బెర్నౌలీ సూత్రం మరియు సమీకరణ పదార్థం
మనం మోటార్ సైకిల్‌ను చాలా వేగంగా నడిపినప్పుడు , మనం వేసుకున్న బట్టలు వెనుక వైపు ఉబ్బుతాయి. మీకు ఇంకా మోటార్ సైకిల్ నడపడం రాకపోతే, మోటార్ సైకిల్ నడిపే మీ తల్లిదండ్రులను లేదా స్నేహితులను గమనించండి. మోటార్ సైకిల్ వేగంగా వెళ్తున్నప్పుడు వారి బట్టల వెనుక భాగం సాధారణంగా ఉబ్బుతుంది. కొన్నిసార్లు గాలి బలంగా వీచినప్పుడు, ఇంటి తలుపు దానంతట అదే మూసుకుపోతుంది. గాలి ఇంటి బయట వీస్తున్నప్పటికీ, తలుపు ఇంటి లోపలే ఉంటుంది.
దీనిని బెర్నౌలీ సూత్రం ఉపయోగించి వివరించవచ్చు. డేనియల్ బెర్నౌలీ (1700–1782) పైన పేర్కొన్న కొన్ని విషయాలను వివరించడానికి ఉపయోగపడే ఒక సూత్రాన్ని కనుగొన్నాడు.
బెర్నౌలీ సూత్రం
బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం, ద్రవ ప్రవాహ వేగం ఎక్కువగా ఉన్నచోట, ద్రవ పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ద్రవ ప్రవాహ వేగం తక్కువగా ఉంటే, పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది. మోటార్‌సైకిల్ వేగంగా కదులుతున్నప్పుడు, మీ శరీరానికి ముందు మరియు పక్కన గాలి వేగం ఎక్కువగా ఉంటుంది. అందువల్ల, గాలి పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది. మీ శరీరం ముందు భాగం వెనుక భాగాన్ని అడ్డుకుంటుంది, కాబట్టి మీ శరీరం వెనుక (సరిగ్గా మీ శరీరానికి వెనుక) గాలి వేగం ఎక్కువగా మారదు. ఫలితంగా, మీ శరీరం వెనుక గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది. గాలి పీడనంలో వ్యత్యాసం ఉన్నందున, అంటే మీ శరీరానికి సరిగ్గా వెనుక గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉండటం వల్ల, ఆ గాలి మీ చొక్కాను వెనక్కి నెడుతుంది, దీనివల్ల అది వెనుక వైపు ఉబ్బినట్లుగా కనిపిస్తుంది.
బయట గాలి బలంగా వీచినప్పుడు దానంతట అదే మూసుకుపోయే తలుపు సంగతేంటి? లోపలి గాలి కంటే బయటి గాలి వేగంగా కదులుతుంది. దాని ఫలితంగా, లోపలి గాలి పీడనం కంటే బయటి గాలి పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది. ఈ పీడన వ్యత్యాసం కారణంగా, లోపల గాలి పీడనం ఎక్కువగా ఉన్న చోటికి తలుపు బయటకు నెట్టబడుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, తలుపు అధిక గాలి పీడనం ఉన్న ప్రదేశం నుండి తక్కువ గాలి పీడనం ఉన్న ప్రదేశానికి కదులుతుంది.
బెర్నౌలీ సమీకరణం
గతంలో, మనం బెర్నౌలీ సూత్రం గురించి తెలుసుకున్నాము. బెర్నౌలీ ఈ సూత్రాన్ని పరిమాణాత్మకంగా కూడా అభివృద్ధి చేశాడు. బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని రాబట్టడానికి, మనం స్థిరమైన, లామినార్ ద్రవ ప్రవాహాన్ని, సంపీడనరహితత్వాన్ని మరియు విస్మరించగల తక్కువ స్నిగ్ధతను ఊహించుకుంటాము.
అవిచ్ఛిన్న సమీకరణం చర్చలో, ప్రవాహ నాళం యొక్క అడ్డుకోత వైశాల్యంపై ఆధారపడి ద్రవ ప్రవాహ రేటు కూడా మారవచ్చని మనం తెలుసుకున్నాము. పైన వివరించిన బెర్నౌలీ సూత్రం ఆధారంగా, ద్రవ ప్రవాహ రేటుపై ఆధారపడి ద్రవ పీడనం కూడా మారవచ్చు. ద్రవం యొక్క ఎత్తుపై ఆధారపడి కూడా ద్రవ పీడనం మారవచ్చు. పీడనం, ప్రవాహ రేటు మరియు ప్రవాహ ఎత్తు మధ్య సంబంధాన్ని బెర్నౌలీ సమీకరణం నుండి పొందవచ్చు.
బెర్నౌలీ సమీకరణం చాలా ముఖ్యమైనది, ఎందుకంటే దీనిని విమాన ప్రయాణం, జలవిద్యుత్ కేంద్రాలు, పైపింగ్ వ్యవస్థలు మొదలైన వాటిని విశ్లేషించడానికి ఉపయోగించవచ్చు. మనం రాబట్టబోయే బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని సాధారణంగా వర్తింపజేయడానికి, అసమాన అడ్డుకోత వైశాల్యాలు మరియు విభిన్న ఎత్తులు కలిగిన ఒక ప్రవాహ నాళం గుండా ద్రవం ప్రవహిస్తుందని మనం భావిద్దాం (క్రింది పటాన్ని చూడండి). బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని రాబట్టడానికి, మనం ప్రవాహ నాళం ప్రాంతంలోని ద్రవానికి పని మరియు శక్తి సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తాము. తరువాత, మనం ద్రవ పరిమాణాన్ని మరియు ద్రవాన్ని కదిలించడానికి చేసిన పనిని గణిస్తాము.
చిత్రంలోని ప్రవాహ నాళంలో ఉన్న అపారదర్శక రంగు ద్రవ ప్రవాహాన్ని సూచిస్తుండగా, తెలుపు రంగు ద్రవం లేకపోవడాన్ని సూచిస్తుంది.
అడ్డుకోత వైశాల్యం 1 (ఎడమ వైపు) లోని ద్రవం L 1 దూరం ప్రవహించి , అడ్డుకోత వైశాల్యం 2 (కుడి వైపు) లోని ద్రవాన్ని L 2 దూరం కదిలేలా నెడుతుంది . కుడి వైపున ఉన్న అడ్డుకోత వైశాల్యం 2 చిన్నదిగా ఉన్నందున, ప్రవాహ నాళం యొక్క కుడి వైపున ద్రవ ప్రవాహ రేటు ఎక్కువగా ఉంటుంది (అవిచ్ఛిన్న సమీకరణాన్ని గుర్తుంచుకోండి). ఇది అడ్డుకోత వైశాల్యం 2 (ప్రవాహ నాళం యొక్క కుడి వైపు) మరియు అడ్డుకోత వైశాల్యం 1 (ప్రవాహ నాళం యొక్క ఎడమ వైపు) మధ్య పీడన వ్యత్యాసానికి కారణమవుతుంది - బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి. అడ్డుకోత వైశాల్యం 1 యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న ద్రవం, కుడి వైపున ఉన్న ద్రవంపై P 1 పీడనాన్ని కలుగజేస్తుంది మరియు ఈ క్రింది పనిని చేస్తుంది:
అప్పుడు W 1 సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:
W 1 = p 1 A 1 L 1
క్రాస్ సెక్షన్ 2 వద్ద (ప్రవాహ నాళం యొక్క కుడి వైపున), ద్రవంపై జరిగిన పని:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
రుణాత్మక గుర్తు, ప్రయోగించిన బలం చలన దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉందని సూచిస్తుంది. కాబట్టి ద్రవం సెక్షన్ 2 కు కుడి వైపున పని చేస్తుంది. దీనికి అదనంగా, గురుత్వాకర్షణ బలం కూడా ద్రవంపై పని చేస్తుంది. పై సందర్భంలో, ఒక నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశి గల ద్రవం సెక్షన్ 1 నుండి L 1 దూరం వరకు సెక్షన్ 2 కు L 2 దూరం వరకు కదిలింది , ఇక్కడ సెక్షన్ 1 వద్ద ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణం (A 1 L 1 ) = సెక్షన్ 2 వద్ద ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణం (A 2 L 2 ). గురుత్వాకర్షణ చేసిన పని:
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
ద్రవం గురుత్వాకర్షణ దిశకు వ్యతిరేకంగా పైకి ప్రవహించడం వలన రుణాత్మక గుర్తు ఏర్పడుతుంది. అందువల్ల, పై చిత్రంలో చూపిన విధంగా, ద్రవంపై జరిగిన మొత్తం పని:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక వ్యవస్థపై జరిగిన మొత్తం పని దాని గతిజ శక్తిలోని మార్పుకు సమానం. అందువల్ల, మనం పని (W) స్థానంలో గతిజ శక్తిలోని మార్పును (EK 2 ‐ EK 1 ) ప్రతిక్షేపించవచ్చు.
పై సమీకరణాన్ని మనం ఈ విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
A 1 అడ్డుకోత వద్ద L 1 దూరం ప్రవహించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి = L 2 దూరం (A 2 అడ్డుకోత ) ప్రవహించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి. m అనే ద్రవ ద్రవ్యరాశికి A 1 L 1 మరియు A 2 L 2 ఘనపరిమాణాలు ఉన్నాయి, ఇక్కడ A 1 L 1 = A 2 L 2 (L 2 అనేది L 1 కంటే పొడవుగా ఉంటుంది ).
ఇప్పుడు మనం పై సమీకరణంలో m స్థానంలో m = ρ AL ను ప్రతిక్షేపిస్తాము:
ఇది బెర్నౌలీ సమీకరణం. మనం పని-శక్తి సూత్రం ఆధారంగా బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించాము, కాబట్టి ఇది శక్తి నిత్యత్వ నియమం యొక్క ఒక రూపం.
సమాచారం :
P = పీడనం
ρ = ద్రవం యొక్క సాంద్రత
v = ద్రవ ప్రవాహ వేగం
g = గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం
h = భూ ఉపరితలం నుండి ప్రవాహ గొట్టం/పైపు యొక్క ఎత్తు
పైన ఉన్న బెర్నౌలీ సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులు ప్రవాహ నాళం వెంబడి ఏవైనా రెండు బిందువులను సూచించగలవు, కాబట్టి మనం పై సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
ఈ సమీకరణంలోని పరిమాణాల మొత్తం విలువ ప్రవాహ నాళం అంతటా ఒకే విధంగా ఉంటుందని ఈ సమీకరణం తెలియజేస్తుంది.
ఇప్పుడు కొన్ని సందర్భాలలో బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని సమీక్షిద్దాం.
నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న ద్రవాల కోసం బెర్నౌలీ సమీకరణం
బెర్నౌలీ సమీకరణం యొక్క ఒక ప్రత్యేక సందర్భం నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న ద్రవాలకు (స్టాటిక్ ఫ్లూయిడ్స్) వర్తిస్తుంది. ఒక ద్రవం నిశ్చలంగా ఉన్నప్పుడు, దానికి వేగం ఉండదు. అందువల్ల, v 1 = v 2 = 0. నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న ద్రవం విషయంలో, బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా రూపొందించవచ్చు:
h 2 ‐ h 1 = h అయితే, ఈ సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
ఒకే ఎత్తు ఉన్న ప్రవాహ గొట్టాలు లేదా పైపుల కోసం బెర్నౌలీ సమీకరణం
ప్రవాహ నాళం లేదా పైపు యొక్క ఎత్తు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు బెర్నౌలీ సమీకరణం ఈ విధంగా మారుతుంది:
