தொடர்ச்சிச் சமன்பாடு பற்றிய கட்டுரை
குழாயின் வாயிலிருந்து வரும் நீரின் வேகத்தைக் கவனித்தவாறே, தண்ணீர்க் குழாயை மெதுவாகத் திறக்க முயற்சிக்கவும். இப்போது, குழாயின் வாய் மூடப்பட்டிருக்கும்போதும், மூடப்படாதபோதும் நீரின் ஓட்டம் எங்கு வேகமாக உள்ளது என்பதை ஒப்பிட்டுப் பாருங்கள். அது ஏன்? இதைப் புரிந்துகொள்ள, தொடர்ச்சிச் சமன்பாட்டைப் படிக்கவும்.
சீரமைக்கவும்
ஒரு சீரான ஓட்டத்தில், புள்ளி A போன்ற ஒரு புள்ளியில் ஒவ்வொரு திரவத் துகளின் வேகமும் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். புள்ளி B-ஐக் கடக்கும்போது, திரவத் துகள்களின் திசைவேகம் மாறக்கூடும். இருப்பினும், புள்ளி B-ஐ வந்தடையும்போது, பின்னால் வரும் திரவத் துகள்கள், தங்களுக்கு முன்னால் செல்லும் திரவத் துகள்களின் அதே வேகத்தில் பாய்கின்றன. இதேபோல் புள்ளி C-ஐ வந்தடையும்போதும், இப்படியே தொடர்கிறது. பாய்வுக் கோடு என்பது A, B, மற்றும் C ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு வளைகோடு ஆகும்.
பாய்வு குழாய்
பாய்ம ஓட்டத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி வழியாகவும் செல்லும் ஒவ்வொரு ஓட்டக்கோட்டையும் நம்மால் விவரிக்க முடியும். ஒரு சீரான பாய்ம ஓட்டத்தை நாம் உணரும்போது, கற்பனைப் பரப்பின் மீது ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் செல்லும் சில ஓட்டக்கோடுகள் ஒரு பாய்வுக் குழாயை உருவாக்குகின்றன. எந்தப் பாய்மத் துகள்களும் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்வதில்லை, மாறாக அவை எப்போதும் இணையாகவே இருக்கும். மேலும், அந்தப் பாய்வுக் குழாய், அதன் வடிவம் மாறாமல் இருக்கும் ஒரு குழாயைப் போலவே தோற்றமளிக்கும். குழாயின் ஒரு முனையில் நுழையும் பாய்மம், மறுமுனையில் வெளியே வரும்.
[irp]
டெபிட்
வெளியேற்றம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில், ஒரு குறிப்பிட்ட குறுக்குவெட்டுப் பகுதி வழியாகப் பாயும் திரவத்தின் கன அளவைக் குறிக்கிறது. கணிதரீதியாக, இதனைப் பின்வருமாறு கூறலாம்:
வெளியேற்றம் = திரவத்தின் கன அளவு / நேர இடைவெளி
கே = வி / டி
உங்கள் புரிதலை மேம்படுத்த, நாம் ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்துவோம். உதாரணமாக, ஒரு குழாய் வழியாக திரவம் பாய்கிறது. குழாய்கள் பொதுவாக உருளை வடிவமாகவும், ஒரு குறிப்பிட்ட குறுக்குவெட்டுப் பரப்பைக் கொண்டும் இருக்கும். குழாய்க்கு ஒரு நீளமும் உண்டு.
ஒரு குழாயில் L தூரம் வரை பாய்மம் பாயும்போது, குழாயில் உள்ள பாய்மத்தின் கன அளவு V = AL (V = பாய்மத்தின் கன அளவு, A = குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பு மற்றும் L = குழாயின் நீளம்). ஒரு குழாயில் L தூரம் வரை பாய்மம் பாயும் வரை, அதற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளி தேவைப்படுவதால், பாய்மத்தின் அளவு பின்வருமாறு கூறலாம்:
v = s / t = L / t —> L = vt என்பதால், மேலே உள்ள சமன்பாடு பின்வருமாறு மாற்றப்படுகிறது:
எனவே, ஒரு குறிப்பிட்ட குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு மற்றும் நீளம் கொண்ட ஒரு குழாய் வழியாக, ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு பாய்மம் பாயும்போது, வெளியேற்றப்படும் பாய்மத்தின் அளவு (Q), அதன் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவை (A) பாய்மப் பாய்வு வேகத்தால் (v) பெருக்கினால் கிடைக்கும் மதிப்பிற்குச் சமமாக இருக்கும்.
தொடர்ச்சி சமன்பாடு
கீழேயுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, வெவ்வேறு விட்டங்களைக் கொண்ட ஒரு குழாயில் பாயும் திரவத்தின் ஓட்டத்தை மதிப்பாய்வு செய்யவும்.
இந்தப் படம் இடமிருந்து வலமாக பாய்ம ஓட்டத்தைக் காட்டுகிறது (பாய்மம் பெரிய விட்டமுள்ள குழாயிலிருந்து சிறிய விட்டமுள்ள குழாய்க்குப் பாய்கிறது). புள்ளியிட்ட கோடு சீரான ஓட்டத்தைக் குறிக்கிறது.
A 1 = பெரிய விட்டம் கொண்ட குழாயின் குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பளவு, A 2 = சிறிய விட்டம் கொண்ட குழாயின் குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பளவு, v 1 = பெரிய விட்டம் கொண்ட குழாயில் பாய்ம ஓட்டத்தின் வேகம், v 2 = சிறிய விட்டம் கொண்ட குழாயில் பாய்ம ஓட்டத்தின் வேகம், L = பாய்மம் பயணித்த தூரம்.
ஒரு சீரான ஓட்டத்தில், ஒரு புள்ளியில் உள்ள பாய்மத் துகள்களின் பாய்வு திசைவேகமானது, அப்புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் மற்ற பாய்மத் துகள்களின் பாய்வு வேகத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். மேலும், பாய்ம ஓட்டமானது ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்வதில்லை (கோடுகள் இணையாக இருக்கும்). எனவே, குழாயின் ஒரு முனையில் நுழையும் பாய்மத்தின் நிறையானது, மறுமுனையில் வெளியேறும் பாய்மத்தின் நிறைக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு பெரிய விட்டம் கொண்ட குழாய்க்குள் நுழையும்போது பாய்மத்திற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட நிறை இருந்தால், அதே நிறை கொண்ட பாய்மம் ஒரு சிறிய விட்டம் கொண்ட குழாயில் வெளியேறும்.
இப்போது மேலே உள்ள குழாயின் உருவத்தைக் கவனியுங்கள். பெரிய விட்டம் கொண்ட குழாய் மற்றும் சிறிய விட்டம் கொண்ட குழாய் ஆகியவற்றை மீளாய்வு செய்யுங்கள்.
ஒரு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில், சில திரவங்கள் பெரிய விட்டம் (A 1 ) கொண்ட குழாயின் பகுதி வழியாக L 1 வரை பாய்கின்றன (L 1 = v 1 t). பாயும் திரவத்தின் கன அளவு V 1 = A 1 L 1 = A 1 v 1 t ஆகும். அதே கால இடைவெளியில், வேறு சில திரவங்கள் சிறிய விட்டம் கொண்ட குழாய் பகுதி (A 2 ) வழியாக L 2 வரை பாய்கின்றன (L 2 = v 2 t). பாயும் திரவத்தின் கன அளவு V 2 = A 2 L 2 = A 2 v 2 t ஆகும்.
[irp]
அமுக்கவியலா திரவங்களுக்கான தொடர்ச்சிச் சமன்பாடு
அமுக்கவியலாத பாய்மங்களில், பாய்மத்தின் அடர்த்தி அது கடந்து செல்லும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். A1 குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவைக் (பெரிய குழாய் விட்டம்) கொண்ட ஒரு குழாயில், ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் பாயும் பாய்மத்தின் நிறை:
அதேபோல், A² குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பைக் (சிறிய குழாய் விட்டம்) கொண்ட ஒரு குழாயில் ஒரு குறிப்பிட்ட நேர இடைவெளியில் பாயும் திரவத்தின் நிறை :
ஒரு சீரான ஓட்டத்தில், உள்ளே வரும் திரவத்தின் நிறை, வெளியே செல்லும் திரவத்தின் நிறைக்குச் சமமாக இருக்கும், எனவே:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 v 1 = A 2 v 2
எனவே, அமுக்கவியலா திரவங்களில் தொடர்ச்சிச் சமன்பாடு :
A 1 v 1 = A 2 v 2 — சமன்பாடு 1
A 1 = குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு 1, A 2 = குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு 2, v 1 = பிரிவு 1-இல் பாய்ம ஓட்டத்தின் வேகம், v 2 = பிரிவு 2-இல் பாய்ம ஓட்டத்தின் வேகம், A v = கனஅளவின் பாய்வு விகிதம் (V / t) = வெளியேற்றம்.
சமன்பாடு 1, குழாய் அல்லது பாய்வுக் குழாயின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வெளியேற்றம் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்பதைக் காட்டுகிறது. குழாயின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு குறையும்போது, பாய்மப் பாய்வு விகிதம் அதிகரிக்கிறது; அதேசமயம், குழாயின் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பு அதிகரிக்கும்போது, பாய்மப் பாய்வு விகிதம் குறைகிறது.
[irp]
குழாயின் வாய்ப் பகுதி மூடப்பட்டிருக்கும் போது, மூடப்படாத நிலையை விட நீரின் ஓட்டம் அதிகமாகிறது. ஏனெனில், குழாயின் வாய்ப் பகுதி மூடப்பட்டிருக்கும் போது அதன் குறுக்குவெட்டுப் பரப்பளவு சிறியதாகி, நீரின் ஓட்ட விகிதம் அதிகரிக்கிறது. ஆனால், நமது குழாயின் வாய்ப் பகுதி மூடப்பட்டிருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும், நீர் பாயும் பாதையில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் திரவங்களின் ஓட்ட விகிதம் அல்லது வெளியேற்றம் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாகவே இருக்கும் என்பதை அறிவது அவசியம். அப்படியானால், திரவத்தின் ஓட்ட விகிதத்தில் என்ன மாற்றம் ஏற்படுகிறது?
அப்படியானால், ஆற்றில் நீரின் ஓட்டத்தைப் பற்றி என்ன? ஆற்றின் ஆழமற்ற பகுதியை விட ஆழமான பகுதி பெரிய குறுக்குவெட்டுப் பரப்பைக் கொண்டுள்ளது, எனவே ஆற்றின் ஆழமற்ற பகுதியில் நீரின் ஓட்ட வேகத்தை விட ஆழமான பகுதியில் நீரின் ஓட்ட விகிதம் குறைவாக இருக்கும்.
அமுக்கக்கூடிய திரவங்களுக்கான தொடர்ச்சிச் சமன்பாடு
அழுத்தப்பட்ட பாய்மத்தைப் பொறுத்தவரை, அதன் அடர்த்தி எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதில்லை. வேறுவிதமாகக் கூறினால், பாய்மம் அழுத்தப்படும்போது அதன் அடர்த்தி மாறுகிறது. பாய்மம் அழுத்தப்படாவிட்டால், அதன் அடர்த்தி சமன்பாட்டிலிருந்து நீக்கப்பட்டுவிடும். எனவே, இந்த நேர்வில், பாய்மத்தின் அடர்த்தி சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. முன்னர் வருவிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைக் கொண்டு, அழுத்தப்பட்ட பாய்மத்திற்கான சமன்பாட்டை வருவிப்போம்.
உள்ளே நுழையும் திரவத்தின் நிறை, வெளியேறும் திரவத்தின் நிறைக்குச் சமம், எனவே:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
பாய்ம ஓட்டத்தின் இடைவெளி ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால் அதை நீக்கிவிடலாம். சமன்பாடுகள் பின்வருமாறு மாறுகின்றன:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → சமன்பாடு 2
இது அழுத்தப்பட்ட பாய்மத்திற்கான சமன்பாடு. இதில் உள்ள வேறுபாடு பாய்மத்தின் அடர்த்தியில் உள்ளது. பாய்மம் அழுத்தப்பட்டால், அதன் அடர்த்தி மாறும். இதற்கு மாறாக, பாய்மம் அழுத்தப்படாவிட்டால், அதன் அடர்த்தி எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், எனவே அதைச் சமன்பாட்டிலிருந்து நீக்கிவிடலாம்.
எடுத்துக்காட்டு கணக்கு 1:
10 செ.மீ விட்டம் கொண்ட ஒரு குழாய் வழியாக நீர் 2 மீ/வி வேகத்தில் பாய்கிறது. நீரின் வெளியேற்றம் என்ன?
அறியப்பட்டது :
குழாய் விட்டம் = 10 செ.மீ.
குழாயின் ஆரம் (r) = 5 செ.மீ = 0.05 மீ
நீரின் வேகம் (v) = 2 மீ/வி
தேவை : பற்று
தீர்வு:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 மீ/வி)
Q = (3.14)(0.05 மீ) 2 (2 மீ/வி)
Q = (3.14)(0.0025 மீ 2 )(2 மீ/வி)
Q = 0.0157 மீ 3 /வி
[irp]
எடுத்துக்காட்டு கணக்கு 2:
20 செ.மீ விட்டம் கொண்ட ஒரு குழாய், 10 செ.மீ விட்டம் கொண்ட மற்றொரு குழாயுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. 20 செ.மீ விட்டம் கொண்ட குழாயில் நீரின் வேகம் 4 மீ/வி எனில், 10 செ.மீ விட்டம் கொண்ட குழாயில் நீரின் வேகம் என்ன?
அறியப்பட்டது :
விட்டம் 1 = 20 செ.மீ (r 1 = 10 செ.மீ = 0.1 மீ)
v 1 = 4 மீ/வி
விட்டம் 2 = 10 செ.மீ (r 2 = 5 செ.மீ = 0.05 மீ)
தேவை : பதிப்பு 1
பதில் :
கேள்வி 1 = கேள்வி 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 மீ) 2 (4 மீ/வி) = (0.05 மீ) 2 (வி 2 )
(0.01 மீ 2 )(4 மீ/வி) = (0.0025 மீ 2 )(v 2 )
(0.04 மீ 3 /வி) = (0.0025 மீ 2 )(வி 2 )
v 2 = 16 மீ/வி
[irp]
