బీజగణిత ప్రమేయం యొక్క అవకలనంపై చర్చా ప్రశ్న యొక్క ఉదాహరణ
కలన గణితంలో అవకలనం అనేది ఒక ప్రాథమిక భావన. దీనిని ఒక ప్రమేయం ఎలా మారుతుందో లేదా ఒక బిందువు వద్ద ప్రమేయం యొక్క వాలును వివరించడానికి ఉపయోగిస్తారు. అవకలనాలు భౌతిక శాస్త్రం, అర్థశాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్ వంటి వివిధ రంగాలలో ఉపయోగపడతాయి, ఎందుకంటే అవి మార్పు రేటు గురించి సమాచారాన్ని అందిస్తాయి. ఈ వ్యాసంలో, మనం బీజగణిత ప్రమేయాల అవకలనాలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణలను మరియు వాటిని ఎలా సాధించాలో చర్చిస్తాము.
ఉదాహరణ 1: బహుపది ప్రమేయం యొక్క అవకలనం
ప్రశ్న: \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) అనే ప్రమేయం ఇవ్వబడింది. ఈ ప్రమేయం యొక్క అవకలజాన్ని కనుగొనండి!
పరిష్కారం:
బహుపది ప్రమేయాల అవకలజాల ప్రాథమిక నియమాన్ని, అనగా \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) ఉపయోగించి, మనం ప్రమేయంలోని ప్రతి పదం యొక్క అవకలజాన్ని ఒక్కొక్కటిగా గణిస్తాము.
\[
\begin{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
`end{align }`
\]
కాబట్టి, \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) యొక్క అవకలనం \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) అవుతుంది.
ఉదాహరణ 2: భిన్న ఘాతాంకాలు కలిగిన ప్రమేయం యొక్క అవకలనం
ప్రశ్న: \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) అనే ప్రమేయం యొక్క అవకలజాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
అదే అవకలన నియమాన్ని ఉపయోగించి, అంటే \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
`end{align }`
\]
కాబట్టి, \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) యొక్క అవకలనం \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \) అవుతుంది.
ఉదాహరణ 3: ఘాతాంక మరియు త్రికోణమితి ప్రమేయాల అవకలజాలు
ప్రశ్న: ఫంక్షన్ \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) యొక్క అవకలజాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
ఈ అవకలనాన్ని సాధించడానికి, మనకు లబ్ధ నియమం అవసరం, అది \((uv)' = u'v + uv'\) అని చెబుతుంది. \( u(x) = e^x \) మరియు \( v(x) = \sin(x) \) అని అనుకుందాం, అప్పుడు:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & ఎందుకంటే e^x యొక్క అవకలనం e^x అవుతుంది \\
v'(x) &= \cos(x), & ఎందుకంటే \sin(x) యొక్క అవకలనం \cos(x) అవుతుంది.
`end{align }`
\]
ఉత్పత్తుల కోసం ఉత్పాదక నియమాన్ని ఉపయోగించడం:
\[
\begin{align }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
`end{align }`
\]
కాబట్టి, \( h(x) = e^x \sin(x) \) యొక్క అవకలనం \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \) అవుతుంది.
ఉదాహరణ 4: శృంఖల నియమాన్ని ఉపయోగించి ఒక ప్రమేయం యొక్క అవకలనం
ప్రశ్న: \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) అనే ప్రమేయం యొక్క అవకలజాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
ఈ అవకలనాన్ని సాధించడానికి, మనకు శృంఖల నియమం అవసరం, అనగా \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) మరియు \( f(u) = u^5 \) అనుకుందాం, అప్పుడు:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
`end{align }`
\]
చైన్ రూల్ ఉపయోగించి:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
`end{align }`
\]
కాబట్టి, \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) యొక్క అవకలనం \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \) అవుతుంది.
ఉదాహరణ 5: త్రికోణమితి సర్వసమానతలతో ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనం
ప్రశ్న: ఫంక్షన్ \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) యొక్క అవకలజాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:
లబ్ధాల కొరకు మనం అవకలన నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము. \( u(x) = \sin(x) \) మరియు \( v(x) = \cos(x) \) అనుకుందాం, అప్పుడు:
\[
\begin{align }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
`end{align }`
\]
ఉత్పత్తుల కోసం ఉత్పాదక నియమాన్ని ఉపయోగించడం:
\[
\begin{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
`end{align }`
\]
త్రికోణమితి సర్వసమానత \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\) ఉపయోగించి:
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
కాబట్టి, \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) యొక్క అవకలనం \( m'(x) = \cos(2x) \) అవుతుంది.
ముగింపు
బీజగణిత ప్రమేయం యొక్క అవకలనం అనేది కలన గణితంలో ఒక ప్రాథమిక భావన, ఇది వివిధ అనువర్తనాలలో చాలా ముఖ్యమైనది మరియు ఉపయోగకరమైనది. ప్రాథమిక అవకలన నియమం, లబ్ధ నియమం, శృంఖల నియమం మరియు త్రికోణమితి అవకలనాల నియమాలు వంటి వివిధ అవకలన నియమాలు, మరింత సంక్లిష్టమైన ప్రమేయాల అవకలనాలను గణించడంలో సహాయపడతాయి. పైన ఉన్న ఉదాహరణలను అర్థం చేసుకోవడం మరియు సమస్యలను సాధన చేయడం ద్వారా, మనం బీజగణిత ప్రమేయాల అవకలనాలను కనుగొనడంలో మన అవగాహనను మరియు నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచుకోవచ్చు.
