భాగాల ద్వారా సదిశలను కలపడంపై చర్చా ప్రశ్న యొక్క ఉదాహరణ

కాంపోనెంట్ ద్వారా వెక్టర్ సంకలనాన్ని చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సదిశల ఫలితాన్ని కనుగొనడానికి భౌతికశాస్త్రం మరియు గణితశాస్త్రంలో సదిశ సంకలనం అనేది ఒక ప్రాథమిక ప్రక్రియ. సదిశ సంకలనాన్ని పరిష్కరించడానికి భాగాల వారీ విధానం చాలా ఉపయోగకరమైన పద్ధతి, ముఖ్యంగా రెండు లేదా మూడు పరిమాణాలలోని సదిశలతో వ్యవహరించేటప్పుడు. ఈ వ్యాసం భాగాల వారీ సదిశ సంకలనం యొక్క భావనను వివరిస్తుంది మరియు అనేక ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలను అందిస్తుంది.

కాంపోనెన్షియల్ వెక్టర్ సంకలనం యొక్క భావన

ద్విమితీయ (2D) అంతరిక్షంలో ప్రతి సదిశను రెండు భాగాలుగా విభజించవచ్చు: ఒక x (క్షితిజ సమాంతర) భాగం మరియు ఒక y (నిలువు) భాగం. త్రిమితీయ (3D) అంతరిక్షంలో, సదిశలకు z (లోతు) భాగం అనే అదనపు భాగం ఉంటుంది.

మనకు A మరియు B అనే రెండు వెక్టర్లు ఉన్నాయని అనుకుందాం. ఈ వెక్టర్ల యొక్క భాగాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు:

– వెక్టర్ A కి 2D లో \(A_x\) మరియు \(A_y\) భాగాలు (లేదా 3D లో \(A_z\) కూడా) ఉంటాయి.
– వెక్టర్ B కి 2D లో \(B_x\) మరియు \(B_y\) భాగాలు (లేదా 3D లో \(B_z\) కూడా) ఉంటాయి.

ఈ రెండు వెక్టర్లను కలపడం వల్ల కింది భాగాలను కలిగి ఉన్న ఫలిత వెక్టర్ R ఏర్పడుతుంది:

\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]

3D లోని వెక్టర్లకు, z కాంపోనెంట్ కూడా ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

[ R_z = A_z + B_z ]

ఫలిత సదిశ యొక్క ప్రతి భాగాన్ని లెక్కించిన తర్వాత, కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఫలిత సదిశ యొక్క మాడ్యులస్ (పరిమాణం) మరియు దిశను మనం కనుగొనవచ్చు:

\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (2D కి)

లేదా 3D కోసం:

\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]

మరియు ఫలిత సదిశ యొక్క దిశను నిరూపక అక్షాలకు గల కోణం ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు.

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ప్రశ్న 1
రెండు పరిమాణ తలంలో రెండు సదిశలు ఇవ్వబడ్డాయి:
– A తూర్పు దిశలో \(5 యూనిట్లు}\) దూరంలో ఉంది.
– B ఉత్తరం వైపు \(3 \, \text{యూనిట్}\) లో ఉంది.

ఫలిత సదిశ R ను కనుగొనండి.

చర్చ
మొదట, మనం వెక్టర్‌ను దాని సంబంధిత కాంపోనెంట్‌లుగా మారుస్తాము.
– వెక్టర్ A : \(A = (5, 0)\) ఎందుకంటే దీనికి x ​​భాగం మాత్రమే ఉంది.
– వెక్టర్ B : \(B = (0, 3)\) ఎందుకంటే దీనికి y కాంపోనెంట్ మాత్రమే ఉంది.

భాగాల మొత్తం ఇక్కడ ఉంది:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]

అప్పుడు ఫలిత వెక్టర్ R ఈ విధంగా ఉంటుంది:
\[ R = (5, 3) \]

వెక్టర్ R యొక్క పొడవును (మాడ్యులస్) లెక్కించడానికి:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]

x-అక్షానికి గల కోణం θను ఉపయోగించి వెక్టర్ R యొక్క దిశను లెక్కించవచ్చు:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]

ఈ విధంగా, ఫలిత సదిశ R సుమారు 5.83 యూనిట్ల పొడవును కలిగి ఉంటుంది మరియు x-అక్షంతో 30.96° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 2
మూడు డైమెన్షన్లలో రెండు వెక్టర్లు ఇవ్వబడ్డాయి:
– A అనునది \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B అనునది \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)

ఫలిత సదిశ R ను కనుగొనండి.

చర్చ
మొదట, ప్రతి వెక్టర్ యొక్క భాగాలను గుర్తిస్తాము:
– వెక్టర్ A : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– వెక్టర్ B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).

భాగాల మొత్తం ఇక్కడ ఉంది:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]

అప్పుడు ఫలిత వెక్టర్ R ఈ విధంగా ఉంటుంది:
[ R = (4, 6, 3) ]

వెక్టర్ R యొక్క పొడవును (మాడ్యులస్) లెక్కించడానికి:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \]

x, y, మరియు z అక్షాలకు సంబంధించి వెక్టర్ R యొక్క దిశను డైరెక్టర్ యొక్క కొసైన్‌ను ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \approx 59.50^\circ \]

\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \approx 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \approx 39.50^\circ \]

\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \approx 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \approx 67.64^\circ \]

ఈ విధంగా, ఫలిత సదిశ R యొక్క పొడవు సుమారు 7.81 యూనిట్లు మరియు x, y, మరియు z అక్షాలకు సంబంధించి దాని దిశలు వరుసగా 59.50°, 39.50°, మరియు 67.64°గా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 3
రెండు వెక్టర్లు ఇవ్వబడ్డాయి:
– P యొక్క పరిమాణం 4 యూనిట్లు మరియు అది ధనాత్మక x-అక్షంతో 45° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.
– Q యొక్క పరిమాణం 6 యూనిట్లు మరియు అది ధనాత్మక x-అక్షంతో 120° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ఫలిత సదిశ R ను కనుగొనండి.

చర్చ
మొదట, మనం వెక్టర్‌ను దాని x మరియు y భాగాలుగా విభజిస్తాము:
– సదిశ P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– సదిశ Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).

భాగాల మొత్తం ఇక్కడ ఉంది:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]

అప్పుడు, ఫలిత వెక్టర్ R ఈ విధంగా ఉంటుంది:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]

వెక్టర్ R యొక్క పొడవును (మాడ్యులస్) లెక్కించడానికి:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \approx 8.03 \]

వెక్టర్ R యొక్క దిశ :
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]

అయితే, ఈ కోణం రుణాత్మక x-అక్షం పరంగా కొలవబడుతుంది, కాబట్టి సమస్య సందర్భంలో వాస్తవ కోణం:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ ≈ 91.01^\circ \]

ఈ విధంగా, ఫలిత సదిశ R సుమారు 8.03 యూనిట్ల పొడవును కలిగి ఉండి, ధనాత్మక x-అక్షంతో 91.01° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ఈ వ్యాసం, పలు ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలను అందిస్తూ, భాగాల వారీ సదిశ సంకలనాన్ని చర్చించింది. భాగాల వారీ పద్ధతి, గణనలను సులభతరం చేయడానికి మరియు అంతరిక్షం అనే గణిత పరిమాణంలో సదిశ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఒక క్రమబద్ధమైన మార్గాన్ని అందించడంలో చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.