ஒரு இயற்கணிதச் சார்பின் வகைக்கெழு குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு
நுண்கணிதத்தில் வகைக்கெழு என்பது ஒரு சார்பு எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதையோ அல்லது ஒரு புள்ளியில் சார்பின் சாய்வையோ விவரிக்கப் பயன்படும் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும். வகைக்கெழுக்கள் மாற்றத்தின் வீதம் பற்றிய தகவல்களை வழங்குவதால், இயற்பியல், பொருளாதாரம் மற்றும் பொறியியல் போன்ற பல்வேறு துறைகளில் அவை பயனுள்ளதாக இருக்கின்றன. இந்தக் கட்டுரையில், இயற்கணிதச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களுக்கான பல எடுத்துக்காட்டுகளையும் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதையும் பற்றி விவாதிப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1: பல்லுறுப்புக் கோவையின் வகைக்கெழு
கேள்வி: \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) என்ற சார்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்க!
தீர்வு:
பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வகைக்கெழுக்களுக்கான அடிப்படை விதியான \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) -ஐப் பயன்படுத்தி, சார்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் வகைக்கெழுவையும் ஒவ்வொன்றாகக் கணக்கிடுவோம்.
\[
\begin{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align }
\]
எனவே, \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) இன் வகைக்கெழு \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 2: பின்ன அடுக்குகள் கொண்ட ஒரு சார்பின் வகைக்கெழு
கேள்வி: \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) என்ற சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்க.
தீர்வு:
அதே வகைக்கெழு விதியைப் பயன்படுத்தி, அதாவது \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align }
\]
எனவே, \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) இன் வகைக்கெழு \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 3: அடுக்குக்குறி மற்றும் முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
கேள்வி: \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) என்ற சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்க.
தீர்வு:
இந்த வகைக்கெழுவைத் தீர்க்க, நமக்கு பெருக்கல் விதி தேவைப்படுகிறது, அது \((uv)' = u'v + uv'\) என்று கூறுகிறது. \( u(x) = e^x \) மற்றும் \( v(x) = \sin(x) \) என்று வைத்துக்கொள்வோம், அப்போது:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & ஏனெனில் } e^x \text{ இன் வகைக்கெழு } e^x ஆகும் \\
v'(x) &= \cos(x), & ஏனெனில் } \sin(x) \text{ இன் வகைக்கெழு } \cos(x) ஆகும்.
\end{align }
\]
பெருக்கல்களுக்கான வருவிக்கப்பட்ட விதியைப் பயன்படுத்துதல்:
\[
\begin{align }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align }
\]
எனவே, \( h(x) = e^x \sin(x) \) இன் வகைக்கெழு \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 4: சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவைக் கண்டறிதல்
கேள்வி: \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) என்ற சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்க.
தீர்வு:
இந்த வகைக்கெழுவைத் தீர்க்க, நமக்குச் சங்கிலி விதி தேவைப்படுகிறது, அதாவது \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) மற்றும் \( f(u) = u^5 \) எனில்:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align }
\]
சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align }
\]
எனவே, \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) இன் வகைக்கெழு \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 5: முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளைக் கொண்ட ஒரு சார்பின் வகைக்கெழு
கேள்வி: \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) என்ற சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்க.
தீர்வு:
பெருக்கல்களுக்கான வகைக்கெழு விதியை நாம் பயன்படுத்துவோம். \( u(x) = \sin(x) \) மற்றும் \( v(x) = \cos(x) \) எனில்:
\[
\begin{align }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align }
\]
பெருக்கல்களுக்கான வருவிக்கப்பட்ட விதியைப் பயன்படுத்துதல்:
\[
\begin{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align }
\]
முக்கோணவியல் முற்றொருமையை \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\) பயன்படுத்தி:
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
எனவே, \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) இன் வகைக்கெழு \( m'(x) = \cos(2x) \) ஆகும்.
முடிவுரை
இயற்கணிதச் சார்பின் வகைக்கெழு என்பது நுண்கணிதத்தில் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும், இது பல்வேறு பயன்பாடுகளில் மிகவும் முக்கியமானதும் பயனுள்ளதும் ஆகும். அடிப்படை வகைக்கெழு விதி, பெருக்கல் விதி, சங்கிலி விதி மற்றும் முக்கோணவியல் வகைக்கெழுக்களுக்கான விதிகள் போன்ற பல்வேறு வகைக்கெழு விதிகள், மிகவும் சிக்கலான சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களைக் கணக்கிட உதவுகின்றன. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலமும், கணக்குகளைப் பயிற்சி செய்வதன் மூலமும், இயற்கணிதச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களைக் காண்பதில் நமது புரிதலையும் திறன்களையும் மேம்படுத்திக்கொள்ளலாம்.
