గణాంక డేటాలో సగటు విచలనాన్ని నిర్ణయించే పద్ధతులు
గణాంక శాస్త్రంలో, సగటు లేదా మధ్యస్థం వంటి వాటి ద్వారా డేటా యొక్క "కేంద్రాన్ని" అర్థం చేసుకోవడం తరచుగా సరిపోదు. రెండు డేటా సెట్‌లు ఒకే సగటును కలిగి ఉండవచ్చు, కానీ వాటి "వైవిధ్యం" స్థాయిలలో గణనీయంగా తేడా ఉండవచ్చు. అందువల్ల, వ్యాప్తి కొలమానాలు ముఖ్యమైనవి. సాపేక్షంగా సులభంగా అర్థం చేసుకోగలిగే మరియు ఉపయోగించగల వ్యాప్తి కొలమానాలలో ఒకటి సగటు విచలనం. ఈ వ్యాసం, వివిధ రకాల గణాంక డేటాలో సగటు విచలనాన్ని నిర్ధారించే పద్ధతులను , గణన దశలు మరియు ఉదాహరణలతో సహా చర్చిస్తుంది.
సగటు విచలనాన్ని అర్థం చేసుకోవడం
సగటు విచలనం అనేది, సాధారణంగా అంకగణిత సగటు (మీన్) లేదా మధ్యస్థం వంటి కేంద్ర ధోరణి కొలమానం నుండి ప్రతి డేటా పాయింట్ యొక్క సగటు దూరాన్ని తెలియజేసే ఒక కొలమానం. ఇక్కడ ప్రస్తావించబడిన దూరం అనేది డేటా మరియు కేంద్ర విలువ మధ్య ఉన్న వ్యత్యాసం యొక్క సంపూర్ణ విలువ, తద్వారా ఏ రుణాత్మక వ్యత్యాసం కూడా ధనాత్మక వ్యత్యాసాన్ని "రద్దు" చేయదు.
సాధారణంగా, సగటు విచలనం అనేది దత్తాంశం దాని కేంద్ర విలువ నుండి ఎంత దూరంలో విస్తరించి ఉందో వివరిస్తుంది . సగటు విచలనం ఎంత తక్కువగా ఉంటే, దత్తాంశం కేంద్రం చుట్టూ అంత గట్టిగా సమూహంగా ఉంటుంది; దాని విలువ ఎంత ఎక్కువగా ఉంటే, దత్తాంశం అంత ఎక్కువగా మారుతూ ఉంటుంది.
సంపూర్ణ విలువను ఎందుకు ఉపయోగించాలి?
మనం దత్తాంశానికి మరియు సగటుకు మధ్య ఉన్న వ్యత్యాసాల సగటును సంపూర్ణ విలువ లేకుండా లెక్కిస్తే, ఆ వ్యత్యాసాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ సున్నా అవుతుంది (ఎందుకంటే సగటు అనేది సమతుల్య బిందువు). ఉదాహరణకు, +5 మరియు -5 వ్యత్యాసాలు ఉంటే, వాటి మొత్తం 0 అవుతుంది. అందువల్ల, విచలనాలు కేంద్రం నుండి దత్తాంశానికి ఉన్న దూరాన్ని నిజంగా ప్రతిబింబించేలా సంపూర్ణ విలువలను ఉపయోగిస్తారు.
ఒకే డేటా కోసం సగటు విచలన సూత్రం
ఒకే డేటా కోసం (సమూహపరచనిది), సగటు నుండి సగటు విచలనం ఈ విధంగా సూత్రీకరించబడింది:
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
Keterangan:
– \( SR \): సగటు విచలనం
– \( x_i \): i-వ డేటా
– \( \bar{x} \): అంకగణిత సగటు (సగటు)
– \( n \): డేటా పరిమాణం
సింగిల్ డేటా కాలిక్యులేషన్ టెక్నిక్ (దశలు)
1. మొత్తం డేటా యొక్క సగటు \( \bar{x} \) ను లెక్కించండి.
2. ప్రతి దత్తాంశానికి మరియు సగటుకు మధ్య గల వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించండి: \( x_i – \bar{x} \).
3. ప్రతి వ్యత్యాసం యొక్క సంపూర్ణ విలువను తీసుకోండి: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. వ్యత్యాసాల సంపూర్ణ విలువలన్నింటినీ కూడండి.
5. దత్తాంశాల సంఖ్య (n) తో భాగించండి.
ఒకే డేటా ఉదాహరణ
విలువ డేటా: 6, 8, 10, 12, 14
1) సగటు:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) వ్యత్యాసం యొక్క సంపూర్ణ విలువ:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
మొత్తం = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) సగటు విచలనం:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
దీని అర్థం సగటున ప్రతి విలువ సగటు నుండి 2,4 యూనిట్లు విచలనం చెందుతుంది (10).
తరచుగా (వివిక్త) డేటా కోసం సగటు విచలనం
డేటాను విలువలు మరియు పౌనఃపున్యాల రూపంలో (ఉదాహరణకు, ఒక పట్టిక) అందిస్తే, సూత్రం ఇలా అవుతుంది:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Keterangan:
– \( f_i \): డేటా ఫ్రీక్వెన్సీ \( x_i \)
ఫ్రీక్వెన్సీ డేటా గణన పద్ధతులు
1. సగటును లెక్కించండి: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. \( |x_i-\bar{x}| \) ను గణించండి
3. పౌనఃపున్యంతో గుణించండి: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. 3వ దశలోని అన్ని ఫలితాలను కూడండి
5. మొత్తం ఫ్రీక్వెన్సీతో భాగించండి
వివిక్త డేటా ఉదాహరణలు
| విలువ (x) | పౌనఃపున్యం (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
మొత్తం పౌనఃపున్యం: \(2+3+1=6\)
అర్థం:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
విచలనాన్ని లెక్కించండి:
– x=5 అయినప్పుడు: |5−6,67|=1,67 → f=2 తో గుణించగా → 3,34
– x=7 అయినప్పుడు: |7−6,67|=0,33 → f=3 తో గుణించగా → 0,99
– x=9 అయినప్పుడు: |9−6,67|=2,33 → f=1 తో గుణించగా → 2,33
మొత్తం: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
సగటు విచలనం:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
సమూహ డేటా కోసం సగటు విచలనం (తరగతి అంతరం)
సమూహపరచిన డేటాలో (ఉదాహరణకు, అంతర పౌనఃపున్య పంపిణీలు ), డేటా విలువలు విడివిడిగా కాకుండా, తరగతులుగా ప్రదర్శించబడతాయి. ఈ ప్రయోజనం కోసం, ఒక తరగతిలోని డేటాను సూచించడానికి తరగతి మధ్య బిందువు (xi) ఉపయోగించబడుతుంది.
సూత్రం:
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
అయితే, \(x_i\) అనేది తరగతి యొక్క మధ్య బిందువు.
సమూహ డేటా గణన పద్ధతులు
1. ప్రతి తరగతి మధ్య బిందువును నిర్ణయించండి:
\[
x_i=\frac{\text{దిగువ పరిమితి + ఎగువ పరిమితి}}{2}
\]
2. సమూహ సగటును లెక్కించండి:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. \( |x_i-\bar{x}| \) ను గణించండి
4. పౌనఃపున్యం \( f_i \) తో గుణించండి
5. అన్ని ఫలితాలను కూడి, మొత్తం ఫ్రీక్వెన్సీతో భాగించండి.
సమూహ డేటా ఉదాహరణ
తరగతి | ఎఫ్ |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
మధ్య బిందువు:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
మొత్తం f = 10
అర్థం:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
విచలనం:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
మొత్తం = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
సగటు విచలనం:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
మధ్యస్థం నుండి సగటు విచలనం
సగటుకు అదనంగా, మధ్యస్థం నుండి సగటు విచలనాన్ని కూడా లెక్కించవచ్చు. సూత్రం ఒకటే, కేవలం మధ్య విలువ మాత్రమే భిన్నంగా ఉంటుంది. డేటాలో విపరీత విలువలు ఉన్నప్పుడు ఇది ఉపయోగపడుతుంది, ఎందుకంటే మధ్యస్థం తీవ్రమైన విలువల పట్ల మరింత స్థితిస్థాపకంగా ఉంటుంది.
ఒకే డేటా కోసం:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
ఫ్రీక్వెన్సీ డేటా కోసం:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
సగటు విచలనం యొక్క ప్రయోజనాలు మరియు పరిమితులు
కెలేబిహాన్:
1. డేటా సెంటర్ నుండి “సగటు దూరాన్ని” ఉపయోగించడం వల్ల అర్థం చేసుకోవడం సులభం.
2. మొత్తం డేటాను ఉపయోగించండి (కేవలం కొంత డేటాను మాత్రమే కాదు).
3. వివిధ రూపాలకు లెక్కించవచ్చు డేటా ప్రదర్శన.
పరిమితులు:
1. ప్రామాణిక విచలనం కంటే తక్కువ ప్రజాదరణ పొందింది గణాంక విశ్లేషణ అధునాతన.
2. సంపూర్ణ విలువల వాడకం కొన్ని బీజగణిత తారుమారులను తక్కువ సౌకర్యవంతంగా చేస్తుంది.
3. అనేక అనుమాన పద్ధతులలో ప్రామాణిక విచలనం వలె బలంగా ఉండదు.
పెనుటప్
గణాంక డేటాలో సగటు విచలనాన్ని నిర్ధారించే పద్ధతి ప్రాథమికంగా ఒక స్థిరమైన నమూనాను అనుసరిస్తుంది: కేంద్ర విలువను (సగటు లేదా మధ్యస్థం) నిర్ధారించడం, కేంద్రం నుండి ప్రతి డేటా పాయింట్ (లేదా తరగతి మధ్య బిందువు) యొక్క సంపూర్ణ దూరాన్ని లెక్కించడం, ఆపై వాటి సగటును లెక్కించడం—డేటాను పట్టికలో ప్రదర్శించినట్లయితే పౌనఃపున్యాన్ని కూడా పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. డేటా వైవిధ్యతను సహజంగా వివరించడానికి, సగటు విచలనం అనేది వ్యాప్తిని కొలిచే ఒక అనుకూలమైన కొలమానం. ఈ దశలను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మీరు వివిధ డేటా సెట్‌లలోని వైవిధ్యాలను పోల్చవచ్చు మరియు ఒక డేటా సెట్ యొక్క స్థిరత్వాన్ని మరింత పూర్తిగా అంచనా వేయవచ్చు.
మీకు కావాలంటే, ఈ వ్యాసాన్ని ఒక పాఠశాల అసైన్‌మెంట్ ఫార్మాట్‌లో (పరిచయం–చర్చ–ముగింపుతో) తయారు చేయడంలో లేదా చర్చతో పాటు అభ్యాస ప్రశ్నలను జోడించడంలో నేను మీకు సహాయం చేయగలను.
