaba. Balewalain ang masa ng baras . Ang masa ng bolang P ay 600 gramo at ang masa ng bolang Q ay 400 gramo. Ano ang moment of inertia ng sistema laban sa AB?

Kilala:

Ang aksis ng pag-ikot ay AB. Moment of inertia para sa mga particle – mga problema at solusyon 1

m _p = 600 gramo = 0.6 kg, m _q = 400 gramo = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Hinahanap: Ang sandali ng inersiya ng sistema

solusyon:

I = m _p r _p² + m _q r _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ² + (0.4 kg)(0.5 m) ²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg ^m² + 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. Ang Rod ng AB na may masa na 2 kg ay umikot sa paligid ng punto A, ang moment of inertia ng rod ay 8 kg m² ^. Kung iikot sa paligid ng punto O (AO = OB), ano ang moment of inertia ng rod?

Kilala: Moment of inertia para sa mga particle – mga problema at solusyon 2

Masa ng baras na AB (m) = 2 kg

Kung iikot sa punto A upang ang radius ng pag-ikot (r) = haba ng AB = r, kung gayon ang moment of inertia (I) = 8 kg ^m²

Wanted: Kung iikot sa puntong O upang ang radius ng pag-ikot (r) = haba ng AO = haba ng OB = 1/2 r, ano ang moment of inertia ng rod?

solusyon:

Ako = G. ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r2 ⁼ 8 m2 ^/ 2

r2 = ⁴^m2

r = 2 metro

Kung iikot sa puntong O kaya ½ r = 1 metro, kung gayon ang moment of inertia:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m ) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Dalawang bolang pinagdugtong ng isang baras gaya ng ipinapakita sa larawan sa ibaba. Balewalain ang masa ng baras. Ano ang moment of inertia ng sistema.

Kilala:

Masa ng bola A (m_A) = 200 gramo = 0.2 kg Moment of inertia para sa mga particle – mga problema at solusyon 3

Masa ng bola B (m _B ) = 400 gramo = 0.4 kg

Distansya sa pagitan ng bolang A at ng aksis ng pag-ikot (r _A ) = 0

Distansya sa pagitan ng bola B at ng aksis ng pag-ikot (r _B ) = 25 cm = 0.25 m

Hinahangad: Moment of inertia ng sistema

solusyon:

Ang sandali ng inersiya ng bolang A:

IA ₌ (mA ₎ (rA2 ⁾₌ (0.2)(0) ² = 0

Ang sandali ng inersiya ng bola B:

IB ₌ (mB ₎ (rB2 ₎ = (0.4)(0.25) ²⁼ (0.4)(0.0625) = 0.025 ^kgm2

Ang sandali ng inersiya ng sistema:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x 10 ^-3 kg ^m²

4. Apat na partikulo na may iba't ibang masa, ipinapakita sa larawan sa ibaba. Tukuyin ang sandali ng inersya ng sistema laban sa pahalang na linyang P.

Solusyon

Ang axis ng pag-ikot ay ang pahalang na linya na P.

Kilala: Moment of inertia para sa mga particle – mga problema at solusyon 4

Masa ng partikulo A (mA ₎ = m

Masa ng partikulo B (m _B ) = 2m

Masa ng partikulo C (m₂C ₎ = 3m

Pagdaan ng mga partikulo D (m _D ) = 4m

Distansya sa pagitan ng partikulo A at ng aksis ng pag-ikot (r _A ) = b

Distansya sa pagitan ng partikulo B at ng aksis ng pag-ikot (r _B ) = b

Distansya sa pagitan ng partikulo C at ng aksis ng pag-ikot (r _C ) = 2b

Distansya sa pagitan ng partikulo D at ng aksis ng pag-ikot (r _D ) = 2b

Hinahanap: Ang sandali ng inersiya ng sistema laban sa pahalang na linya P

solusyon:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

Ako = 31 ^mb2

5. Apat na partikulo na konektado ng isang baras. Balewalain ang masa ng baras. Tukuyin ang moment of inertia tungkol sa axis ng pag-ikot sa mga partikulo na m1 _at m2 _, gaya ng ipinapakita sa pigura sa ibaba.

Kilala

Masa ng partikulo 1 (m₁) = 1/4 kg Moment of inertia para sa mga particle – mga problema at solusyon 5

Masa ng partikulo 2 (m³ ₎ = 1/2 kg

Masa ng partikulo 3 (m³ ₎ = 1/3 kg

Masa ng partikulo 4 (m³ ₎ = 1/4 kg

Distansya sa pagitan ng partikulo 1 at ng aksis ng pag-ikot (r1 ₎ = 0

Distansya sa pagitan ng partikulo 2 at ng aksis ng pag-ikot (r2 ₎ = 0

Distansya sa pagitan ng partikulo 3 at ng aksis ng pag-ikot (r ₃ ) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Distansya sa pagitan ng partikulo 4 at ng aksis ng pag-ikot (r ₄ ) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Hinahanap: Ang sandali ng inersiya

solusyon:

I = m ₁ r ₁² + m ₂ r ₂² + m ₃ r ₃² + m ₄ r ₄²

Ako = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

Ako = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Ako = 1/400 + 1/400

Ako = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

Ano ang moment of inertia para sa isang particle?
- sagot: Para sa isang partikulo ng masa $m$ sa layo $r$ mula sa isang aksis ng pag-ikot, ang sandali ng inersiya nito $I$ ay binigay ni $I = m \times r^{2}$ .
Bakit madalas tinutukoy ang moment of inertia bilang "rotational analogue" ng masa?
- sagotKung paanong ang masa ay sukatan ng resistensya ng isang bagay sa mga pagbabago sa galaw na translasyonal nito (dahil sa ikalawang batas ni Newton), ang sandali ng inersya ay sukatan ng resistensya ng isang bagay sa mga pagbabago sa galaw na paikot nito.
Paano nakakaapekto ang pagbabago ng distansya ng isang particle mula sa axis of rotation nito sa moment of inertia nito?
- sagotAng moment of inertia ay proporsyonal sa parisukat ng distansya mula sa axis ng rotation. Kung dinoble mo ang distansya, ang moment of inertia ay tataas nang apat na beses.
Bakit ang parisukat ng distansya (r) ay²) na ginamit sa pormula para sa sandali ng inersiya sa halip na ang distansya lamang?
- sagotAng parisukat ng distansya ay ginagamit dahil sa kung paano gumagana ang kinetic energy sa rotation. Sa rotational motion, ang bawat particle ng isang bagay ay nakakatulong sa rotational kinetic energy batay sa parehong masa nito at ang distansya nito mula sa axis na nakakuwadrado.
Paano nagbabago ang moment of inertia ng isang particle kung ang masa nito ay triplehin habang pinapanatili ang distansya mula sa axis na pare-pareho?
- sagotKung ang masa ay triplehin at ang distansya ay pananatilihing hindi nagbabago, ang moment of inertia ay magti-triple rin dahil ito ay direktang proporsyonal sa masa.
Maaari bang magkaroon ng moment of inertia na sero ang isang particle? Kung gayon, sa ilalim ng anong kondisyon?
- sagotOo, ang isang partikulo ay magkakaroon ng moment of inertia na sero kung ito ay direktang matatagpuan sa axis ng rotasyon, kaya ang distansya nito ay $r$ mula sa aksis na katumbas ng sero.
Bakit ang iba't ibang bagay na may parehong masa at laki ay may iba't ibang moments of inertia kapag umiikot sa iba't ibang axes?
- sagotAng distribusyon ng masa sa paligid ng axis ng pag-ikot ang nagtatakda ng moment of inertia. Kahit na ang dalawang bagay ay may parehong masa at laki, ang kanilang mga distribusyon ng masa kaugnay ng axis ng pag-ikot ay maaaring magkaiba, na humahantong sa magkakaibang moments of inertia.
Ang moment of inertia ba ay isang scalar o vector quantity?
- sagotAng moment of inertia ay isang scalar quantity. Gayunpaman, para sa mga matibay na katawan na may mga kumplikadong hugis at maraming axes ng pag-ikot, ito ay kinakatawan ng isang tensor.
Kung dalawang partikulo, ang bawat isa ay may masa $m$ , ay matatagpuan sa mga distansya $r_{1}$ at $r_{2}$ mula sa aksis ng pag-ikot, ano ang pinagsamang sandali ng inertia?
- sagotAng sandali ng inersiya ay additive para sa magkakahiwalay na partikulo. Kaya, ang pinagsamang sandali ng inersiya $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Paano nauugnay ang moment of inertia sa konserbasyon ng angular momentum?
- sagot: Angular na momentum $L$ ay produkto ng sandali ng inersiya $I$ at angular na bilis $ω$ , na kinakatawan ng ekwasyon $L = I \times ω$ Kung walang panlabas na torque na kumikilos sa isang sistema, ang angular momentum ay mananatiling pare-pareho. Nangangahulugan ito na kung magbabago ang moment of inertia (tulad ng sa isang figure skater na humihila gamit ang kanyang mga braso), ang angular velocity ay dapat mag-adjust upang mapanatiling pare-pareho ang product.