Намунаҳои саволҳо дар бораи истифодаи таносубҳои тригонометрӣ
Тригонометрия як соҳаи математика аст, ки муносибатҳои байни тарафҳо ва кунҷҳои секунҷаҳоро меомӯзад. Дарки тригонометрия муҳим аст, зеро он дар соҳаҳои гуногун, аз ҷумла меъморӣ, муҳандисӣ, астрономия ва ҳатто криптография, зуд-зуд истифода мешавад. Дар ин мақола якчанд масъалаҳои намунавӣ баррасӣ ва онҳоро дар заминаи истифодаи таносубҳои тригонометрӣ баррасӣ хоҳад кард.
Мафҳумҳои асосии тригонометрия
Пеш аз он ки ба масъалаҳои намунавӣ гузарем, биёед баъзе мафҳумҳои асосии тригонометрияро баррасӣ кунем. Дар секунҷаи росткунҷа се функсияи асосии тригонометрӣ мавҷуданд, ки аксар вақт истифода мешаванд: синус, косинус ва тангенс.
– Синуси (синуси) кунҷ ин нисбати дарозии тарафи муқобили кунҷ ба дарозии гипотенуза аст.
\[
\sin \theta = \frac{\text{тарафи пеш}}{\text{гипотенуза}}
\]
– Косинуси (cos)-и кунҷ ин нисбати дарозии тарафи ҳамшафати кунҷ ба дарозии гипотенуза аст.
\[
\cos \theta = \frac{\text{тарафи ҳамшафат}}{\text{гипотенуза}}
\]
– Тангенси (тангенси) кунҷ ин нисбати дарозии тарафи муқобили кунҷ ба дарозии тарафи ҳамшафати кунҷ аст.
\[
\tan \theta = \frac{\text{pound side}}{\text{pound side}}
\]
Намунаи саволи 1: Ҳисоб кардани баландии бурҷ
Савол: Нозир дар масофаи 50 метр аз бурҷ истода, кунҷи баландии қуллаи бурҷро 30 дараҷа чен мекунад. Баландии бурҷро муайян кунед.
Ҳал: Барои ҳалли ин масъала, мо метавонем функсияи тангенсро дар тригонометрия истифода барем. Азбаски мо кунҷи баландӣ ва масофаи уфуқиро аз нозир то бурҷ медонем, мо метавонем чунин нависем:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{tower height}}{\text{uyqualdistance}}
\]
Арзишҳои маълумро иваз кунед:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
Маълум аст, ки \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), бинобар ин:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Пас баландии бурҷ, \(h\), бо зарб кардани ҳарду тарафи муодила ба 50 ёфта мешавад:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87 \, \text{meter}
\]
Баландии бурҷ тақрибан 28.87 метр аст.
Намунаи саволи 2: Муайян кардани масофа бо истифода аз косинус
Савол: Киштӣ 10 км ба самти шарқ ҳаракат мекунад, сипас самти онро 60 дараҷа ба самти шимол тағйир медиҳад ва 15 км шино мекунад. Масофаро аз нуқтаи ибтидоӣ то киштӣ муайян кунед.
Баҳс: Барои ҳалли ин масъала, мо метавонем қоидаи косинусро дар тригонометрия истифода барем. Агар мо сафари киштӣ дар системаи координатаҳо кашем, мо секунҷаеро меёбем, ки тарафҳояш 10 км ва 15 км ва кунҷи он 60 дараҷа аст. Мо метавонем қоидаи косинусро барои ёфтани масофа байни нуқтаи ибтидоии киштӣ ва мавқеи ниҳоии он истифода барем.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Дар куҷо:
– \( а = 10 \)
– \( b = 15 \)
– \( C = 60^\circ \)
Арзишҳои маълумро иваз кунед:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ
\]
Мо медонем, ки \(\cos 60^\circ = 0.5\), пас:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = \sqrt{175} \taxminan 13.23 \, \text{km}
\]
Пас, масофа аз нуқтаи ибтидоӣ то киштӣ тақрибан 13.23 км аст.
Намунаи саволи 3: Истифодаи синус барои муайян кардани паҳлӯҳои секунҷа
Савол: Дар секунҷа ду тараф 7 см ва 10 см буда, кунҷи байни онҳо 45 дараҷа аст. Дарозии тарафи сеюми секунҷаро ҳисоб кунед.
Баҳс: Мо метавонем барои ҳалли ин масъала аз қонуни синусҳо истифода барем. Дар қонуни синусҳо, барои секунҷае, ки тарафҳояш (a), (b) ва (c) ва кунҷи (C) байни тарафҳояш (a) ва (b) дорад:
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Аммо, дар ин ҳолат, мо метавонем мустақиман аз қонуни косинусҳо барои осон кардани корҳо истифода барем. Қонуни косинусҳо чунин мегӯяд:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Дар куҷо:
– \( а = 7 \)
– \( b = 10 \)
– \( C = 45^\circ \)
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), бинобар ин:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
Ҳисоб кардани арзиши \( c \):
\[
c \approx \sqrt{149 – 70\sqrt{2}} \approx 5.97 \, \text{cm}
\]
Пас, дарозии тарафи сеюми секунҷа тақрибан 5.97 см аст.
Хулоса
Тригонометрия як воситаи хеле муфид барои ҳалли масъалаҳои гуногун бо секунҷаҳо ва кунҷҳо мебошад. Бо дарки хуби синус, косинус, тангенс ва қонунҳои тригонометрия, мо метавонем бисёр масъалаҳои амалиро ҳал кунем. Дар ин мақола якчанд мисолҳои истифодаи таносубҳои тригонометрӣ баррасӣ мешаванд, ки умедворем ба хонандагон дар фаҳмиши бештари онҳо кӯмак хоҳанд кард.
