Projektilrörelse

Artikel om projektilrörelsen och exempelproblem med lösningar

Initialhastighet (v_o) och komponenterna för initialhastigheten (v_ox och v_oy)

Ett objekt vars paraboliska rörelser alltid har en initialhastighet. Eftersom parabolisk rörelse är en kombination av rörelser i horisontell och vertikal riktning, har initialhastigheten också horisontella och vertikala komponenter.

Om objektet rör sig paraboliskt som i figur 1 och 3 beräknas initialhastigheten i horisontell riktning (v _ox ) och initialhastigheten i vertikal riktning (v _oy ) med hjälp av ekvationen:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Om objektet rör sig paraboliskt som i figur 2 så är v _o = v _ox (v _oy = 0)

Hastighet (v_x och v_y) och position (x och y)

Hastigheten i horisontell och vertikal riktning vid ett visst tidsintervall beräknas med hjälp av ekvationen:

v _x = v _ox = konstant ( likformig linjär rörelse )

v _y = v _oy + gt eller v _y ² = v _oy ² + 2 gh (fritt fall)

Objektens position i horisontell (x) och vertikal (y) riktning vid ett visst tidsintervall beräknas med hjälp av ekvationen:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 ^gt²

Resultant av hastighet (v) och position (h)

Resulterande hastighet vid ett specificerat tidsintervall beräknas med hjälp av ekvationen:

Objektens riktning vid ett visst tidsintervall beräknas med hjälp av ekvationen:

Anmärkningar:

1. Den horisontella komponenten av parabolisk rörelse betraktas som den likformiga linjära rörelsen, så vox = vx är alltid konstant

2. Den vertikala komponenten av parabolisk rörelse betraktas som fritt fall-rörelsen, så om objektet rör sig paraboliskt, såsom i figur 1 och 3, är den vertikala komponenten av objektets hastighet vid maximal höjd noll (v _y = 0). Om du kastar en kula upprätt uppåt vid maximal höjd, vilar objektet ett ögonblick (v _y = 0) innan det vänder nedåt. Därför är hastigheten på objektet som rör sig paraboliskt vid maximal höjd = v _x = v _ox

3. Om objektet rör sig paraboliskt som visas i figur 2, ses den vertikala komponenten av den paraboliska rörelsen som fritt fall. Om objektet rör sig paraboliskt som i figur 1 och 3, ses den vertikala komponenten av den paraboliska rörelsen som den uppåtgående vertikala rörelsen.

Exempelproblem:

1. En kula avfyras i horisontell riktning med en initialhastighet på 20 m/s. Om kanonen är 5 meter över marken, bestäm:

(a) tid i luften

(b) den maximala höjden

(c) det horisontella avståndet

(d) kulans hastighet när den träffar marken

Lösning:

Rörelse i horisontell riktning analyseras som den likformiga linjära rörelsen, medan rörelse i vertikal riktning analyseras som den fritt fallande rörelsen.

Känd:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Tid i luften

Lösningen är att bestämma tidsintervallet (t) i fritt fall-rörelsen.

Känd: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Önskas: t

b) Maximal höjd

Maximal höjd = h = 5 meter.

c) Horisontellt avstånd (d)

Lösningen är som att bestämma avståndet på en likformig linjär rörelse

Känd: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekund

Önskas: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Hastighet när kulan träffar marken

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Först beräknar vi sluthastigheten i vertikal riktning (vty). Lösningen är som att bestämma sluthastigheten för fritt fall-rörelsen.

Känt: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Sökes: v _ty

v _t = vo ₊ gt —> vo = 0

vt = _gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt = 9.8 m/ _s

Kulans hastighet när den träffar marken:

Kulans riktning:

Eftersom v _tx är i riktning mot den positiva x-axeln (åt höger) och v _ty är i riktning mot den negativa y-axeln (nedåt),

Kulans riktning när den träffar marken är -26.1 ^° till den positiva x-axeln (se figur nedan).

2. Kanonen avfyrade en kula i en vinkel på 30 ^grader mot horisontalplanet med en hastighet av 60 m/s. Bestäm:

(a) den maximala höjden

(b) kulans hastighet vid maximal höjd

(c) tid i luften

(d) det horisontella avståndet

(e) kulans hastighet när den träffar marken. Antag att marken är plan. 🙂

Lösning:

Rörelse i horisontell riktning analyseras som den likformiga linjära rörelsen, rörelse i vertikal riktning analyseras som den uppåtgående vertikala rörelsen.

Känt: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Baserat på kända data beräknar vi först de vertikala (v _oy ) och horisontella (v _ox ) komponenterna av initialhastigheten (v _o ).

a) Maximal höjd (h)

Lösningen är som att bestämma den maximala höjden vid den uppåtgående vertikala rörelsen.

Känd:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maximal höjd (h)

Lösningen är som att bestämma den maximala höjden vid den vertikala uppåtgående rörelsen.

Känd:

v _oy = 30 m/s (detta är kulans initialhastighet)

v _ty = 0 m/s (Vid maximal höjd är kulans vertikala hastighet = 0 m/s. Detta är sluthastigheten.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Önskas: h

vt² = _v² + ^2gh_​^​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) timmar

0 = 900 – 19.6 timmar

900 = 19.6 timmar

h = 900 / 19.6

h = 45.9 meter

Den maximala höjden som kulan uppnådde = 45.9 meter.

b) Hastigheten vid maximal höjd

Vid maximal höjd är hastigheten i vertikal riktning = 0 m/s. Vid maximal höjd är hastigheten endast horisontell. Hastigheten i horisontell riktning vid maximal höjd är lika med initialhastigheten i horisontell riktning, som är 52.2 m/s. Hastighetsriktningen i horisontell riktning är alltid konstant, det vill säga i riktning mot den positiva x-axeln (om ett objekts rörelse beskrivs i diagrammet ovan).

c) Tid i luften

Lösningen är som att bestämma tidsintervallet (t) i diskussionen om den vertikala uppåtgående rörelsen.

Känd:

v _oy = 30 m/s (detta är kulans initialhastighet i vertikal riktning)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (när kulan återvänder till marken är kulans förskjutning i vertikal riktning = 0 m)

Önskas: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 ton

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekunder

Tid i luft = 6.12 sekunder

d) Horisontellt avstånd (d)

Lösningen är som att bestämma avståndet (d) på den likformiga linjära rörelsen.

Känd:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 sekunder

Önskas: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekunder) = 319.5 m

e) Hastighet när kulan träffar marken

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Först beräknar vi sluthastigheten i vertikal riktning (v _ty ). Lösningen är att bestämma sluthastigheten på den vertikala uppåtgående rörelsen.

Önskat: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekunder

Sökes: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Ett negativt tecken indikerar att sluthastigheten är nedåtgående. Observera att initialhastigheten i vertikal riktning är lika med sluthastigheten i vertikal riktning.

Kulans hastighet när den träffar marken:

Kulans riktning:

Eftersom v _tx är i riktning mot den positiva x-axeln (åt höger) och vty är i riktning mot den negativa y-axeln (nedåt),

Kulans hastighet när den träffar marken är -30 ^° kring den positiva x-axeln (se figur nedan).

3. En boll kastas från kanten av en 50 meter hög byggnad med en initialhastighet på 10 m/s. Om bollen kastas i 30° vinkel mot horisontalplanet, bestäm:

(a) tidsintervallet då bollen når marken

(b) bollens hastighet när den träffar marken

(c) det horisontella avståndet som bollen kan nå mäts från byggnadens kant

(d) den maximala höjden som bollen når

Lösning:

Först beräknar vi den vertikala komponenten (v _oy ) och den horisontella komponenten (v _ox ) av initialhastigheten (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Tidsintervallet då bollen når marken

Lösningen är som att bestämma tidsintervallet (t) i en vertikal uppåtgående rörelse. Storleken på vektorn vars riktning är uppåt väljs till positiv, storleken på vektorn vars riktning är nedåt väljs till negativ. Bollens position där den kastas väljs som referenspunkt. h är negativ eftersom markytan är under referenspunkten, g är negativ eftersom tyngdaccelerationens riktning är nedåt.

Känd:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Önskas: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Använd den kvadratiska formeln:

Tid i luften = tidsintervallet från det att bollen kastades tills den nådde marken = 1.64 sekunder.

b) Bollens hastighet när den träffar markytan

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Först beräknar vi sluthastigheten i vertikal riktning (v _ty ). Lösningen är som att bestämma sluthastigheten vid den vertikala uppåtgående rörelsen.

Känd: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekunder

Sökes: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Det negativa tecknet indikerar att sluthastigheten är i nedåtgående riktning.

Kulans hastighet när den träffar marken:

Kulans hastighetsriktning = kulans rörelseriktning när den träffar marken:

Kulans hastighet när den träffar marken:

Eftersom vtx är i riktning mot den positiva x-axeln (åt höger) och vty är i riktning mot den negativa y-axeln (nedåt),

Kulans riktning när den träffar marken är -52° kring den positiva x-axeln (se figur nedan).

c) Det horisontella avståndet som bollen kan nå mäts från byggnadens kant.

Lösningen är som att bestämma den tillryggalagda sträckan (d) på den likformiga linjära rörelsen.

Känd: t = 1.64 sekunder, v _x = 8.7 m/s

Önskas: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Den maximala höjden som bollen når

Känd: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( vertikal komponent av hastigheten vid maximal höjd = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Önskas: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 meter

Den maximala höjden som bollen når = 1.3 meter över byggnadens topp = 1.3 m + 50 m = 51.3 meter över markytan.