செயல்பாட்டு உருவாக்கம் குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் கலந்துரையாடலும்
சார்பு சேர்ப்பு என்பது கணிதத்தில் இரண்டு சார்புகளை ஒன்றாக இணைக்கும் ஒரு கருத்தாகும். \( f \) மற்றும் \( g \) என்பன இரண்டு சார்புகள் எனில், \( f \) மற்றும் \( g \) ஆகியவற்றின் சேர்ப்பு என்பது \( (f \circ g)(x) \) என வரையறுக்கப்படும் ஒரு புதிய சார்பாகும், இதன் பொருள் \( f(g(x)) \) என்பதாகும். இந்தக் கட்டுரையில், சார்பு சேர்ப்பு தொடர்பான பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளையும் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதையும் பற்றி விவாதிப்போம்.
1. செயல்பாட்டு கலவையின் அடிப்படை புரிதல்
எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளுக்குச் செல்வதற்கு முன், சார்பு சேர்ப்பு என்றால் என்ன என்பதைச் சுருக்கமாகப் புரிந்துகொள்வோம்.
\( f \) மற்றும் \( g \) என இரண்டு சார்புகள் இருப்பதாகக் கொள்வோம்:
– சார்பு \( f \) : \( x \mapsto f(x) \)
– சார்பு \( g \) : \( x \mapsto g(x) \)
\( f \) மற்றும் \( g \) ஆகியவற்றின் சேர்ப்பு, \( f \circ g \) என எழுதப்படும்போது, பின்வரும் நிபந்தனையை நிறைவுசெய்யும் ஒரு சார்பாகும்:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
இங்கு, \( g(x) \) என்பது \( f \) என்ற சார்பின் உள்ளீடு ஆகும்.
2. எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 1
கேள்வி:
\( f(x) = 2x + 3 \) என்ற சார்பும், \( g(x) = x – 5 \) என்ற சார்பும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. \( (f \circ g)(x) \) மற்றும் \( (g \circ f)(x) \) ஆகியவற்றைக் காண்க.
கலந்துரையாடல்:
முதல் சேர்மானம் \( (f \circ g)(x) \) ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
முதல் படியாக, நாம் \( g(x) \) ஐ \( f(x) \) இல் செருகுகிறோம்:
\[ g(x) = x – 5 \]
\[ f(g(x)) = f(x – 5) \]
இரண்டாவது படியாக, நாம் \( x – 5 \) -ஐ \( f \) என்ற சார்பில் உள்ளிடுகிறோம்:
\[ f(x – 5) = 2(x – 5) + 3 \]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
ஆகவே, \( (f \circ g)(x) = 2x – 7 \).
இப்போது இரண்டாவது சேர்மானம் \( (g \circ f)(x) \) ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
முதல் படியாக, நாம் \( f(x) \) ஐ \( g(x) \) இல் செருகுகிறோம்:
\[ f(x) = 2x + 3 \]
\[ g(f(x)) = g(2x + 3) \]
இரண்டாவது படியாக, நாம் \( 2x + 3 \) -ஐ \( g \) என்ற சார்பில் பிரதியிடுகிறோம்:
\[ g(2x + 3) = (2x + 3) – 5 \]
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
ஆகவே, \( (g \circ f)(x) = 2x – 2 \).
3. எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 2: இருபடிச் சார்புகளைக் கொண்டு சார்புகளின் சேர்ப்பு
கேள்வி:
\( f(x) = x^2 + 1 \) என்ற சார்பும், \( g(x) = 3x – 4 \) என்ற சார்பும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. \( (f \circ g)(x) \) மற்றும் \( (g \circ f)(x) \) ஆகியவற்றைக் காண்க.
கலந்துரையாடல்:
முதல் சேர்மானம் \( (f \circ g)(x) \) ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
முதல் படியாக, நாம் \( g(x) \) ஐ \( f(x) \) இல் செருகுகிறோம்:
\[ g(x) = 3x – 4 \]
\[ f(g(x)) = f(3x – 4) \]
இரண்டாவது படியாக, நாம் \( 3x – 4 \) -ஐ \( f \) என்ற சார்பில் உள்ளிடுகிறோம்:
\[ f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1 \]
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x \cdot 2 + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
எனவே, \( (f \circ g)(x) = 9x^2 – 24x + 17 \).
இப்போது இரண்டாவது சேர்மானம் \( (g \circ f)(x) \) ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
முதல் படியாக, நாம் \( f(x) \) ஐ \( g(x) \) இல் செருகுகிறோம்:
\[ f(x) = x^2 + 1 \]
\[ g(f(x)) = g(x^2 + 1) \]
இரண்டாவது படியாக, நாம் \( x^2 + 1 \) என்பதை \( g \) என்ற சார்பில் உள்ளிடுகிறோம்:
\[ g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4 \]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
ஆகவே, \( (g \circ f)(x) = 3x^2 – 1 \).
4. எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 3: முக்கோணவியல் சார்புகளின் தொகுப்பு
கேள்வி:
\( f(x) = \sin x \) என்ற சார்பும், \( g(x) = x^2 \) என்ற சார்பும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. \( (f \circ g)(x) \) மற்றும் \( (g \circ f)(x) \) ஆகியவற்றைக் காண்க.
கலந்துரையாடல்:
முதல் சேர்மானம் \( (f \circ g)(x) \) ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
முதல் படியாக, நாம் \( g(x) \) ஐ \( f(x) \) இல் செருகுகிறோம்:
\[ g(x) = x^2 \]
\[ f(g(x)) = f(x^2) \]
இரண்டாவது படியாக, நாம் \( x^2 \) -ஐ \( f \) என்ற சார்பில் உள்ளிடுகிறோம்:
\[ f(x^2) = \sin (x^2) \]
ஆகவே, \( (f \circ g)(x) = \sin (x^2) \).
இப்போது இரண்டாவது சேர்மானம் \( (g \circ f)(x) \) ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
முதல் படியாக, நாம் \( f(x) \) ஐ \( g(x) \) இல் செருகுகிறோம்:
[ f(x) = \sin x ]
\[ g(f(x)) = g(\sin x) \]
இரண்டாவது படியாக, நாம் \( \sin x \) -ஐ \( g \) என்ற சார்பில் பிரதியிடுகிறோம்:
\[ g(\sin x) = (\sin x)^2 \]
\[ = \sin^2 x \]
ஆகவே, \( (g \circ f)(x) = \sin^2 x \).
முடிவுரை
சார்பு சேர்ப்பு என்பது இரண்டு சார்புகளை ஒரே சார்பாக இணைக்கும் ஒரு முறையாகும். மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம், சார்பு சேர்ப்பு செயல்முறையானது ஒரு சார்புக்குப் பதிலாக மற்றொரு சார்பைப் பிரதியிடுவதை உள்ளடக்கியது என்பதை நாம் அறிந்துகொண்டோம். சார்பு சேர்ப்பின் இறுதி முடிவானது, சார்புகள் முதலில் பயன்படுத்தப்படும் வரிசையைப் பெருமளவில் சார்ந்துள்ளது.
\( (f \circ g)(x) \) என்பது எப்போதும் \( (g \circ f)(x) \) க்குச் சமமாக இருப்பதில்லை என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம். மேலும், இந்த வேறுபாடு கணிதம் மற்றும் அறிவியலின் பல்வேறு பயன்பாடுகளில் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்கக்கூடும். எனவே, இடைநிலை அல்லது உயர்நிலையில் கணிதம் பயிலும் எவருக்கும், அடிப்படைகளைப் புரிந்துகொள்வதும், சார்புகளின் சேர்மானத்தைக் கணக்கிடும் முறையைப் புரிந்துகொள்வதும் மிகவும் முக்கியம்.
மேற்கண்ட கலந்துரையாடலும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் பயனுள்ளதாகவும், சார்புகளின் அமைப்பைப் புரிந்துகொள்ள வாசகர்களுக்கு உதவுவதாகவும் அமையும் என நம்புகிறோம்.
