జడత్వ భ్రమణం

జడత్వ భ్రామకం పదార్థం

రెండు వస్తువులు ఉన్నాయి, వాటిలో ఒకదానికి తక్కువ ద్రవ్యరాశి, మరొకదానికి ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి ఉంది. ఒకే బలంతో నెట్టినప్పుడు ఏ వస్తువును కదిలించడం సులభం? ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు కంటే తక్కువ ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువును కదిలించడం సులభం అని వాస్తవం చూపిస్తుంది. కాబట్టి, ఒక వస్తువుపై బలాన్ని ప్రయోగించినప్పుడు, దాని ద్రవ్యరాశి పరిమాణం ఆ వస్తువు యొక్క త్వరణం పరిమాణాన్ని నిర్ధారిస్తుంది. సరళ చలనంలో, ఒక వస్తువును కదిలించడం (త్వరణం చెందడం) సులభమా లేదా కష్టమా అని దాని ద్రవ్యరాశి నిర్ధారిస్తే, ఇక భ్రమణ చలనంలో, జడత్వ భ్రమణం ఒక వస్తువును కదిలించడం సులభమా లేదా కష్టమా అనేది దాని ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

కణం
భ్రమణం చెందుతున్న ఒక కణాన్ని పరిగణించండి. m ద్రవ్యరాశి గల ఒక కణం, భ్రమణ అక్షం O చుట్టూ తిరిగేలా F అనే బలాన్ని ప్రయోగించారు. ఆ కణం భ్రమణ అక్షం నుండి r దూరంలో ఉంది. ప్రారంభంలో కణం నిశ్చలంగా ఉంది (v = 0). F బలం ద్వారా కదిలించబడిన తరువాత, కణం ఒక నిర్దిష్ట వేగంతో తిరుగుతుంది, తద్వారా కణానికి స్పర్శరేఖీయ త్వరణం (a tan) ఉంటుంది.
ఒక కణం యొక్క బలం (F), ద్రవ్యరాశి (m) మరియు స్పర్శరేఖీయ త్వరణం (a tan) ల మధ్య సంబంధాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు:
కణం భ్రమణం చెందడం వలన దానికి కోణీయ త్వరణం ఉంటుంది. స్పర్శరేఖీయ త్వరణం మరియు కోణీయ త్వరణం మధ్య సంబంధాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు:
సమీకరణం 3 లోని స్పర్శరేఖీయ త్వరణం (a tan) స్థానంలో సమీకరణం 4 లోని స్పర్శరేఖీయ త్వరణం (a tan) ను ప్రతిక్షేపించండి లేదా భర్తీ చేయండి.
ఎడమ మరియు కుడి వైపులను r తో గుణించండి:
r F అనేది బల భ్రమణం మరియు mr² (ఇక్కడ అనేది కణం I యొక్క జడత్వ భ్రామకం). సమీకరణం 5, భ్రమణం చెందుతున్న కణం యొక్క బల భ్రామకం, జడత్వ భ్రామకం మరియు కోణీయ త్వరణం మధ్య సంబంధాన్ని తెలియజేస్తుంది. సమీకరణం 5 అనేది భ్రమణం చెందుతున్న కణం కోసం న్యూటన్ రెండవ నియమ సమీకరణం.
I అనేది కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి (m) మరియు భ్రమణ అక్షం నుండి కణం యొక్క దూరం యొక్క వర్గం (r) యొక్క లబ్ధం.²).
సమాచారం :
I = కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం, m = కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి, r = కణానికి మరియు భ్రమణ అక్షానికి మధ్య దూరం
భ్రమణం చెందుతున్న కణం యొక్క జడత్వ భ్రమణాన్ని నిర్ధారించడానికి సమీకరణం 6 ఉపయోగించబడుతుంది.
కణాల జడత్వ భ్రమణం గురించిన సమీక్షను మీరు మరింత బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, దయచేసి కణ జడత్వ భ్రమణ సమస్యల ఉదాహరణలను అధ్యయనం చేయండి.

సజాతీయ దృఢ వస్తువు
ఒక దృఢ వస్తువు దాని అంతటా విస్తరించి ఉన్న అనేక కణాలతో ఏర్పడి ఉంటుంది. ఒక దృఢ వస్తువు యొక్క భ్రమణ బలం అనేది, ఆ దృఢ వస్తువును తయారుచేసే ప్రతి కణం యొక్క భ్రమణ బలాలన్నింటి మొత్తం.
ఒక దృఢ వస్తువు యొక్క భ్రమణ బలాన్ని (I) నిర్ధారించడానికి, ఆ వస్తువు తిరుగుతున్నప్పుడు దానిని గమనిస్తారు, ఎందుకంటే భ్రమణ అక్షం యొక్క స్థానం భ్రమణ బలం విలువను ప్రభావితం చేస్తుంది. భ్రమణ అక్షం యొక్క స్థానంపై ఆధారపడటమే కాకుండా, ఒక కణం యొక్క భ్రమణ బలం (I) ఆ కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి (m) మరియు భ్రమణ అక్షం నుండి కణానికి గల దూరం యొక్క వర్గం (r) పై కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది.²ఒక వస్తువును తయారుచేసే అన్ని కణాల ద్రవ్యరాశి, ఆ వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశికి సమానంగా ఉంటుంది. సమస్య ఏమిటంటే, భ్రమణ అక్షం నుండి ప్రతి కణం యొక్క దూరం మారుతూ ఉంటుంది.
R వ్యాసార్థం మరియు M ద్రవ్యరాశి గల ఒక పలుచని వలయానికి సంబంధించిన సూత్రపు ఉత్పాదనను పరిశీలించండి. భ్రమణ అక్షం వలయం యొక్క కేంద్రం వద్ద ఉంటే, అప్పుడు వలయాన్ని ఏర్పరిచే కణాలన్నీ భ్రమణ అక్షం నుండి r దూరంలో ఉంటాయి. పలుచని వలయం యొక్క I అనేది వలయాన్ని ఏర్పరిచే కణాల అన్ని భ్రమణ బలాల మొత్తానికి సమానం.
సన్నని వలయాన్ని ఏర్పరిచే ప్రతి కణం భ్రమణ అక్షం నుండి r దూరంలో ఉంటుంది, తద్వారా r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
సన్నని ఉంగరానికి సూత్రం:
నేను = MR²
సమాచారం :
I = సన్నని వలయం యొక్క జడత్వ భ్రామకం, M = సన్నని వలయం యొక్క ద్రవ్యరాశి, R = సన్నని వలయం యొక్క వ్యాసార్థం
భ్రమణ అక్షం వలయం యొక్క కేంద్రంలో లేకపోతే ఏమి జరుగుతుంది? భ్రమణ అక్షం వలయం యొక్క కేంద్రంలో లేకపోతే, భ్రమణ అక్షం నుండి ప్రతి కణం యొక్క దూరం మారుతూ ఉంటుంది కాబట్టి, పై పద్ధతిని ఉపయోగించి సన్నని వలయానికి సూత్రాన్ని రాబట్టలేము.

సజాతీయ దృఢ వస్తువుకు సూత్రం
కిందివి అనేక సజాతీయ దృఢ వస్తువుల సూత్రాలు.

సమస్యల ఉదాహరణ

1. 2017 SMA/MA జాతీయ పరీక్ష ప్రశ్నలు

కింది పట్టికను గమనించండి!

P, Q, మరియు R అనే వస్తువులు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక కడ్డీ ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. వస్తువు P యొక్క అక్షం గుండా వెళ్ళే తలానికి లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా ఈ వ్యవస్థ యొక్క జడత్వ భ్రామకం యొక్క పరిమాణం…

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

అడిగారు: వ్యవస్థ యొక్క జడత్వ భ్రామకం

సమాధానం:

వస్తువు Q యొక్క జడత్వ భ్రామకం:

I_Q = మిస్టర్² = (0,5)(10²) = (0,5)(100) = 50 kg m²

వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రామకం R:

I_R = మిస్టర్² = (3)(6²) = (3)(36) = 108 kg m²

వస్తువు P యొక్క జడత్వ భ్రామకం:

భ్రమణ అక్షం వస్తువు P యొక్క అక్షం గుండా వెళుతుంది, అందువల్ల r = 0.

వ్యవస్థ యొక్క జడత్వ భ్రామకం:

I = 50 kg m² + 108 కిలోగ్రాములు మీటర్లు²

నేను = 158 కిలోగ్రాములు మీటర్లు²