ఫంక్షన్ల కూర్పును చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

ఫంక్షన్ కంపోజిషన్ యొక్క ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ఫంక్షన్ కంపోజిషన్ అనేది గణితంలో రెండు ఫంక్షన్‌లను ఒకటిగా కలిపే ఒక భావన. ఒకవేళ \( f \) మరియు \( g \) అనేవి రెండు ఫంక్షన్‌లు అయితే, అప్పుడు \( f \) మరియు \( g \) ల కలయికను \( (f \circ g)(x) \) అనే కొత్త ఫంక్షన్‌గా నిర్వచిస్తారు, అంటే \( f(g(x)) \). ఈ వ్యాసంలో, ఫంక్షన్ కంపోజిషన్‌కు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో చర్చిస్తాము.

1. క్రియాత్మక కూర్పు యొక్క ప్రాథమిక అవగాహన

ఉదాహరణ ప్రశ్నలలోకి వెళ్లే ముందు, ఫంక్షన్ కంపోజిషన్ అంటే ఏమిటో క్లుప్తంగా అర్థం చేసుకుందాం.

\( f \) మరియు \( g \) అనే రెండు ప్రమేయాలు ఉన్నాయని అనుకుందాం:
– ఫంక్షన్ \( f \) : \( x \mapsto f(x) \)
– ఫంక్షన్ \( g \) : \( x \mapsto g(x) \)

\( f \) మరియు \( g \) ల సంయోగం, \( f \circ g \) గా వ్రాయబడినది, ఈ క్రింది వాటిని సంతృప్తిపరిచే ఒక ప్రమేయం:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]

ఇక్కడ, \( g(x) \) అనేది ఫంక్షన్ \( f \) కు ఇన్‌పుట్.

2. ఉదాహరణ ప్రశ్న 1

ప్రశ్న:
ఫంక్షన్ \( f(x) = 2x + 3 \) మరియు ఫంక్షన్ \( g(x) = x – 5 \) ఇవ్వబడ్డాయి. \( (f \circ g)(x) \) మరియు \( (g \circ f)(x) \) లను కనుగొనండి.

చర్చ:
మొదటి కూర్పు \( (f \circ g)(x) \) ను గణిద్దాం:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]

మొదటి దశగా, మనం \( g(x) \) ను \( f(x) \) లోకి ప్రవేశపెడతాము:
\[ g(x) = x – 5 \]
\[ f(g(x)) = f(x – 5) \]

రెండవ దశ, మనం \( x – 5 \) ను ఫంక్షన్ \( f \) లోకి ప్రవేశపెడతాము:
\[ f(x – 5) = 2(x – 5) + 3 \]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]

కాబట్టి, \( (f \circ g)(x) = 2x – 7 \).

ఇప్పుడు రెండవ కూర్పు \( (g \circ f)(x) \) ను గణిద్దాం:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]

మొదటి దశగా, మనం \( f(x) \) ను \( g(x) \) లోకి ప్రతిక్షేపిస్తాము:
\[ f(x) = 2x + 3 \]
\[ g(f(x)) = g(2x + 3) \]

రెండవ దశలో, మనం \( 2x + 3 \) ను ఫంక్షన్ \( g \) లోకి ప్రవేశపెడతాము:
\[ g(2x + 3) = (2x + 3) – 5 \]
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]

కాబట్టి, \( (g \circ f)(x) = 2x – 2 \).

3. ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: వర్గ ప్రమేయాలతో ప్రమేయాల కూర్పు

ప్రశ్న:
ఫంక్షన్ \( f(x) = x^2 + 1 \) మరియు ఫంక్షన్ \( g(x) = 3x – 4 \) ఇవ్వబడ్డాయి. \( (f \circ g)(x) \) మరియు \( (g \circ f)(x) \) లను కనుగొనండి.

చర్చ:
మొదటి కూర్పు \( (f \circ g)(x) \) ను గణిద్దాం:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]

మొదటి దశగా, మనం \( g(x) \) ను \( f(x) \) లోకి ప్రవేశపెడతాము:
\[ g(x) = 3x – 4 \]
\[ f(g(x)) = f(3x – 4) \]

రెండవ దశలో, మనం \( 3x – 4 \) ను ఫంక్షన్ \( f \) లోకి ప్రవేశపెడతాము:
\[ f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1 \]
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x \cdot 2 + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]

కాబట్టి, \( (f \circ g)(x) = 9x^2 – 24x + 17 \).

ఇప్పుడు రెండవ కూర్పు \( (g \circ f)(x) \) ను గణిద్దాం:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]

మొదటి దశగా, మనం \( f(x) \) ను \( g(x) \) లోకి ప్రతిక్షేపిస్తాము:
\[ f(x) = x^2 + 1 \]
\[ g(f(x)) = g(x^2 + 1) \]

రెండవ దశ, మనం \( x^2 + 1 \) ను ఫంక్షన్ \( g \) లోకి ప్రవేశపెడతాము:
\[ g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4 \]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]

కాబట్టి, \( (g \circ f)(x) = 3x^2 – 1 \).

4. ఉదాహరణ ప్రశ్న 3: త్రికోణమితి ప్రమేయాల కూర్పు

ప్రశ్న:
ఫంక్షన్ \( f(x) = \sin x \) మరియు ఫంక్షన్ \( g(x) = x^2 \) ఇవ్వబడ్డాయి. \( (f \circ g)(x) \) మరియు \( (g \circ f)(x) \) లను కనుగొనండి.

చర్చ:
మొదటి కూర్పు \( (f \circ g)(x) \) ను గణిద్దాం:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]

మొదటి దశగా, మనం \( g(x) \) ను \( f(x) \) లోకి ప్రవేశపెడతాము:
\[ g(x) = x^2 \]
\[ f(g(x)) = f(x^2) \]

రెండవ దశ, మనం \( x^2 \) ను ఫంక్షన్ \( f \) లోకి ప్రవేశపెడతాము:
\[ f(x^2) = \sin (x^2) \]

కాబట్టి, \( (f \circ g)(x) = \sin (x^2) \).

ఇప్పుడు రెండవ కూర్పు \( (g \circ f)(x) \) ను గణిద్దాం:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]

మొదటి దశగా, మనం \( f(x) \) ను \( g(x) \) లోకి ప్రతిక్షేపిస్తాము:
[ f(x) = sin x ]
\[ g(f(x)) = g(\sin x) \]

రెండవ దశ, మనం \( \sin x \) ను ఫంక్షన్ \( g \) లోకి ప్రవేశపెడతాము:
\[ g(\sin x) = (\sin x)^2 \]
\[ = \sin^2 x \]

కాబట్టి, \( (g \circ f)(x) = \sin^2 x \).

ముగింపు

ఫంక్షన్ కంపోజిషన్ అనేది రెండు ఫంక్షన్‌లను ఒకే ఫంక్షన్‌గా కలిపే ఒక పద్ధతి. పై ఉదాహరణల ద్వారా, ఫంక్షన్ కంపోజిషన్ ప్రక్రియలో ఒక ఫంక్షన్‌కు బదులుగా మరొక ఫంక్షన్‌ను ప్రతిక్షేపించడం జరుగుతుందని మనం తెలుసుకున్నాము. ఫంక్షన్ కంపోజిషన్ యొక్క తుది ఫలితం, ఫంక్షన్‌లను మొదట ఏ క్రమంలో వర్తింపజేస్తారనే దానిపై ఎక్కువగా ఆధారపడి ఉంటుంది.

\( (f \circ g)(x) \) అనేది ఎల్లప్పుడూ \( (g \circ f)(x) \) కి సమానంగా ఉండదని అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం, మరియు ఈ వ్యత్యాసం గణితం మరియు విజ్ఞానశాస్త్రంలోని వివిధ అనువర్తనాలలో చాలా ముఖ్యమైనదిగా ఉంటుంది. అందువల్ల, మధ్యస్థ లేదా ఉన్నత స్థాయిలో గణితం అభ్యసించే ఎవరికైనా ఫంక్షన్ల కూర్పు యొక్క ప్రాథమికాలను మరియు దానిని ఎలా లెక్కించాలో అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.

పైన ఉన్న చర్చ మరియు ఉదాహరణ ప్రశ్నలు పాఠకులకు ఉపయోగపడతాయని మరియు ఫంక్షన్ల కూర్పును అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడతాయని ఆశిస్తున్నాము.