การเคลื่อนที่ของวัตถุ

บทความเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลย

ความเร็วเริ่มต้น (v)_o) และส่วนประกอบของความเร็วเริ่มต้น (v_ox และ v_oy)

วัตถุที่มีการเคลื่อนที่แบบพาราโบลาจะมีค่าความเร็วเริ่มต้นเสมอ เนื่องจากการเคลื่อนที่แบบพาราโบลาเป็นการรวมกันของการเคลื่อนที่ในทิศทางแนวนอนและแนวตั้ง ดังนั้นความเร็วเริ่มต้นจึงมีส่วนประกอบทั้งในแนวนอนและแนวตั้งด้วย

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่แบบพาราโบลา ดังแสดงในรูปที่ 1 และ 3 ความเร็วเริ่มต้นในทิศทางแนวนอน (vox ₎และความเร็วเริ่มต้นในทิศทางแนวตั้ง (voy ₎จะคำนวณได้โดยใช้สมการ:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่แบบพาราโบลา ดังรูปที่ 2 แล้ว v _o = v _ox (v _oy = 0)

ความเร็ว (v)_x และ v_y) และตำแหน่ง (x และ y)

ความเร็วในทิศทางแนวนอนและแนวตั้งในช่วงเวลาที่กำหนดจะคำนวณได้โดยใช้สมการ:

v _x = v _ox = ค่าคงที่ ( การเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ )

v _y = v _oy + gt หรือ v _y ² = v _oy ² + 2 gh (การเคลื่อนที่แบบตกอิสระ)

ตำแหน่งของวัตถุในทิศทางแนวนอน (x) และแนวตั้ง (y) ในช่วงเวลาที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สมการ:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

ผลลัพธ์ของความเร็ว (v) และตำแหน่ง (h)

ความเร็วลัพธ์ในช่วงเวลาที่กำหนดคำนวณได้โดยใช้สมการ:

ทิศทางของวัตถุในช่วงเวลาที่กำหนดจะคำนวณได้โดยใช้สมการ:

หมายเหตุ:

1. ส่วนประกอบแนวนอนของการเคลื่อนที่แบบพาราโบลาถือเป็นการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ ดังนั้น vox = vx จึงคงที่เสมอ

2. ส่วนประกอบแนวตั้งของการเคลื่อนที่แบบพาราโบลาถือเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ ดังนั้นหากวัตถุเคลื่อนที่แบบพาราโบลา ดังแสดงในรูปที่ 1 และ 3 ส่วนประกอบแนวตั้งของความเร็วของวัตถุที่ความสูงสูงสุดจะเป็นศูนย์ (v _y = 0) หากคุณโยนลูกแก้วขึ้นไปตรงๆ ที่ความสูงสูงสุด วัตถุจะหยุดนิ่งชั่วขณะ (v _y = 0) ก่อนที่จะเปลี่ยนทิศทางลงมา ดังนั้น ความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบพาราโบลาที่ความสูงสูงสุด = v _x = v _ox

3. ถ้าวัตถุเคลื่อนที่แบบพาราโบลา ดังแสดงในรูปที่ 2 ส่วนประกอบในแนวตั้งของการเคลื่อนที่แบบพาราโบลาจะถือเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ แต่ถ้าวัตถุเคลื่อนที่แบบพาราโบลา ดังแสดงในรูปที่ 1 และ 3 ส่วนประกอบในแนวตั้งของการเคลื่อนที่แบบพาราโบลาจะถือเป็นการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวตั้ง)

ตัวอย่างโจทย์:

1. กระสุนถูกยิงออกไปในทิศทางแนวนอนด้วยความเร็วเริ่มต้น 20 เมตร/วินาที ถ้าปืนอยู่สูงจากพื้น 5 เมตร จงหา:

(ก) เวลาในอากาศ

(ข) ความสูงสูงสุด

(ค) ระยะทางแนวนอน

(d) ความเร็วของกระสุนเมื่อกระทบพื้น

วิธีการแก้:

การเคลื่อนที่ในทิศทางแนวนอนจะถูกวิเคราะห์เหมือนกับการเคลื่อนที่เชิงเส้นแบบสม่ำเสมอ ในขณะที่การเคลื่อนที่ในทิศทางแนวตั้งจะถูกวิเคราะห์เหมือนกับการตกอย่างอิสระ

เป็นที่รู้จัก:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

ก) ระยะเวลาที่อยู่ในอากาศ

วิธีแก้ปัญหาคือการกำหนดช่วงเวลา (t) ในการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ

ทราบค่า: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

ต้องการ: t

ข) ความสูงสูงสุด

ความสูงสูงสุด = h = 5 เมตร

ค) ระยะทางแนวนอน (ง)

วิธีแก้ปัญหานี้คล้ายกับการหาค่าระยะทางในการเคลื่อนที่เชิงเส้นแบบสม่ำเสมอ

ทราบค่า: v _ox = 20 m/s, t = 1 วินาที

ต้องการ: d

d = vt

d = (20 ม./วินาที)(1 วินาที) = 20 ม.

d) ความเร็วขณะที่กระสุนตกกระทบพื้น

v _tx = v _ox = 20 ม./วินาที

v _ty = ?

ขั้นแรก เราคำนวณความเร็วสุดท้ายในทิศทางแนวตั้ง (vty) วิธีแก้ปัญหานี้คล้ายกับการหาความเร็วสุดท้ายของการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ

ทราบค่า: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

ต้องการ: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

v _t = 9.8 ม./วินาที

ความเร็วของกระสุนปืนขณะกระทบพื้น:

ทิศทางของกระสุน:

เนื่องจาก v _txอยู่ในทิศทางของแกน x ด้านบวก (ไปทางขวา) และ v _tyอยู่ในทิศทางของแกน y ด้านลบ (ลงล่าง)

ทิศทางของกระสุนเมื่อตกกระทบพื้นคือ -26.1 ^องศาเทียบกับแกน x บวก (ดูรูปด้านล่าง)

2. ปืนใหญ่ยิงกระสุนทำมุม 30 ^องศากับแนวราบ ด้วยความเร็ว 60 เมตร/วินาที จงหา:

(ก) ความสูงสูงสุด

(ข) ความเร็วของกระสุนที่ความสูงสูงสุด

(ค) เวลาในอากาศ

(d) ระยะทางแนวนอน

(e) ความเร็วของกระสุนเมื่อกระทบพื้น สมมติว่าพื้นราบ 🙂

วิธีการแก้:

การเคลื่อนที่ในแนวนอนจะวิเคราะห์เหมือนกับการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ ส่วนการเคลื่อนที่ในแนวตั้งจะวิเคราะห์เหมือนกับการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวตั้ง

ทราบ ค่า: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o

จากข้อมูลที่ทราบ เราจะคำนวณส่วนประกอบในแนวตั้ง (voy ₎และแนวนอน ( _vox ) ของความเร็วเริ่มต้น (vo ₎ก่อน

ก) ความสูงสูงสุด (h)

วิธีแก้ปัญหานี้เปรียบเสมือนการกำหนดความสูงสูงสุดของการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่ง

เป็นที่รู้จัก:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 เมตร/วินาที

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 เมตร/วินาที

ก) ความสูงสูงสุด (เมตร)

วิธีแก้ปัญหานี้เปรียบเสมือนการหาความสูงสูงสุดของการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่ง

เป็นที่รู้จัก:

v _oy = 30 m/s (นี่คือความเร็วเริ่มต้นของกระสุน)

v _ty = 0 m/s (ที่ความสูงสูงสุด ความเร็วในแนวดิ่งของกระสุนเท่ากับ 0 m/s นี่คือความเร็วสุดท้าย)

g = – 9.8 ม./วินาที^²

ต้องการ: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 ชั่วโมง

900 = 19.6 ชั่วโมง

ชั่วโมง = 900/19.6

h = 45.9 เมตร

กระสุนปืนพุ่งขึ้นไปสูงที่สุด 45.9 เมตร

ข) ความเร็วที่ระดับความสูงสูงสุด

ที่ความสูงสูงสุด ความเร็วในแนวดิ่งเท่ากับ 0 เมตร/วินาที ที่ความสูงสูงสุด จะมีเพียงความเร็วในทิศทางแนวนอนเท่านั้น ความเร็วในทิศทางแนวนอนที่ความสูงสูงสุดจะเท่ากับความเร็วเริ่มต้นในทิศทางแนวนอน ซึ่งเท่ากับ 52.2 เมตร/วินาที ทิศทางของความเร็วในทิศทางแนวนอนจะคงที่เสมอ นั่นคือ อยู่ในทิศทางของแกน x บวก (หากการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นไปตามแผนภาพด้านบน)

ค) เวลาในอากาศ

วิธีแก้ปัญหานี้คล้ายกับการกำหนดช่วงเวลา (t) ในการอภิปรายเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่ง

เป็นที่รู้จัก:

v _oy = 30 m/s (นี่คือความเร็วเริ่มต้นของกระสุนในทิศทางแนวตั้ง)

g = – 9.8 ม./วินาที^²

h = 0 เมตร (เมื่อกระสุนตกถึงพื้น การกระจัดของกระสุนในแนวดิ่งจะเท่ากับ 0 เมตร)

ต้องการ: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 ตัน

t = 30 / 4.9

t = 6.12 วินาที

เวลาที่ลอยอยู่ในอากาศ = 6.12 วินาที

d) ระยะทางแนวนอน (d)

วิธีแก้ปัญหานี้คล้ายกับการหาค่าระยะทาง (d) บนการเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ

เป็นที่รู้จัก:

v _ox = 52.2 ม./วินาที

t = 6.12 วินาที

ต้องการ: d

d = vt = (52.2 ม./วินาที)(6.12 วินาที) = 319.5 ม.

e) ความเร็วขณะที่กระสุนตกกระทบพื้น

v _tx = v _ox = 52.2 ม./วินาที

v _ty = ?

ขั้นแรก เราคำนวณความเร็วสุดท้ายในทิศทางแนวตั้ง (v _ty ) จากนั้นจึงหาความเร็วสุดท้ายในการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวตั้ง

ต้องการหาค่า: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 วินาที

ต้องการ: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 ม./วินาที

เครื่องหมายลบแสดงว่าทิศทางของความเร็วสุดท้ายเป็นลงด้านล่าง โปรดสังเกตว่าความเร็วเริ่มต้นในทิศทางแนวตั้งจะเท่ากับความเร็วสุดท้ายในทิศทางแนวตั้ง

ความเร็วของกระสุนขณะกระทบพื้น:

ทิศทางของกระสุน:

เนื่องจาก v _txอยู่ในทิศทางของแกน x ด้านบวก (ไปทางขวา) และ vty อยู่ในทิศทางของแกน y ด้านลบ (ลงล่าง)

ทิศทางของความเร็วของกระสุนขณะกระทบพื้นคือ -30 ^องศาเทียบกับแกน x บวก (ดูรูปด้านล่าง)

3. ลูกบอลถูกขว้างจากขอบอาคารสูง 50 เมตร ด้วยความเร็วเริ่มต้น 10 เมตร/วินาที ถ้าลูกบอลถูกขว้างทำมุม 30 องศา กับแนวราบ จงหา:

(ก) ช่วงเวลาที่ลูกบอลตกถึงพื้น

(ข) ความเร็วของลูกบอลขณะที่กระทบพื้น

(ค) ระยะทางแนวนอนที่ลูกบอลสามารถไปถึงได้นั้นวัดจากขอบของอาคาร

(d) ความสูงสูงสุดที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

วิธีการแก้:

ขั้นแรก เราคำนวณส่วนประกอบแนวตั้ง (voy ₎และส่วนประกอบแนวนอน (vox ₎ของความเร็วเริ่มต้น ( _vo )

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

ก) ช่วงเวลาที่ลูกบอลตกถึงพื้น

วิธีแก้ปัญหานี้คล้ายกับการหาช่วงเวลา (t) ในการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวดิ่ง โดยเลือกขนาดของเวกเตอร์ที่มีทิศทางขึ้นเป็นค่าบวก และขนาดของเวกเตอร์ที่มีทิศทางลงเป็นค่าลบ ตำแหน่งที่ลูกบอลถูกขว้างออกไปถูกเลือกเป็นจุดอ้างอิง ค่า h เป็นลบเนื่องจากพื้นดินอยู่ต่ำกว่าจุดอ้างอิง และค่า g เป็นลบเนื่องจากทิศทางของความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงมีทิศทางลง

เป็นที่รู้จัก:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

ต้องการ: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

ใช้สูตรกำลังสอง:

เวลาที่ลูกบอลอยู่ในอากาศ = ช่วงเวลาตั้งแต่ถูกขว้างจนถึงตกถึงพื้น = 1.64 วินาที

ข) ความเร็วของลูกบอลขณะกระทบพื้นสนาม

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 ม./วินาที

v _ty = ?

ขั้นแรก เราคำนวณความเร็วสุดท้ายในทิศทางแนวตั้ง (v _ty ) วิธีแก้ปัญหานี้คล้ายกับการหาความเร็วสุดท้ายของการเคลื่อนที่ขึ้นในแนวตั้ง

ทราบค่า: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 วินาที

ต้องการ: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 ม./วินาที

เครื่องหมายลบแสดงว่าทิศทางของความเร็วสุดท้ายเป็นทิศทางลง

ความเร็วของกระสุนขณะกระทบพื้น:

ทิศทางความเร็วของกระสุน = ทิศทางการเคลื่อนที่ของกระสุนเมื่อกระทบพื้น:

ความเร็วของกระสุนขณะกระทบพื้น:

เนื่องจาก vtx อยู่ในทิศทางของแกน x ด้านบวก (ไปทางขวา) และ vty อยู่ในทิศทางของแกน y ด้านลบ (ลงล่าง)

ทิศทางของกระสุนเมื่อกระทบพื้นคือ -52 องศา เทียบกับแกน x บวก (ดูรูปด้านล่าง)

ค) ระยะทางแนวนอนที่ลูกบอลสามารถไปถึงได้นั้น วัดจากขอบของอาคาร

วิธีแก้ปัญหานี้คล้ายกับการหาค่าระยะทางที่เดินทาง (d) ในการเคลื่อนที่เชิงเส้นแบบสม่ำเสมอ

ทราบค่า: t = 1.64 วินาที, v _x = 8.7 เมตร/วินาที

ต้องการ: d

d = vt = (8.7 ม./วินาที)(1.64 วินาที) = 14.3 ม.

d) ความสูงสูงสุดที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

ทราบค่า: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( ส่วนประกอบแนวตั้งของความเร็วที่ความสูงสูงสุด = 0 m/s), g = -9.8 m / ^s²

ต้องการ: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 ม./วินาที = (5 ม./วินาที) ² + 2(-9.8 ม./วินาที² )(ชม.)

0 ม./วินาที = 25 (ม./วินาที) ² + (-19.6 ม./วินาที² )(ชม.)

25 (ม./วินาที) ² = -19.6 ม./วินาที 2 (ชม.)

h = 25 (ม./วินาที) ² : -19.6 ม./วินาที² = 1.3 เมตร

ความสูงสูงสุดที่ลูกบอลขึ้นไปถึง = 1.3 เมตร เหนือยอดตึก = 1.3 เมตร + 50 เมตร = 51.3 เมตร เหนือพื้นดิน