Maisha yetu leo yamekuwa rahisi na ya kustarehesha zaidi kutokana na kuwepo kwa magari yenye magurudumu, vifaa vya kisasa kama vile jenereta, mashine za kusagia, feni, mashine za kukata nyasi, mashine za kunyunyizia maua na kadhalika. Magari yenye magurudumu kama vile baiskeli, pikipiki, magari na ndege hayawezi kusonga ikiwa hayana magurudumu au ikiwa magurudumu hayazunguki. Helikopta au ndege pia haziwezi kuruka ikiwa propela zao hazizunguki. Meli haziwezi kusafiri ikiwa jenereta au propela zao hazizunguki. Usiku, nyumba inakuwa nyeusi sana na hakuna burudani ikiwa jenereta au kiwanda cha umeme hakifanyi kazi. Vitu vingi hufanya mwendo wa duara kila siku. Hata bila kujua, dunia tunayoishi, mwezi unaotuangazia usiku, satelaiti bandia kama vile satelaiti za mawasiliano zinazosambaza mawimbi ya sumakuumeme kwa televisheni, redio, simu ya mkononi, na matangazo ya mtandao, huzunguka na daima, yaani husogea katika duara wakati wote.
Kitu kinasemekana kuwa katika mwendo wa duara ikiwa njia yake ni ya duara. Kiasi cha kimwili katika mwendo wa duara kinajumuisha kiasi cha pembe (kiasi cha mwendo wa duara) na kiasi cha mstari (kiasi cha mwendo wa mstatili). Kiasi cha pembe kinajumuisha uhamishaji wa pembe, kasi ya pembe, na kuongeza kasi ya pembe. Kiasi cha mstari ni kiasi kama vile katika mwendo ulionyooka, ikijumuisha uhamishaji (umbali), kasi (kasi), na kuongeza kasi. Kinyume chake, kiasi cha mwendo wa duara kwa kawaida hujulikana kama kiasi cha pembe . Katika mwendo wa duara, kiasi cha mstari kinahusiana na kiasi cha pembe.
Badilisha vitengo vya pembe (digrii, radiani, mapinduzi)
1. ¼ zamu = ….. o (digrii)?
Majadiliano
Mzunguko 1 = 360o
Nusu zamu = 180o
¼ zamu = 90o
2. ½ zamu = …….. radiani?
Majadiliano
Mzunguko 1 = radiani 2 za pi = radiani 2(3,14) = radiani 6,28
½ zamu = radiani za pi = radiani 3,14
3. 180o (Digrii 180) = ….. mzunguko au mapinduzi ?
Majadiliano
360o = raundi 1 (1 mapinduzi)
180o = ½ zamu (1/2) mapinduzi)
4. 90o = ….. radiani?
Majadiliano
360o = radiani 2 za pi = radiani 2(3,14) = radiani 6,28
180o = radiani za pi = radiani 3,14
90o = ½ pi radian = ½ (3,14) = 1,57
5. Radiani 60 = ….. mzunguko?
Majadiliano
Radiani 6,28 = mapinduzi 1
Radiani 60/6,28 = mapinduzi 9,55
6. Radiani 40 = ….. o (digrii)?
Majadiliano
Radiani 6,28 = 360o
Radiani 40/6,28 = (6,37)(360o= 2292,99o
Kasi ya pembe
Mfano wa matatizo.
1. Gurudumu huzunguka kwa mwelekeo wa saa, na kutengeneza pembe ya 180o kwa sekunde 2 na 90o kwa sekunde 1. Tambua ukubwa na mwelekeo wa kasi ya wastani ya pembe!
Majadiliano
Kubwa = 9o/pili = …. mapinduzi/pili = ….. radiani/pili ?
Mwelekeo = mwelekeo wa saa.
2. Gurudumu huzunguka kwa mwelekeo wa saa, na kutengeneza pembe ya 360o kwa sekunde 4, kisha gurudumu huzunguka 180o kwa sekunde 2 kinyume cha saa. Ni ngapi kasi ya wastani ya pembe gurudumu?
Majadiliano
Kubwa = 3o/pili = …. mapinduzi/pili = ….. radiani/pili ?
Mwelekeo = mwelekeo wa saa.
Kasi ya Angular ya Papo Hapo
Ukubwa wa kasi ya pembe ya papo hapo = ukubwa wa kasi ya pembe iliyosafiriwa wakati wa kipindi kifupi sana cha muda.
Katika mwendo ulionyooka au mwendo wa mstari, kasi ya juu inaweza kuitwa kasi karena uhamisho mkubwa thamani sawa na umbali ikiwa ni ndogo sana. Katika mwendo wa duara, kasi kubwa ya pembe inaweza kuitwa kasi ya pembe karena uhamishaji mkubwa wa pembe thamani sawa na umbali kona ikiwa ni ndogo sana.
Kasi ya Angular ya Wastani
Mfano wa matatizo.
1. Kinu cha upepo ambacho mwanzoni hubaki tuli kwa muda kisha huzunguka kutokana na kupeperushwa na upepo. Baada ya sekunde 2, kasi ya pembe huongezeka hadi 90°.o/s. Kiasi gani? kasi ya wastani ya pembe kinu cha upepo?
Majadiliano
Kwa wastani, kasi kubwa ya pembe Vinu vya upepo viliongezeka kwa 45o/s kila sekunde 1.
2. Propela mwanzoni huzunguka kwa kasi ya pembe ya 180o/s, sekunde 2 baadaye inaacha kuzunguka. Ni ngapi wastani wa kushuka kwa kasi kwa pembe kinu cha upepo?
Majadiliano
Kwa wastani, kasi kubwa ya pembe Vinu vya upepo vimepunguzwa kwa 90o/s kila sekunde 1.
Kuongeza Kasi ya Angular Papo Hapo
Kuongeza kasi ya pembe papo hapo kwa kawaida hufupishwa kama kuongeza kasi ya pembe. Kuongeza kasi ya pembe papo hapo ni mabadiliko katika kasi ya pembe kwa muda mfupi sana. Kihisabati:
Kipindi na Marudio ya Mwendo wa Mzunguko
Kipindi hutaja muda unaohitajika kwa chembe kukamilisha mzunguko mmoja, huku masafa yakitaja idadi ya mizunguko kwa sekunde.
Uhusiano kati ya kipindi na masafa huonyeshwa kupitia mlinganyo:
f = 1 / T
Kitengo cha kimataifa cha kipindi ni cha pili, kitengo cha mfumo wa kimataifa cha masafa ni 1/sekunde au hertz.
Kasi na Kasi ya Angular
Kasi ya mgeuko na kasi ya pembe ya chembe inayosogea kwenye duara inaweza kuonyeshwa kwa suala la kipindi na masafa.
Ukubwa wa kasi ya chembe inayofanya mwendo wa duara huonyeshwa na mlinganyo:
Ukubwa wa kasi ya pembe ya chembe inayosonga kwenye duara huonyeshwa na mlinganyo:
Taarifa:
Mfano wa matatizo
1. Magurudumu mawili A na B yenye idadi ya meno 20 na 50 mtawalia huwekwa kwenye mguso ili kila gia iwe imeoanishwa. Ikiwa gurudumu A litazunguka mara 50 kwa sekunde moja, kasi ya pembe ya gurudumu B ni….
Majadiliano
Inajulikana:
Idadi ya meno kwenye gurudumu A = 20
Idadi ya meno kwenye gurudumu B = 50
Kasi ya pembe ya gurudumu A ( ω A ) = mapinduzi 50/sekunde
Mzunguko 1 = radiani 2π
(50)(radiani 2π)/sekunde = radiani 100π/sekunde
Swali: Kasi ya pembe ya gurudumu B ( ω B )
Jibu:
Kasi ya mstari wa gurudumu A: v A = r A ω A
Kasi ya mstari wa gurudumu B: v B = r B ω B
Magurudumu mawili yanagusana kwa hivyo kasi yao ya mstari ni sawa.
v A = v B
r A ω A = r B ω B
(20)( 100π rad/s) = (50)(ω B )
(2)(100π rad/s) = (5)(ω B )
(2)(20π rad/s) = ω B
ω B = 40π rad/s
2. Maswali ya Mtihani wa Kitaifa wa SMA/MA wa 2017
Tazama picha ifuatayo.
Pikipiki inasafiri kwenye mkunjo wenye pembe ya mwelekeo α (tan α = 2/5) hadi bega la barabara. Kasi ya juu zaidi ya kuzuia pikipiki kuteleza ni 20 ms -1 . Kipenyo cha mkunjo ni kipi?
A. mita 50
B. mita 100
C. 200 m
D. mita 250
M. mita 400
Majadiliano
Inajulikana kwamba:
Kasi ya juu zaidi (v) = 20 m/s
tanjenti α = 2/5
Mgawo wa msuguano tuli (μ s ) = tangent α = 2/5
Swali: Kipenyo cha mkunjo (r)
Jibu:
Fomula ya kuongeza kasi ya katikati ya mzunguko wa damu:
Taarifa:
a s = kuongeza kasi katikati, v = kasi, r = radius ya mkunjo
Nguvu pekee ya mlalo inayotokea kwenye gari linapogeuka ni msuguano tuli. Fomula ya msuguano tuli ni:
Taarifa:
f s = nguvu ya msuguano tuli, μ s = mgawo wa msuguano tuli, w = uzito, m = uzito, g = kuongeza kasi kutokana na mvuto
Fomula ya sheria ya pili ya Newton kwa mwendo wa duara:
Jibu sahihi ni B.
3. Maswali ya Mtihani wa Kitaifa wa SMA/MA wa 2017
Magurudumu manne yameunganishwa kama inavyoonyeshwa hapa chini!
Kipenyo RA = 6 cm, RB = 3 cm, RC = 2 cm na RD = 5 cm na gurudumu A huzunguka kwa kasi ya mstari ya 3 ms-1, basi kasi ya pembe ya gurudumu D ni…
Majadiliano
Inajulikana kwamba:
R A = 6 cm = 0,06 m, R B = 3 cm = 0,03 m, R C = 2 cm = 0,02 m, R D = 5 cm = 0,05 m.
v A = 3 ms -1
Swali: kasi ya pembe ya gurudumu D ( ω D )
Jibu:
Kasi ya pembe ya gurudumu A:
v A = r A ω A
ω A = v A / r A = 3 / 0,06 = 50 rad/s
Magurudumu A na B huzunguka kwa kasi sawa ya pembe.
ω A = ω B = rad 50/s
Kasi ya pembe ya gurudumu B:
ω B = rad 50/s
Kasi ya mstari wa gurudumu B:
v B = r B ω B
v B = (0,03)(radi 50/s)
v B = 1,5 m/s
Gurudumu B na gurudumu C zina kasi sawa ya mstari.
v B = v C = 1,5 m/s
Gurudumu C na gurudumu D zina kasi sawa ya mstari.
v C = v D = 1,5 m/s
Kasi ya pembe ya gurudumu D:
ω D = v D / r D = 1,5 / 0,05 = rad 30/s
