నిరంతర సమీకరణం

నిరంతర సమీకరణ పదార్థం

కుళాయి నుండి బయటకు వస్తున్న నీటి ప్రవాహాన్ని గమనిస్తూ, నీటి కుళాయిని నెమ్మదిగా తెరవడానికి ప్రయత్నించండి. కుళాయి తిరగడం ఆగిపోయిన తర్వాత, మీ చేతితో కుళాయిని పాక్షికంగా మూసివేయండి. ఇప్పుడు ఏ నీటి ప్రవాహం ఎక్కువగా ఉందో పోల్చి చూడండి. పాక్షికంగా మూసివేసినప్పుడు లేదా మూసివేయకుండా ఉన్నప్పుడు? మీరు సాధారణంగా పూలకు నీరు పోయడానికి ఉపయోగించే గొట్టం (హోస్) ఉంటే, దాని గుండా నీటిని ప్రవహించనివ్వండి. మీ చేతితో లేదా వేలితో ఆ గొట్టాన్ని పాక్షికంగా మూసివేయండి. గొట్టంలో ఎంత ఎక్కువ భాగం మూసివేయబడితే, నీరు అంత వేగంగా బయటకు ప్రవహిస్తుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, గొట్టం మూసివేయకుండా ఉంటే, నీరు నెమ్మదిగా ప్రవహిస్తుంది. ఇది ఎందుకు ఇలా జరుగుతుంది? దీనిని అర్థం చేసుకోవడానికి, దయచేసి అవిచ్ఛిన్న సమీకరణాన్ని (continuity equation) అధ్యయనం చేయండి.

స్ట్రీమ్‌లైన్‌లు మరియు ఫ్లో ట్యూబ్‌లు

మొదట, స్ట్రీమ్‌లైన్‌లు మరియు ఫ్లో ట్యూబ్‌ల భావనలను అర్థం చేసుకుందాం. ఈ భావన ముఖ్యమైనది, ఎందుకంటే ఇది అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు సహాయపడుతుంది.

ప్రవాహ రేఖ

క్రింది చిత్రాన్ని చూడండి, నీలి గీత స్ట్రీమ్‌లైన్.

స్థిర ప్రవాహంలో, A అనే ​​ఒక బిందువు వద్ద ప్రతి ద్రవ కణం యొక్క వేగం స్థిరంగా ఉంటుంది. అది B బిందువును దాటినప్పుడు, ద్రవ కణాల వేగం మారవచ్చు. అయినప్పటికీ, B బిందువుకు చేరుకున్న తర్వాత, దాని వెనుక వస్తున్న ద్రవ కణాలు, వాటికి ముందు వెళ్ళిన ద్రవ కణాల వేగంతోనే ప్రవహించడం కొనసాగిస్తాయి. C బిందువుకు చేరుకున్నప్పుడు కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది, మరియు ఇదే విధంగా కొనసాగుతుంది. స్ట్రీమ్‌లైన్ అనేది A, B, మరియు C బిందువులను కలిపే వక్రం.

ప్రవాహ గొట్టం

సారాంశంలో, ద్రవ ప్రవాహంలోని ప్రతి బిందువు గుండా మనం ప్రవాహరేఖను గీయవచ్చు. మనం స్థిరమైన ద్రవ ప్రవాహాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ఒక ఊహాత్మక ఉపరితల వైశాల్యంపై (ఊహాత్మక ఉపరితల వైశాల్యం) ఒక నిర్దిష్ట కోణంలో ప్రయాణించే అనేక ప్రవాహరేఖలు ఒక ప్రవాహ నాళాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఏ ద్రవ కణాలు ఒకదానికొకటి ఖండించుకోవు, కానీ ఎల్లప్పుడూ సమాంతరంగా ఉంటాయి, మరియు ఆ ప్రవాహ నాళం ఎల్లప్పుడూ ఒకే ఆకారాన్ని కలిగి ఉండే పైపులా కనిపిస్తుంది. నాళం యొక్క ఒక చివర నుండి ప్రవేశించిన ద్రవం మరొక చివర నుండి నిష్క్రమిస్తుంది.

డెబిట్

ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో ఒక నిర్దిష్ట అడ్డుకోత గుండా ప్రవహించే ద్రవం యొక్క పరిమాణాన్ని డిశ్చార్జ్ అంటారు. గణితశాస్త్రపరంగా, దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు:

మీ అవగాహనను మరింత పెంచడానికి, ఒక ఉదాహరణను తీసుకుందాం. ఒక ద్రవం పైపు గుండా ప్రవహిస్తోందని అనుకుందాం. పైపులు సాధారణంగా స్థూపాకారంలో ఉంటాయి మరియు ఒక నిర్దిష్ట అడ్డుకోత వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ఆ పైపుకు పొడవు కూడా ఉంటుంది.

పైపులో ద్రవం L దూరం వరకు ప్రవహించినప్పుడు, పైపులోని ద్రవ పరిమాణం V = AL (V = ద్రవ పరిమాణం, A = అడ్డుకోత వైశాల్యం మరియు L = పైపు పొడవు). పైపులో L పొడవునా ప్రవహించే సమయంలో ద్రవం ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధి పాటు ప్రయాణిస్తుంది కాబట్టి, ద్రవ ఉత్సర్గం యొక్క పరిమాణం ఈ విధంగా ఉంటుందని మనం చెప్పవచ్చు:

v = s/t = L/t —> L = vt అయినందున, పై సమీకరణం ఇలా మారుతుంది:

ఈ విధంగా, ఒక నిర్దిష్ట అడ్డుకోత వైశాల్యం మరియు పొడవు గల పైపు గుండా ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో ద్రవం ప్రవహించినప్పుడు, విడుదలయ్యే ద్రవం యొక్క పరిమాణం (Q) అనేది అడ్డుకోత ఉపరితల వైశాల్యం (A) మరియు ద్రవ ప్రవాహ వేగం (v)ల లబ్ధానికి సమానంగా ఉంటుంది.

కొనసాగింపు సమీకరణం

క్రింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా, వేర్వేరు వ్యాసాలు గల పైపులో ద్రవ ప్రవాహాన్ని పరిగణించండి.

ఈ చిత్రం ఎడమ నుండి కుడికి ద్రవ ప్రవాహాన్ని చూపిస్తుంది (ద్రవం పెద్ద వ్యాసం ఉన్న పైపు నుండి చిన్న వ్యాసం ఉన్న పైపులోకి ప్రవహిస్తుంది). చుక్కల గీతలు ప్రవాహరేఖలు.

చిత్ర శీర్షిక: A ₁ = పెద్ద వ్యాసం గల పైపు భాగం యొక్క అడ్డుకోత వైశాల్యం, A ₂ = చిన్న వ్యాసం గల పైపు భాగం యొక్క అడ్డుకోత వైశాల్యం, v ₁ = పెద్ద వ్యాసం గల పైపు భాగంలో ద్రవ ప్రవాహ వేగం, v ₂ = చిన్న వ్యాసం గల పైపు భాగంలో ద్రవ ప్రవాహ వేగం, L = ద్రవం ప్రయాణించిన దూరం.

ద్రవ గతిశాస్త్ర పరిచయంలో, ద్రవ గతిశాస్త్రంలో మనం సంపీడనం చెందని, స్నిగ్ధత లేని, అల్లకల్లోలం లేని, మరియు స్థిరమైన ద్రవాల ప్రవాహం గురించి చర్చిస్తామని వివరించబడింది. స్థిరమైన ప్రవాహంలో, ఒక బిందువు వద్ద ద్రవ కణాల వేగం, ఆ బిందువు గుండా వెళ్ళే ఇతర ద్రవ కణాల వేగానికి సమానంగా ఉంటుంది. ద్రవ ప్రవాహాలు కూడా ఒకదానికొకటి ఖండించుకోవు (వాలు రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి). అందువల్ల, పైపు యొక్క ఒక చివరలోకి ప్రవేశించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి, మరొక చివర నుండి బయటకు వచ్చే ద్రవ ద్రవ్యరాశికి సమానంగా ఉండాలి. ఒక నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశి గల ద్రవం పెద్ద వ్యాసం గల పైపులోకి ప్రవేశిస్తే, ఆ ద్రవం చిన్న వ్యాసం గల పైపు నుండి స్థిరమైన ద్రవ్యరాశితో బయటకు వస్తుంది.

ఇప్పుడు, పైన ఉన్న పైపు చిత్రాన్ని చూడండి. పైపులో పెద్ద వ్యాసం ఉన్న భాగాన్ని మరియు చిన్న వ్యాసం ఉన్న భాగాన్ని చూడండి.

ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో, పెద్ద వ్యాసం (A) ఉన్న పైపు భాగం గుండా కొంత పరిమాణంలో ద్రవం ప్రవహిస్తుంది.₁) L వరకు₁ (L₁ = వి₁ t). ప్రవహించే ద్రవం యొక్క పరిమాణం V₁ = ఎ₁ L₁ = ఎ₁ v₁ t. అదే సమయ వ్యవధిలో, తక్కువ వ్యాసం (A) ఉన్న పైపు భాగం గుండా మరికొంత పరిమాణంలో ద్రవం ప్రవహిస్తుంది.₂) L వరకు₂ (L₂ = వి₂ t). ప్రవహించే ద్రవం యొక్క పరిమాణం V₂ = ఎ₂ L₂ = ఎ₂ v₂ t.

సంపీడనం చెందని ద్రవాల కోసం అవిచ్ఛిన్న సమీకరణం (సంపీడనం చెందని)

మొదట, సంపీడనం చెందని ద్రవం యొక్క సందర్భాన్ని పరిశీలిద్దాం. సంపీడనం చెందని ద్రవంలో, దాని సాంద్రత లేదా ద్రవ్యరాశి, అది ప్రయాణించే ప్రతి బిందువు వద్ద ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది. A1 ₍ పైపు యొక్క పెద్ద వ్యాసం) అడ్డుకోత వైశాల్యం గల పైపులో ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో ప్రవహించే ద్రవం యొక్క ద్రవ్యరాశి:

_{అదేవిధంగా, A₂} అడ్డుకోత వైశాల్యం (చిన్న పైపు వ్యాసం) గల పైపులో ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో ప్రవహించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి:

స్థిర ప్రవాహంలో, లోపలికి ప్రవేశించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి, బయటకు వెళ్లే ద్రవ ద్రవ్యరాశికి సమానంగా ఉంటుందని పరిగణిస్తే, అప్పుడు:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (ద్రవ సాంద్రత మరియు కాల వ్యవధి ఒకే విధంగా ఉన్నందున అవి రద్దు అవుతాయి)

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

కాబట్టి, సంపీడనం చెందని ద్రవాలలో, అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం వర్తిస్తుంది:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂ — సమీకరణం 1

సమాచారం :

A ₁ = అడ్డుకోత వైశాల్యం 1, A ₂ = అడ్డుకోత వైశాల్యం 2, v ₁ = అడ్డుకోత 1 వద్ద ద్రవ ప్రవాహ వేగం, v ₂ = అడ్డుకోత 2 వద్ద ద్రవ ప్రవాహ వేగం, A v = ఘనపరిమాణ ప్రవాహ రేటు V/t (అకా డిశ్చార్జ్)

సమీకరణం 1 ప్రకారం, పైపు లేదా ప్రవాహ నాళం పొడవునా ప్రతి బిందువు వద్ద ఘనపరిమాణ ప్రవాహ రేటు (దీనిని డిశ్చార్జ్ అని కూడా అంటారు) ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది. పైపు అడ్డుకోత వైశాల్యం తగ్గే కొద్దీ, ద్రవ ప్రవాహ రేటు పెరుగుతుంది; దీనికి విరుద్ధంగా, పైపు అడ్డుకోత వైశాల్యం పెరిగే కొద్దీ, ద్రవ ప్రవాహ రేటు తగ్గుతుంది.

మనం కుళాయిని పాక్షికంగా మూసినప్పుడు, అది పూర్తిగా మూసబడినప్పటి కంటే నీటి ప్రవాహం వేగంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే, కుళాయిని పాక్షికంగా మూసినప్పుడు దాని అడ్డుకోత వైశాల్యం తగ్గి, నీటి ప్రవాహ వేగం పెరుగుతుంది (ద్రవం వేగంగా ప్రవహిస్తుంది). గొట్టాల విషయంలో కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. అయితే, కుళాయి పాక్షికంగా మూసబడినా లేదా మూసబడినా, నీటి ప్రవాహ మార్గంలోని అన్ని బిందువుల వద్ద విడుదలయ్యే లేదా ఘనపరిమాణ ప్రవాహ వేగం ఒకే విధంగా ఉంటుందని గమనించడం ముఖ్యం. కాబట్టి, మారేది ద్రవ ప్రవాహ వేగం మాత్రమే.

మరి నదిలో నీటి ప్రవాహం సంగతేంటి? నదిలోని లోతైన భాగాలు నిస్సారమైన భాగాల కంటే పెద్ద అడ్డుకోతను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి లోతైన భాగాలలో నీటి ప్రవాహ వేగం నిస్సారమైన భాగాల కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. మీరు నది ప్రవాహం చాలా ప్రశాంతంగా ఉండటాన్ని చూస్తే, ఆ నది లోతుగా ఉందని అర్థం. కానీ నది అకస్మాత్తుగా వేగంగా ప్రవహించడం ప్రారంభిస్తే, ఆ భాగం ఖచ్చితంగా నిస్సారంగా ఉంటుంది. అయితే, నదిలోని లోతైన లేదా ప్రశాంతమైన భాగాలలో అయినా, నీటి పరిమాణ ప్రవాహ వేగం ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

సంపీడన ద్రవాల కోసం అవిచ్ఛిన్న సమీకరణం (సంపీడనం)

సంపీడన ద్రవాల విషయంలో , ద్రవం యొక్క సాంద్రత ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉండదు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ద్రవాన్ని సంపీడనం చేసినప్పుడు దాని సాంద్రత మారుతుంది. సంపీడనం చెందని ద్రవాలలో ద్రవం యొక్క సాంద్రతను సమీకరణం నుండి తొలగించినప్పటికీ , ఈ సందర్భంలో ద్రవం యొక్క సాంద్రతను సమీకరణంలో చేర్చడం జరుగుతుంది. ఇంతకు ముందు రాబడిన సమీకరణాన్ని సూచిస్తూ, సంపీడన ద్రవాల కోసం సమీకరణాన్ని రాబడదాం.

స్థిర ప్రవాహంలో, లోపలికి ప్రవేశించే ద్రవ ద్రవ్యరాశి, బయటకు వెళ్లే ద్రవ ద్రవ్యరాశికి సమానంగా ఉంటుందని పరిగణిస్తే, అప్పుడు:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

ద్రవ ప్రవాహ కాల వ్యవధి ఒకే విధంగా ఉంటుంది కాబట్టి దానిని తొలగించవచ్చు. సమీకరణం ఇలా మారుతుంది:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → సమీకరణం 2

ఇది సంపీడన యోగ్యమైన ద్రవానికి సంబంధించిన సమీకరణం. ఏకైక తేడా ద్రవం యొక్క సాంద్రతలో ఉంటుంది. ఒక ద్రవాన్ని సంపీడనం చేసినప్పుడు, దాని సాంద్రత మారుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ఒక ద్రవం సంపీడనం చెందనప్పుడు, దాని సాంద్రత స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు దానిని కొట్టివేయవచ్చు.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1:

10 సెం.మీ వ్యాసం గల పైపు గుండా నీరు 2 మీ/సె వేగంతో ప్రవహిస్తోంది. నీటి ఉత్సర్గం ఎంత?

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

పైపు వ్యాసం = 10 సెం.మీ (ఇది పైపు యొక్క లోపలి వ్యాసం)

పైపు వ్యాసార్థం (r) = 5 సెం.మీ = 0,05 మీ

v నీరు = 2 మీ/సె

అడిగారు: డెబిట్

సమాధానం :

Q = A v

Q = ( π r ² ) (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 మీ) ² (2 మీ/సె)

Q = (3,14)(0,0025 మీ ² )(2 మీ/సె)

Q = 0,0157 మీ ³ / సె

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2:

20 సెం.మీ వ్యాసం గల ఒక నీటి పైపు, 10 సెం.మీ వ్యాసం గల మరొక పైపుకు అనుసంధానించబడి ఉంది. 20 సెం.మీ వ్యాసం గల పైపులో నీటి ప్రవాహ వేగం = 4 మీ/సె అయితే, 10 సెం.మీ వ్యాసం గల పైపులో నీటి ప్రవాహ వేగం ఎంత?

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

వ్యాసం 1 = 20 సెం.మీ (r ₁ = 10 సెం.మీ = 0,1 మీ)

v ₁ = 4 మీ/సె

వ్యాసం 2 = 10 సెం.మీ (r ₂ = 5 సెం.మీ = 0,05 మీ)

అడిగారు : v ₁

సమాధానం :

ప్రశ్న ₁ = ప్రశ్న ₂

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 మీ) ² (4 మీ/సె) = (0,05 మీ) ² (v ² )

(0,01 మీ ² )(4 మీ/సె) = (0,0025 మీ ² )(v ² )

(0,04 మీ ³ /సె) = (0,0025 మీ ² )(వి ² )

v ² = 16 మీ/సె