యూనిట్ వెక్టర్ భాగాలను ఉపయోగించి చుక్కల గుణకార సామగ్రి
మనకు తెలిసిన వెక్టర్లు A మరియు B ల యొక్క x, y మరియు z కాంపోనెంట్లు తెలిస్తే, మనం స్కేలార్ ప్రొడక్ట్‌ను నేరుగా లెక్కించవచ్చు .
ఈ విధంగా డాట్ ప్రొడక్ట్ చేయడానికి, మనం మొదట యూనిట్ వెక్టర్ల డాట్ ప్రొడక్ట్ చేస్తాము, ఆ తర్వాత వెక్టర్లు A మరియు B లను వాటి కాంపోనెంట్లలో వ్యక్తపరిచి, ఆ ప్రొడక్ట్‌ను విడదీసి, యూనిట్ వెక్టర్ల ప్రొడక్ట్‌ను ఉపయోగిస్తాము.
యూనిట్ వెక్టర్లు i , j మరియు k ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి, ఇది గణనలను సులభతరం చేస్తుంది. పైన ఉత్పాదించబడిన స్కేలార్ గుణకార సమీకరణాన్ని ( AB = AB cos θ ) ఉపయోగించి మనం పొందుతాము:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
ఇప్పుడు మనం వెక్టర్లు A మరియు B లను వాటి కాంపోనెంట్ల రూపంలో వ్యక్తపరిచి, వాటి లబ్ధాన్ని విడగొట్టి, యూనిట్ వెక్టర్ల లబ్ధాన్ని ఉపయోగిస్తాము.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
karena i . i = j . j = k . k = 1 మరియు i . j = i . k = j . k = 0, అప్పుడు:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
ఈ గణన ఫలితాల ఆధారంగా, రెండు వెక్టర్ల స్కేలార్ ప్రొడక్ట్ లేదా డాట్ ప్రొడక్ట్ అనేది వాటి సారూప్య భాగాల లబ్ధాల మొత్తం అని నిర్ధారించవచ్చు.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1:
పెద్ద వెక్టర్ A డాన్ B క్రింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా వరుసగా 5 మరియు 4. ఏర్పడిన కోణం 90oలెక్కించండి డాట్ ప్రొడక్ట్ రెండు వెక్టర్లు.
చర్చ
వెక్టర్లు A మరియు B ల డాట్ ప్రొడక్ట్‌ను లెక్కించే ముందు, మనం మొదట రెండవ వెక్టర్ యొక్క కాంపోనెంట్లను తెలుసుకోవాలి.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) పాపం 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) పాపం 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
వెక్టర్ A కి x-అక్షంపై మాత్రమే వెక్టర్ కాంపోనెంట్లు ఉంటాయి మరియు వెక్టర్ B కి y-అక్షంపై మాత్రమే వెక్టర్ కాంపోనెంట్లు ఉంటాయి. వెక్టర్లు A మరియు B లు xy ప్లేన్‌లో ఉన్నందున z కాంపోనెంట్ సున్నా అవుతుంది.
ఇప్పుడు మనం కాంపోనెంట్ వెక్టర్లతో డాట్ ప్రొడక్ట్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి వెక్టర్లు A మరియు B మధ్య డాట్ ప్రొడక్ట్‌ను లెక్కిస్తాము :
జ. బి = ఎx Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
ఎ. బి = 0 + 0 + 0
ఎ. బి = 0
మొదటి పద్ధతితో పోల్చి చూద్దాం
AB = AB cos θ
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
ఫలితం ఒకటే.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2:
పెద్ద వెక్టర్ A డాన్ B క్రింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా వరుసగా 5 మరియు 4. లెక్కించండి డాట్ ప్రొడక్ట్ రెండు సదిశలు, ఏర్పడిన కోణం 30 అయితేo
చర్చ
వెక్టర్లు A మరియు B ల డాట్ ప్రొడక్ట్‌ను లెక్కించే ముందు, మనం మొదట రెండవ వెక్టర్ యొక్క కాంపోనెంట్లను తెలుసుకోవాలి.
వెక్టర్లు A మరియు B xy తలంలో ఉన్నందున z కాంపోనెంట్ సున్నా అవుతుంది .
ఇప్పుడు మనం కాంపోనెంట్ వెక్టర్లతో డాట్ ప్రొడక్ట్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి వెక్టర్లు A మరియు B మధ్య డాట్ ప్రొడక్ట్‌ను లెక్కిస్తాము :
మొదటి పద్ధతితో పోల్చండి.
