Tillägg av vektorer

Artikel om addition av vektorer

1. Vektor- och skalärkvantiteter

Förutom de grundläggande och härledda kvantiteterna kan fysikaliska kvantiteter fortfarande delas in i två andra typer, nämligen skalära kvantiteter och vektorkvantiteter. Kvantiteter som massa, avstånd, tid och volym är skalära kvantiteter, kvantiteter som bara har magnitud men inte har någon riktning. Medan storheter som förskjutning, hastighet, acceleration och kraft är vektorkvantiteter, kvantiteter som har magnitud och även har riktning.

a. Skillnaden mellan s- kalar och vektorkvantitet

Om du säger att en bolls massa är 400 gram, räcker detta påstående för att du ska veta bollens massa. Du behöver ingen riktning för att ta reda på bollens massa. Detsamma gäller för tid, temperatur, volym, densitet etc. Det finns flera fysikaliska storheter som inte kan uttryckas enbart i magnitud. Om du säger att ett barn rör sig så långt som 100 meter, räcker inte detta påstående. Du kanske frågar dig, vart rörde han sig? Är det norr, söder, öster eller väster? Likaså, om du säger att du trycker på bordet med en kraft på 200 N.

Vart kör du? Sådana kvantiteter kallas vektorkvantiteter, vilka kräver en förklaring av storlek och riktning. Exempel på vektorkvantiteter är förskjutning, acceleration, impuls, rörelsemängd etc. Du kan förstå det tydligare när du studerar ämnen relaterade till dessa kvantiteter.

b. Rita en vektor

Vektorn indikeras med en pil. Pilen är alltid ritad så att den pekar i vektorns riktning. Pilens längd beskrivs som vektorns magnitud. Till exempel, i figuren av en kraftvektor (F) med magnituden 2 N vars riktning är mot nordost eller 45 ^° kring x-axeln.

c. Regler för att skriva vektormängder

När man skriver en vektor, om man använder handstil, skrivs symbolen för en vektor vanligtvis i kursiv stil med versaler, och ovanför den måste en pil läggas till. För tryckta böcker skrivs vektorsymboler med versaler i fetstil, till exempel F. För vektorns magnitud, om vi använder handstil , skrivs vektorns magnitud, till exempel |F|. För tryckta böcker skrivs vektorns magnitud i kursiv stil, till exempel F.

2. Addition av vektorer – grafiska metoder

Det finns flera sätt att addera vektorer grafiskt, inklusive svans-till-topp-metoden och parallellogrammetoden.

a. Svans-till-topp-metoden för att addera vektorer

Vektorerna A och B är kända. Vektor A = 3 cm sammanfaller med x-axeln (mot öster). Vektor B = 2 cm bildar en vinkel på 30 ^° med x-axeln (mot nordost). Addera A och B grafiskt med hjälp av svans-till-topp-metoden. a) R = A + B b) R = A – B

Storleken på den resulterande vektorn (R) mäts med en linjal. Riktningen på den resulterande vektorn mäts med en gradskiva.

Kända vektorer A, B och C. Vektor A = 3 cm sammanfaller med x-axeln (mot öster). Vektor B = 2 cm bildar en vinkel på 30 ^° med x-axeln (mot nordost). Vektor C = 1 cm bildar en vinkel på 60 ^° med x-axeln (mot nordost). Addera A, B och C grafiskt med hjälp av svans-till-topp-metoden.

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

Den resulterande vektorn (R) mäts med en linjal. Riktningen på den resulterande vektorn mäts med en gradskiva.

b. Parallellogrammetoden

Kända vektorer A, B och C. Vektor A = 3 cm sammanfaller med x-axeln (mot öster). Vektor B = 2 cm bildar en vinkel på 30 ^° med x-axeln (mot nordost). Vektor C = 1 cm bildar en vinkel på 60 ^° med x-axeln (mot nordost). Addera A, B och C grafiskt med hjälp av ett parallellogram.

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

Den resulterande vektorn (R) mäts med en linjal. Riktningen på den resulterande vektorn mäts med en gradskiva.

3. Addition av vektorer – aanalytisk metod

Att bestämma storleken och riktningen för den resulterande vektorn med den grafiska metoden är ett tillvägagångssätt. Resultatens noggrannhet beror på din noggrannhet och noggrannhet i att rita och avläsa skalan. Storleken och riktningen för den resulterande vektorn erhålls mer exakt genom matematiska beräkningar.

a. Beräkning av summan av 2 vektorer med hjälp av cosinusregeln

Formeln för att bestämma storleken på den resulterande vektorn:

Formeln för att bestämma riktningen för den resulterande vektorn:

C = resulterande vektor

A = vektor 1

B = vektor 2

cos ∠(A, B) = vinkeln som bildas av vektorerna A och B

Exempelproblem 1:

F1 = 2N bildar en vinkel på 30° kring x-axeln, F2 _{= 3N} bildar en vinkel på 60 ^° kring x-axeln, θ = 30 ^°.

Exempelproblem 2:

F1 ₌ 2N sammanfaller med x-axeln, F2 ₌ 3N bildar en vinkel på 90 ^° kring x-axeln, θ = 90 ^°.

b. Addera vektorer efter komponenter

Granska en vektor F som bildar en viss vinkel kring x-axeln, som visas i figuren nedan. Fx _och Fy _är komponentvektorer av vektor F.

Storleken på komponentvektorn bestäms med hjälp av formeln:

Fx ₌ Fcosθ

F _y = F sin θ

Granska de två vektorerna F₁ och F₂ vilket bildar en viss vinkel kring x-axeln, som visas i figuren nedan. F_1x och F_1y är komponenter i vektorn F₁, Så f_2x och F_2y är komponenter i vektorn F₂.

Komponentvektorn bestäms med hjälp av formeln:

F_1x =F₁ cos θ

F1y = _{F1 sin} θ

F²x = _F² cos _θ

F1y = _{F1 sin} θ

Addera komponentvektorerna:

Fx = _F1x + _F2x​

F _y = F _{1 y} + F _{2 y}

Den resulterande vektorn bestäms med hjälp av formeln:

Riktningen för den resulterande vektorn bestäms med hjälp av formeln:

Exempelproblem 1:

Bestäm komponenterna i vektorn F vars magnitud är 20 N och bildar en vinkel på 30 ^° kring x-axeln.

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

Exempelproblem 2:

F1 = 20 N bildar en vinkel på 30 ^° kring x-axeln och F2 ₌ 15 N bildar en vinkel på 180° kring x-axeln. Bestäm storleken och riktningen för den resulterande vektorn_.

F1x ₌ (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F2x = F1 ₌ – 15 _N

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F²y = ₀

Addera komponentvektorerna:

Fx ₌ F1x _– F2x = _17N – 15N = 2N

F _y = 10 N

Den resulterande vektorn:

F² ₌ Fx² + _Fy² = 2² ⁺ 10² ^{= 4} + 100 ₌ ¹⁰⁴

F = 10.2N

Riktning för den resulterande vektorn:

θ = tan −15 = 78.7 ^o kring x-axeln

Exempelproblem 3:

F₁, F_2, och F₃ är 20 N, 30 N och 40 N. F₁ bildar en vinkel på 60^o kring x-axeln, F₂ bildar en vinkel på 150^o kring x-axeln, och F₃ bildar en vinkel på 315^o kring x-axeln. Bestäm storleken och riktningen på den resulterande vektorn.

F1x = ( ₂₀ N)(cos 60 ^o ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F²x = ( ₃₀ N)(cos 30 ^o ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F3x ₌ (40 N)(cos 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N) (sin 45 ^o ) = -28 N

Addera komponentvektorn:

Fx ₌ F1x _– F2x + F3x ₌ 10N – 26N + 28N = _12N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

Resulterande vektor:

F² ⁼ Fx² + _Fy² = 12² ⁺ 4² ^{= 144} + 16 ₌ ¹⁶⁰

F = 13N

Riktning för den resulterande vektorn:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^o kring x-axeln