Bernoullis princip och ekvationsmaterial
När vi kör motorcykel ganska snabbt, puffar kläderna vi har på oss upp baktill. Om du inte kan köra motorcykel än, var uppmärksam på dina föräldrar eller vänner som kör motorcykel. Baksidan av deras kläder puffar vanligtvis upp baktill när motorcykeln kör fort. Ibland när det blåser hårt kan husdörren stängas av sig själv. Även om vinden blåser utanför huset, medan dörren är inne i huset.
Detta kan förklaras med hjälp av Bernoullis princip. Daniel Bernoulli (1700–1782) upptäckte en princip som kan användas för att förklara några av ovanstående saker.
Bernoullis princip
Bernoullis princip säger att där vätskeflödeshastigheten är hög, är vätsketrycket lågt. Omvänt, om vätskeflödeshastigheten är låg, blir trycket högt. När en motorcykel rör sig snabbt är lufthastigheten framför och bredvid din kropp hög. Således blir lufttrycket lågt. Baksidan av din kropp blockeras av framsidan av din kropp, så lufthastigheten bakom din kropp ändras inte till hög (precis bakom din kropp). Som ett resultat blir lufttrycket bakom din kropp större. Eftersom det finns en skillnad i lufttryck, där lufttrycket precis bakom din kropp är större, trycker luften din skjorta bakåt, vilket gör att det ser ut som om den är uppblåst baktill.
Vad händer med en dörr som stängs av sig själv när det blåser hårt ute? Luften utanför rör sig snabbare än luften inomhus. Som ett resultat är lufttrycket utanför lägre än lufttrycket inomhus. På grund av denna tryckskillnad, där lufttrycket inomhus är högre, trycks dörren utåt. Med andra ord rör sig dörren från en plats med högre lufttryck till en plats med lägre lufttryck.
Bernoullis ekvation
Tidigare lärde vi oss om Bernoullis princip. Bernoulli utvecklade även denna princip kvantitativt. För att härleda Bernoulli-ekvationen antar vi stationärt, laminärt vätskeflöde, inkompressibilitet och låg viskositet, vilket kan ignoreras.
I diskussionen om kontinuitetsekvationen lärde vi oss att vätskeflödeshastigheten också kan variera beroende på flödesrörets tvärsnittsarea. Baserat på Bernoulli-principen som förklarats ovan kan vätsketrycket också variera beroende på vätskeflödeshastigheten. Vätsketrycket kan också variera beroende på vätskans höjd. Sambandet mellan tryck, flödeshastighet och flödeshöjd kan erhållas från Bernoulli-ekvationen.
Bernoulli-ekvationen är mycket viktig eftersom den kan användas för att analysera flygplan, vattenkraftverk, rörsystem etc. För att Bernoulli-ekvationen som vi kommer att härleda ska gälla generellt antar vi att vätskan flödar genom ett flödesrör med olika tvärsnittsareor och även olika höjder (se figuren nedan). För att härleda Bernoulli-ekvationen tillämpar vi arbete- och energisatsen på vätskan i flödesrörsområdet. Därefter beräknar vi mängden vätska och det arbete som utförs för att förflytta vätskan.
Den ogenomskinliga färgen i flödesröret i bilden indikerar vätskeflöde medan den vita färgen indikerar ingen vätska.
Vätskan i tvärsnittsarea 1 (vänster sida) strömmar en sträcka L1 och tvingar vätskan i tvärsnitt 2 (höger sida) att förflytta sig en sträcka L2. Eftersom tvärsnittsarean 2 på höger sida är mindre är vätskeflödeshastigheten på höger sida av flödesröret större (kom ihåg kontinuitetsekvationen). Detta orsakar en tryckskillnad mellan tvärsnitt 2 (höger sida av flödesröret) och tvärsnitt 1 (vänster sida av flödesröret) - Kom ihåg Bernoullis princip. Vätskan på vänster sida av tvärsnitt 1 utövar ett tryck P1 på vätskan på höger sida och utför ett arbete av:
Då kan ekvationen W1 skrivas som:
V 1 = p 1 A 1 L 1
Vid tvärsnitt 2 (höger sida av flödesröret) är arbetet som utförs på vätskan:
W² = − p² A² L²
Det negativa tecknet indikerar att den applicerade kraften är motsatt rörelseriktningen. Således utför vätskan arbete till höger om sektion 2. Dessutom utför även tyngdkraften arbete på vätskan. I ovanstående fall flyttas en viss massa vätska från sektion 1 så långt som L1 till sektion 2 så långt som L2 , där vätskans volym vid sektion 1 (A1L1 ) = vätskans volym vid sektion 2 (A2L2 ) . Arbetet som utförs av tyngdkraften är :
W3 = − mg ( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Det negativa tecknet beror på att vätskan strömmar uppåt, motsatt gravitationsriktningen. Således är det totala arbetet som utförs på vätskan, som visas i figuren ovan:
W = W1 + W2 + W3
W = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
Arbete-energi-satsen säger att det totala arbetet som utförs på ett system är lika med förändringen i dess kinetiska energi. Således kan vi ersätta arbete (W) med förändringen i kinetisk energi (EK2 - EK1 ).
Vi kan skriva om ekvationen ovan till:
W = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Massa av vätska som strömmar en sträcka L1 vid tvärsnittet A1 = massa av vätska som strömmar en sträcka L2 ( tvärsnitt A2 ) . En vätskamassa , säg m, har volymen A1L1 och A2L2 där A1L1 = A2L2 ( L2 är längre än L1 ).
Nu substituerar vi, eller ersätter m i ekvationen ovan med m = ρ AL:
Detta är Bernoulli-ekvationen. Vi härledde Bernoulli-ekvationen baserat på arbete-energi-principen, så det är en form av lagen om energins bevarande.
Sammanfattning:
P = Tryck
ρ = Vätskans densitet
v = Vätskeflödeshastighet
g = Tyngdacceleration
h = Flödesrörets/flödesrörets höjd från markytan
Vänster- och högersidan av Bernoulli-ekvationen ovan kan referera till två punkter längs flödesröret, så vi kan skriva om ekvationen ovan till:
Denna ekvation anger att den totala summan av kvantiteterna i ekvationen har samma värde i hela flödesröret.
Låt oss nu granska Bernoullis ekvation för några fall.
Bernoullis ekvation för vätskor i vila
Ett specialfall av Bernoullis ekvation är för fluider i vila (statiska fluider). När en fluid är i vila har den ingen hastighet. Således är v 1 = v 2 = 0. För en fluid i vila kan Bernoullis ekvation formuleras som:
Om h² ‐ h¹ = h, så kan denna ekvation skrivas som:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoullis ekvation för flödesrör eller rör med samma höjd
Om höjden på flödesröret eller -röret är densamma, ändras Bernoulli-ekvationen till:
