வாய்ப்புகளின் பங்கீடு குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு

நிகழ்தகவுப் பரவல் குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் கலந்துரையாடலும்

நிகழ்தகவுப் பரவல் என்பது புள்ளியியல் மற்றும் நிகழ்தகவில் உள்ள அடிப்படைக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். ஒரு சமவாய்ப்பு எண்ணின் பல்வேறு மதிப்புகள் ஏற்படுவதற்கான நிகழ்தகவைப் புரிந்துகொள்ள இது பயன்படுகிறது. பகுப்பாய்வு செய்யப்படும் தரவுகளின் தன்மையைப் பொறுத்து, நிகழ்தகவுப் பரவல்கள் பல வடிவங்களை எடுக்கலாம். நிகழ்தகவுப் பரவல்களின் இரண்டு பொதுவான வகைகள் தனித்த மற்றும் தொடர்ச்சியானவை ஆகும். இந்தக் கட்டுரையில், இந்தத் தலைப்பை நாம் நன்கு புரிந்துகொள்ள உதவும் வகையில், பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளை மதிப்பாய்வு செய்து, நிகழ்தகவுப் பரவல்கள் குறித்து விவாதிப்போம்.

தனித்த விநியோகம்

தனித்த பரவல் என்பது ஒரு தனித்த சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடும் ஒரு பரவலாகும்; அதாவது, ஒரு மாறியானது குறிப்பிட்ட மதிப்புகளை மட்டுமே ஏற்க முடியும். ஈருறுப்புப் பரவல் மற்றும் பாய்சான் பரவல் ஆகியவை தனித்த பரவல்களின் நன்கு அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1: ஈருறுப்புப் பரவல்
ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது ஒரு தொடர் பெர்னூலி சோதனைகளில் கிடைக்கும் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை விவரிக்கிறது. ஒவ்வொரு பெர்னூலி சோதனைக்கும் வெற்றி அல்லது தோல்வி என இரண்டு விளைவுகள் உண்டு. சோதனை முழுவதும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு மாறாமல் இருக்கும்.

கேள்வி:
ஒரு மருந்து நிறுவனம் 10 நோயாளிகளிடம் ஒரு புதிய மருந்தைச் சோதித்து வருகிறது. அந்த மருந்து அவர்களில் ஒருவருக்குப் பலனளிப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.7 ஆகும். 10 நோயாளிகளில் சரியாக 7 பேருக்கு அந்த மருந்து பலனளிப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுங்கள்.

கலந்துரையாடல்:
சமவாய்ப்பு மாறி \(X\) ஆனது \(n = 10\) மற்றும் \(p = 0.7\) உடன் ஒரு ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது. ஈருறுப்பு நிகழ்தகவுச் சார்பு:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]

\(k = 7\) எனில்:
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]

ஈருறுப்புக் கெழு \(\binom{10}{7}\) ஐக் கணக்கிடுதல்:
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]

நிகழ்தகவு மதிப்புகளைக் கணக்கிடுதல்:
\[ P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
[ P(X = 7) ≈ 120 × 0.0823543 × 0.027 ]
[ P(X = 7) ≈ 0.231 ]

எனவே, 10 நோயாளிகளில் சரியாக 7 பேருக்கு அந்த மருந்து வேலை செய்வதற்கான நிகழ்தகவு சுமார் 0.231 அல்லது 23.1% ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2: பாய்சன் பரவல்
ஒரு குறிப்பிட்ட கால அல்லது இட இடைவெளியில், ஒரு அரிதான நிகழ்வு எத்தனை முறை நிகழ்கிறது என்பதை மாதிரியாகக் காட்ட பாய்சன் பரவல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கேள்வி:
ஒரு கடைக்கு ஒரு மணி நேரத்திற்கு சராசரியாக 4 வாடிக்கையாளர்கள் வருகிறார்கள். ஒரு மணி நேரத்தில் அந்தக் கடைக்குச் சரியாக 5 வாடிக்கையாளர்கள் வருவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கலந்துரையாடல்:
சமவாய்ப்பு மாறி \(X\) ஆனது, \(\lambda = 4\) என்ற அளவுருவுடன் கூடிய பாய்சான் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது. பாய்சான் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]

\(k = 5\) எனில்:
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]

எண்ணிக்கை:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
[ P(X = 5) ≈ 0.156 ]

எனவே, ஒரு மணி நேரத்தில் கடைக்குச் சரியாக 5 வாடிக்கையாளர்கள் வருவதற்கான நிகழ்தகவு சுமார் 0.156, அல்லது 15.6% ஆகும்.

தொடர்ச்சியான விநியோகம்

அளவிடப்படும் சமவாய்ப்பு மாறியானது ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பிற்குள் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கக்கூடியதாக இருக்கும்போது, ​​தொடர் பரவல்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இயல்நிலைப் பரவல் மற்றும் அடுக்குக்குறிப் பரவல் ஆகியவை தொடர் பரவல்களின் நன்கு அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3: இயல்நிலைப் பரவல்
இயல்நிலைப் பரவல், பெரும்பாலும் காஸியன் பரவல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது அறிவியல், பொறியியல் மற்றும் பொருளாதாரம் உள்ளிட்ட பல்வேறு துறைகளில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு பரவலாகும்.

கேள்வி:
ஒரு நகரத்தில் உள்ள வயதுவந்த ஆண்களின் உயரங்கள், 170 செ.மீ. சராசரி மற்றும் 10 செ.மீ. திட்ட விலக்கத்துடன் இயல்நிலைப் பரவலைக் கொண்டுள்ளன. சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு ஆண், 160 செ.மீ. மற்றும் 180 செ.மீ. உயரத்திற்கு இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கலந்துரையாடல்:
160 செ.மீ மற்றும் 180 செ.மீ-க்கான z-மதிப்பை நாம் கணக்கிட வேண்டும். z-மதிப்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]

\(X = 160\) எனில்:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]

\(X = 180\) எனில்:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]

இப்போது நாம் z அட்டவணையில் -1 முதல் 1 வரையிலான நிகழ்தகவு மதிப்புகளைப் பார்க்க வேண்டும். z = -1 முதல் z = 1 வரையிலான மதிப்பு தோராயமாக 0.6826 ஆகும்.

எனவே, தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு மனிதர் 160 செ.மீ. மற்றும் 180 செ.மீ. உயரத்திற்கு இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு சுமார் 0.6826 அல்லது 68.26% ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4: அடுக்குக்குறிப் பரவல்
பாய்சன் செயல்முறையில் நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான நேரத்தை மாதிரியாக்க, அடுக்குக்குறிப் பரவல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கேள்வி:
ஒரு கடையில் இரண்டு வாடிக்கையாளர்கள் வருகைக்கு இடையேயான சராசரி நேரம் 15 நிமிடங்கள் ஆகும். அந்த இரண்டு வாடிக்கையாளர்கள் வருகைக்கு இடையேயான நேரம் 10 நிமிடங்களுக்கும் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கலந்துரையாடல்:
அடுக்குக்குறிப் பரவலானது, சராசரியின் (\(\mu\)) தலைகீழான \(\lambda\) என்ற அளவுருவைக் கொண்டுள்ளது. 15 நிமிடங்களின் சராசரியுடன்:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]

அடுக்குக்குறி திரள் பரவல் சார்பு பின்வருமாறு:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]

\(x = 10\) எனில்:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \approx 1 – 0.5134 \]
[ P(X ≤ 10) ≈ 0.4866 ]

எனவே, இரண்டு வாடிக்கையாளர் வருகைகளுக்கு இடையிலான நேரம் 10 நிமிடங்களுக்கும் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு சுமார் 0.4866 அல்லது 48.66% ஆகும்.

முடிவுரை

தனித்த மற்றும் தொடர்ச்சியான நிகழ்தகவுப் பரவல்கள், சமவாய்ப்பு மாறிகளின் நடத்தையை மாதிரியாக்குவதற்கும் புரிந்துகொள்வதற்கும் மிகவும் பயனுள்ள கருத்துருக்களாகும். ஈருறுப்பு மற்றும் பாய்சான் பரவல்கள் பெரும்பாலும் தனித்த மாறிகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அதேசமயம் இயல்நிலை மற்றும் அடுக்குக்குறிப் பரவல்கள் தொடர்ச்சியான பரவல்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.

மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம், நிகழ்தகவுப் பரவல்களில் நிகழ்தகவுகளை எவ்வாறு கணக்கிடுவது மற்றும் விளக்குவது என்பது குறித்த சிறந்த புரிதலை நீங்கள் பெற்றிருப்பீர்கள் என்று நம்புகிறோம். தொடர்ச்சியான பயிற்சியின் மூலம், நிகழ்தகவுப் பரவல்களைப் புரிந்துகொள்ளும் உங்கள் திறன் மேம்படும், மேலும் அதனைப் பல்வேறு துறைகளிலும் பயன்படுத்தலாம்.