ஒன்றையொன்று விலக்கும் இரு நிகழ்வுகளான A மற்றும் B-ஐக் கூட்டுவதற்கான விதி குறித்த கலந்துரையாடல் வினாவின் எடுத்துக்காட்டு.

A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு பிரத்தியேக நிகழ்வுகளைக் கூட்டுவதற்கான விதியைப் பற்றி விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், பல நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடப் பயன்படும் அடிப்படைக் கொள்கைகளில் ஒன்று இரு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை விதியாகும். சில நிகழ்வுகளின் சாத்தியமான விளைவுகளைப் புரிந்துகொள்வதற்காக, இந்தக் கருத்து பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்தக் கட்டுரையில், ஒன்றையொன்று விலக்கும் இரு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை விதியைப் பற்றி விவாதித்து, இந்தக் கருத்தைத் தெளிவுபடுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம்.

ஒன்றையொன்று விலக்கும் இரு நிகழ்வுகளின் கூட்டல் விதி

முதலில், ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்வுகள் என்பதன் பொருள் என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம். இரண்டு நிகழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் நிகழ முடியாவிட்டால், அவை தொடர்பற்றவை அல்லது ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்வுகள் என்று கூறப்படுகின்றன. வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு நிகழ்வின் கணத்தில் உள்ள எந்த ஒரு உறுப்பும் மற்றொரு நிகழ்வின் கணத்தில் ஓர் உறுப்பாக இருக்காது.

நிகழ்தகவில் உள்ள கூட்டல் விதியின்படி, இரண்டு நிகழ்வுகள் \(A\) மற்றும் \(B\) ஒன்றையொன்று விலக்கும் தன்மையுடையவை எனில், நிகழ்வு \(A\) அல்லது \(B\)-இல் ஏதேனும் ஒன்றின் நிகழ்தகவானது, அவ்விரு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாகும். கணிதரீதியாக, இந்த விதியை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம்:

[ P(A ≤ B) = P(A) + P(B) ]

இதில், \(P(A \cup B)\) என்பது \(A\) அல்லது \(B\) நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு, \(P(A)\) என்பது \(A\) நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, மற்றும் \(P(B)\) என்பது \(B\) நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஆகும்.

மாதிரி கலந்துரையாடல் கேள்விகள்

ஒன்றையொன்று விலக்கும் இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கூட்டுவதற்கான விதியின் பயன்பாட்டைத் தெளிவுபடுத்த, சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1

கேள்வி:

ஆறு பக்க பகடை ஒன்று ஒரு முறை எறியப்படுகிறது. அதன் விளைவாக வரும் எண் 2 அல்லது 4 ஆக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

நிகழ்வு \(A\) என்பதை மதிப்பு 2 ஏற்படுவதையும், நிகழ்வு \(B\) என்பதை மதிப்பு 4 ஏற்படுவதையும் நாம் வரையறுக்கலாம். எனவே:

– \(P(A)\) என்பது 2 என்ற மதிப்பு தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
– \(P(B)\) என்பது 4 என்ற மதிப்பு தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.

ஒரு பகடைக்கு ஆறு சம நிகழ்தகவுள்ள பக்கங்கள் இருப்பதால், ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பு உருட்டப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு \( \frac{1}{6} \) ஆகும். எனவே:

[ P(A) = \frac{1}{6} ]
[ P(B) = \frac{1}{6} ]

பகடையின் ஒரே உருட்டலில் 2 மற்றும் 4 ஆகிய மதிப்புகள் ஒரே நேரத்தில் தோன்ற முடியாததால், \(A\) மற்றும் \(B\) ஆகிய நிகழ்வுகள் ஒன்றையொன்று விலக்குபவை ஆகும். எனவே, ஒன்றையொன்று விலக்கும் இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கான கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

எனவே, தோன்றும் மதிப்பு 2 அல்லது 4 ஆக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \( \frac{1}{3} \) அல்லது சுமார் 33.33% ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2

கேள்வி:

ஒரு பையில் 10 பந்துகள் உள்ளன; அவற்றில் 4 சிவப்புப் பந்துகளும் 6 நீலப் பந்துகளும் அடங்கும். நாம் சீரற்ற முறையில் ஒரு பந்தை எடுத்தால், எடுக்கப்படும் பந்து சிவப்பாகவோ அல்லது நீலமாகவோ இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கலந்துரையாடல்:

நிகழ்வு \(A\) என்பதை சிவப்பு பந்தை எடுப்பதாகவும், நிகழ்வு \(B\) என்பதை நீல பந்தை எடுப்பதாகவும் நாம் வரையறுக்கலாம். எனவே:

– \(P(A)\) என்பது சிவப்பு பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
– \(P(B)\) என்பது நீல நிறப் பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.

ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவையும் பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்:

\[ P(A) = \frac{\text{சிவப்பு பந்துகளின் எண்ணிக்கை}}{\text{மொத்த பந்துகளின் எண்ணிக்கை}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{நீலப் பந்துகளின் எண்ணிக்கை}}{\text{மொத்தப் பந்துகளின் எண்ணிக்கை}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

ஒரு பந்து ஒரே நேரத்தில் சிவப்பாகவும் நீலமாகவும் இருக்க முடியாது என்பதால், \(A\) மற்றும் \(B\) ஆகிய நிகழ்வுகள் ஒன்றையொன்று விலக்குபவை. எனவே, ஒன்றையொன்று விலக்கும் இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கான கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]

ஆகவே, எடுக்கப்பட்ட பந்து சிவப்பாகவோ அல்லது நீலமாகவோ இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 1, அதாவது 100%. பையில் உள்ள எல்லாப் பந்துகளும் சிவப்பாகவோ அல்லது நீலமாகவோ இருப்பதால் இது ஏற்புடையதே.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3

கேள்வி:

20 மாணவர்கள் கொண்ட ஒரு வகுப்பில், 7 பேருக்குக் கணிதமும், 5 பேருக்கு அறிவியலும் பிடிக்கும், மேலும் இரண்டு பாடங்களும் பிடித்தவர்கள் யாரும் இல்லை. சீரற்ற முறையில் ஒரு மாணவர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், அந்த மாணவர் கணிதம் அல்லது அறிவியல் ஆகிய இரண்டில் ஏதேனும் ஒன்றை விரும்புவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

கலந்துரையாடல்:

நிகழ்வு \(A\)-ஐ கணிதத்தை விரும்புவதாகவும், நிகழ்வு \(B\)-ஐ அறிவியலை விரும்புவதாகவும் நாம் வரையறுக்கலாம். எனவே:

– \(P(A)\) என்பது ஒரு மாணவர் கணிதத்தை விரும்புவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
– \(P(B)\) என்பது ஒரு மாணவர் அறிவியலை விரும்புவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.

ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவையும் பின்வருமாறு கணக்கிடலாம்:

\[ P(A) = \frac{\text{கணிதத்தை விரும்பும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை}}{\text{மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{அறிவியலை விரும்பும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை}}{\text{மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]

நிகழ்வுகள் \(A\) மற்றும் \(B\) ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்வுகளாகும், ஏனெனில் எந்த மாணவரும் அவை இரண்டையும் விரும்புவதில்லை. எனவே, ஒன்றையொன்று விலக்கும் இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கான கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]

எனவே, தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு மாணவர் கணிதம் அல்லது அறிவியலை விரும்புவதற்கான நிகழ்தகவு \( \frac{3}{5} \) அல்லது 60% ஆகும்.

முடிவுரை

ஒன்றையொன்று விலக்கும் இரண்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டல் விதி என்பது நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் உள்ள ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும். இது ஒரு கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட உதவுகிறது. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், பகடை உருட்டுதல், ஒரு பையிலிருந்து பந்துகளை எடுத்தல் அல்லது ஒரு வகுப்பிலிருந்து மாணவர்களைத் தேர்ந்தெடுத்தல் போன்ற நிஜ உலகச் சூழ்நிலைகளில் இந்தக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை நாம் பார்த்தோம். இந்தக் கருத்தைப் புரிந்துகொண்டு அதில் தேர்ச்சி பெறுவதன் மூலம், அன்றாட வாழ்வில் நிகழும் பல்வேறு ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை நம்மால் மிகவும் திறம்படக் கணக்கிட முடியும்.