వెక్టర్ వ్యవకలనంపై చర్చా ప్రశ్న యొక్క ఉదాహరణ

వెక్టర్ వ్యవకలనం యొక్క ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

పెండహులువాన్

గణితశాస్త్రం మరియు భౌతికశాస్త్రంలో, అనేక సహజ మరియు ఇంజనీరింగ్ దృగ్విషయాలను వివరించడానికి వెక్టర్లు ఒక ప్రాథమిక భావనగా ఉపయోగించబడతాయి. వెక్టర్ అనేది పరిమాణం మరియు దిశ రెండింటినీ కలిగి ఉండే ఒక రాశి. స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణం మరియు బలం అనేవి వెక్టర్లకు కొన్ని ముఖ్యమైన ఉదాహరణలు. ఈ వ్యాసంలో, మనం వెక్టర్ వ్యవకలనం గురించి చర్చిస్తాము, అయినప్పటికీ ఈ అంశం తరచుగా వెక్టర్ సంయోగం సందర్భంలోనే నొక్కి చెప్పబడుతుంది.

వెక్టర్ వ్యవకలనం అనేది వెక్టర్ విశ్లేషణలో కీలకమైన ఒక ప్రాథమిక ప్రక్రియ. ఈ భావనను మరింత లోతుగా తెలుసుకోవడానికి, వెక్టర్ వ్యవకలనానికి సంబంధించిన కొన్ని ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు చర్చలను సమీక్షిద్దాం.

వెక్టర్ వ్యవకలనం

వెక్టర్ వ్యవకలనం {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ను, వెక్టర్ {\displaystyle \mathbf{A}} ను వెక్టర్ {\displaystyle -\mathbf{B}} తో కలపడం అనే చర్యగా నిర్వచించారు, ఇక్కడ {\displaystyle -\mathbf{B}} అనేది {\displaystyle \mathbf{B}} తో సమానమైన పరిమాణాన్ని కలిగి ఉండి, వ్యతిరేక దిశలో ఉండే ఒక వెక్టర్. గణితశాస్త్రపరంగా, దీనిని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ప్రశ్న 1: ద్విమితీయ సదిశలను తీసివేయడం

కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలో రెండు సదిశలు ఉన్నాయని అనుకుందాం:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} మరియు {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ను గణించండి.

చర్చ:

మొదటి దశ {\displaystyle \mathbf{B}} యొక్క రుణాత్మక సదిశను కనుగొనడం, అనగా:

{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}

తరువాత, వెక్టర్ {\displaystyle \mathbf{A}} ను {\displaystyle -\mathbf{B}} తో కలపండి:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}

ప్రతి x మరియు y భాగాలను జోడించడం ద్వారా వెక్టర్ సంకలనాన్ని చేయండి:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}

కాబట్టి, వెక్టర్లు {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ను తీసివేయగా వచ్చే ఫలితం వెక్టర్ (3, 1).

ప్రశ్న 2: త్రిమితీయ వెక్టర్లను తీసివేయడం

త్రిమితీయ నిరూపక వ్యవస్థలో రెండు సదిశలు ఇవ్వబడ్డాయి:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} మరియు {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} ను గణించండి.

చర్చ:

మొదటి దశ {\displaystyle \mathbf{Q}} యొక్క రుణాత్మక సదిశను కనుగొనడం:

{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}

తరువాత, వెక్టర్ {\displaystyle \mathbf{P}} ను {\displaystyle -\mathbf{Q}} తో కలపండి:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}

ప్రతి x, y, మరియు z భాగాలను జోడించడం ద్వారా వెక్టర్ సంకలనాన్ని చేయండి:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}

కాబట్టి, {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} సదిశలను తీసివేయగా వచ్చే ఫలితం (5, -9, -1) అనే సదిశ.

ప్రశ్న 3: సంక్లిష్ట తలంలో వెక్టర్ వ్యవకలనం

సంకీర్ణ సంఖ్యల ద్వారా సూచించబడిన రెండు సదిశలు ఉన్నాయని అనుకుందాం:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} మరియు {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} ను గణించండి.

చర్చ:

మొదటి దశ {\displaystyle \mathbf{N}} యొక్క రుణాత్మక సదిశను కనుగొనడం:

{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}

తరువాత, వెక్టర్ {\displaystyle \mathbf{M}} ను {\displaystyle -\mathbf{N}} తో కలపండి:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}

ప్రతి వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాన్ని జోడించడం ద్వారా వెక్టర్ సంకలనాన్ని చేయండి:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}

కాబట్టి, {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} సదిశలను తీసివేయగా వచ్చే ఫలితం 2 + 2i అనే సంకీర్ణ సంఖ్య.

ప్రశ్న 4: ధ్రువ నిరూపక వ్యవస్థలో సదిశ వ్యవకలనం

ధ్రువ నిరూపకాలలో రెండు సదిశలు ఉన్నాయని అనుకుందాం:
{\displaystyle \mathbf{U}} యొక్క పరిమాణం 5 మరియు కోణం 30°,
మరియు {\displaystyle \mathbf{V}} యొక్క పరిమాణం 3 మరియు కోణం 150°.
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} ను లెక్కించండి.

చర్చ:

మొదటి దశ ఏమిటంటే, {\displaystyle \mathbf{U}} మరియు {\displaystyle \mathbf{V}} సదిశలను కార్టీసియన్ నిరూపకాలలోకి మార్చడం.
{\displaystyle \mathbf{U}} కోసం:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}

కాబట్టి కార్టీసియన్‌లో {\displaystyle \mathbf{U}} అనేది (4.33, 2.5).

{\displaystyle \mathbf{V}} కోసం:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}

కాబట్టి కార్టీసియన్‌లో {\displaystyle \mathbf{V}} అనేది (-2.598, 1.5).

తదుపరి దశ, కార్టీసియన్‌లో వెక్టర్ వ్యవకలనాన్ని లెక్కించండి:

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}

అంటే వెక్టర్ యొక్క నెగటివ్‌ను జోడించడం ద్వారా:

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}

కాబట్టి, కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలో {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} సదిశను తీసివేయగా వచ్చే ఫలితం (6.928, 1).

ముగింపు

వెక్టర్ విశ్లేషణను ఉపయోగించే అనేక రంగాలలో వెక్టర్ వ్యవకలనం అనేది ఒక ముఖ్యమైన గణిత ప్రక్రియ. ద్విమితీయ, త్రిమితీయ, సంక్లిష్ట, లేదా ధ్రువ నిర్దేశాంక వ్యవస్థలలో అయినా, ప్రాథమిక సూత్రం ఒకటే: ఒక వెక్టర్‌కు మరొక వెక్టర్ యొక్క రుణాత్మక విలువను కలపడం. పైన ఉన్న ఉదాహరణలు ఈ ప్రక్రియను వివిధ సందర్భాలలో వర్తింపజేయడానికి గల విభిన్న మార్గాలను వివరిస్తాయి, తద్వారా ఈ భావనను మరింత లోతుగా మరియు ఆచరణాత్మకంగా అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడతాయి.