குறைந்தபட்ச வருவாய் மதிப்பு மற்றும் அதிகபட்ச வருவாய் மதிப்பின் உச்சப் புள்ளிகளைப் பற்றி விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

உச்சப் புள்ளிகள் குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் கலந்துரையாடலும்: குறைந்தபட்ச வருவாய் மதிப்பு மற்றும் அதிகபட்ச வருவாய் மதிப்பு

ஒரு சார்பு அதன் குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்ச மதிப்பை அடையும் புள்ளிகளான உச்சப் புள்ளிகளைக் கண்டறிவது, நுண்கணிதம் மற்றும் கணிதப் பகுப்பாய்வில் ஒரு மையக் கருத்தாகும். இந்தக் கட்டுரையில், குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகளை உள்ளடக்கிய பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகள் மூலம் உச்சப் புள்ளிகளைக் கண்டறிந்து பகுப்பாய்வு செய்வது எப்படி என்பதை ஆராய்வோம்.

பொருள் வரையறைகள் மற்றும் தேற்றங்கள்

எடுத்துக்காட்டு கணக்குகளைப் பற்றி விவாதிப்பதற்கு முன், நாம் சில அடிப்படைக் கருத்துக்களையும் தேற்றங்களையும் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்:

1. முக்கியப் புள்ளி: சார்பு \( f(x) \)-இன் முதல் வகைக்கெழு \( f'(x) \) பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத \( x \)-இன் மதிப்பு எது?
2. பெரும மதிப்பு: இது ஒரு புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள \( f(x) \) இன் மதிப்பை விடப் பெரிய மதிப்பாகும்.
3. குறைந்தபட்ச வருவாய் மதிப்பு: இது ஒரு புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள \( f(x) \) இன் மதிப்பை விட சிறியதான \( f(x) \) இன் மதிப்பாகும்.
4. ஃபெர்மா தேற்றம்: \( f \) க்கு \( c \) இல் ஒரு உள்ளூர் உச்ச மதிப்பு இருந்து, அதன் வகைக்கெழு \( f'(c) \) இருக்குமானால், \( f'(c) = 0 \).

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1: இருபடிச் சார்பு

முதலில், ஒரு எளிய இருபடிச் சார்புடன் தொடங்குவோம்:

\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]

லங்கா-லங்கா:

1. \( f'(x) \)-இன் முதல் வகைக்கெழுவைக் காண்க:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

2. \( f'(x) = 0 \) என்பதைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மாறுநிலைப் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்:
\[
4x – 4 = 0 \implies x = 1
\]

3. மாறுநிலைப்புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

4. புள்ளியின் தன்மையைத் தீர்மானிக்க இரண்டாம் வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்தவும்:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
\( f”(1) > 0 \) என்பதால், புள்ளி \( x = 1 \) ஒரு உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 2: பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் சார்புகள்

இப்போது, ​​இன்னும் சிக்கலான ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையைக் கொண்டு முயற்சிப்போம்:

\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]

லங்கா-லங்கா:

1. முதல் வகைக்கெழு \( g'(x) \) -ஐக் காண்க:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

2. \( g'(x) = 0 \) என்பதைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மாறுநிலைப் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்:
\[
3x^2 – 6x = 0 \implies 3x(x – 2) = 0 \implies x = 0 \text{ அல்லது } x = 2
\]

3. மாறுநிலைப்புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

4. புள்ளியின் தன்மையைத் தீர்மானிக்க இரண்டாம் வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்தவும்:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 (உள்ளூர் பெரும மதிப்பு)
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{உள்ளூர் குறைந்தபட்ச மதிப்பு})
\]

எனவே, \( g(x) \) ஆனது \( x = 0 \) இல் ஒரு உள்ளூர் பெருமத்தையும், \( x = 2 \) இல் ஒரு உள்ளூர் சிறுமத்தையும் கொண்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3: விஞ்சிய சார்புகள்

அடுக்குக் கணக்கீடு சம்பந்தப்பட்ட ஒரு சார்பைப் பார்ப்போம்:

\[ h(x) = xe^{-x} \]

லங்கா-லங்கா:

1. முதல் வகைக்கெழு \( h'(x) \) -ஐக் காண்க:
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]

2. \( h'(x) = 0 \) என்பதைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மாறுநிலைப்புள்ளியைக் கண்டறியவும்:
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \implies 1 – x = 0 \implies x = 1
\]

3. மாறுநிலைப்புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

4. புள்ளியின் தன்மையைத் தீர்மானிக்க இரண்டாம் வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்தவும்:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
\( h”(1) < 0 \) என்பதால், புள்ளி \( x = 1 \) ஒரு உள்ளூர் பெருமமாகும். எடுத்துக்காட்டு கணக்கு 4: விகித சார்புகள் இறுதியாக, நாம் விகித சார்பை மதிப்பிடுகிறோம்: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]

படிகள்: 1. வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி முதல் வகைக்கெழுவைக் காண்க: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. \( k'(x) = 0 \) என்பதைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மாறுநிலைப் புள்ளிகளைக் காண்க: \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \] 3. மாறுநிலைப் புள்ளிகளில் சார்பின் மதிப்பைக் காண்க: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. புள்ளியின் தன்மையைச் சரிபார்க்க இரண்டாம் வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்தவும்: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] மேலும் கணக்கீடுகளை \( k'(x) \) ஐ மீண்டும் வகைக்கெழு செய்வதன் மூலம் செய்யலாம், இது \( x = \sqrt{2} \) மற்றும் \( x = -\sqrt{2} \) ஆகியவை உள்ளூர் பெருமங்களா அல்லது சிறுமங்களா என்பதைக் காட்டும். முடிவுரை இந்தக் கட்டுரையில், பல்வேறு வகையான சார்புகளின் உச்ச மற்றும் பெரும நேர்மாறு மதிப்புகளை, அதாவது சிறும மற்றும் பெரும நேர்மாறு மதிப்புகளை, எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் காட்டும் பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பற்றி விவாதித்துள்ளோம். பயன்படுத்தப்பட்ட நுட்பங்களில், மாறுநிலைப் புள்ளிகளைக் கண்டறிய முதல் வகைக்கெழுவைக் கண்டறிதல், புள்ளிகளின் தன்மையைத் தீர்மானிக்க இரண்டாம் வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்துதல், மற்றும் அந்தப் புள்ளிகளில் சார்பை மதிப்பிடுதல் ஆகியவை அடங்கும். நுண்கணிதத்தில் சார்புப் பகுப்பாய்வை ஆழமாக ஆராய்வதற்கு இது ஒரு உறுதியான அடித்தளத்தை வழங்குகிறது.