Arkimedes lagmaterial
Har du någonsin sett ett skepp? Om du inte har sett ett personligen har du förhoppningsvis sett ett på tv eller internet. Ett skepp med en mycket stor massa sjunker inte, medan en liten, lätt sten kan. Varför är det så? Svaret är ganska enkelt om du förstår begreppen flytkraft och Arkimedes princip.
I vardagen kommer vi att upptäcka att föremål som placeras i en vätska, såsom en sten, har mindre vikt än när föremålet inte är i vätskan. Du kan ha svårt att lyfta en sten från markytan, men samma sten lyfts lätt från botten av poolen. Detta beror på flytkraften. Flytkraft uppstår på grund av skillnaden i vätsketryck på olika djup. Vätsketrycket ökar med djupet, ju djupare vätskan är, desto större är vätsketrycket. När ett föremål placeras i en vätska kommer det att finnas en skillnad i tryck mellan vätskan ovanför föremålet och vätskan under föremålet. Vätskan som finns längst ner på föremålet har ett högre tryck än vätskan som finns högst upp på föremålet.
Bärighet
På bilden ses ett objekt flyta i vatten. Vätskan under objektet har högre tryck än vätskan ovanför objektet. Detta beror på att vätskan under objektet har ett större djup än vätskan ovanför objektet (h2 > h1).
F2 = kraft som utövas av vätskan på objektets undersida, F1 = kraft som utövas av vätskan på objektets ovansida, A = objektets yta
Skillnaden mellan F2 och F1 är den totala kraft som vätskan utövar på föremålet, vilket vi känner som flytkraften. Storleken på flytkraften är:
F flytkraft = F2 − F1
F flytande = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F flyttal = ρ g A ( h² − h¹ )
F flytkraft = ρ g A h
F flytkraft = ρ g V
Sammanfattning:
ρ = vätskedensitet
g = tyngdacceleration
V = objektets volym i vätskan
så att ekvationen som anger storleken på flytkraften (F-flytkraft) ovan kan skrivas som:
F flyttal = ρ F g V → m = ρ V
F flytkraft = m F g
F flytkraft = w F
m F g = w F = vikten av en vätska som har samma volym som volymen av det nedsänkta föremålet.
Arkimedes princip
Baserat på ekvationen ovan kan vi säga att flytkraften är lika med vikten av den förträngda vätskan, och volymen av den förträngda vätskan är lika med volymen av det föremål som är nedsänkt i vätskan.
Om ett föremål nedsänks i en vätska och flyter, med endast en del av föremålet nedsänkt, så är volymen av den undanträngda vätskan lika med volymen av den del av föremålet som är nedsänkt i vätskan. Oavsett föremålets form eller storlek kommer samma sak att hända med alla. Detta är Arkimedes verk (287-212 f.Kr.), vilket nu är känt som Arkimedes princip.
Archimedes princip säger att:
När ett föremål helt eller delvis nedsänks i en vätska, kommer vätskan att utöva en uppåtriktad kraft (flytkraft) på föremålet, där storleken på den uppåtriktade kraften (flytkraften) är lika med vikten av den förflyttade vätskan.
Arkimedes berättelse
Arkimedes, som levde mellan 287 och 212 f.Kr., fick i uppdrag av kung Hieron II att undersöka om kronan som gjorts åt kungen var gjord av rent guld. Arkimedes var inledningsvis förvirrad över om kronan var gjord av rent guld eller om den innehöll andra metaller. Problemet var att kronan var oregelbunden i formen och inte kunde förstöras för att avgöra om den var rent guld.
Tanken bakom att avgöra om en kungakrona är gjord av rent guld är att först bestämma kronans specifika vikt och sedan jämföra den med guldets specifika vikt. Om kronan är gjord av rent guld, så är kronans specifika vikt = guldets specifika vikt.
Den specifika vikten för ett objekt är förhållandet mellan objektets vikt i luft och vikten av vatten med samma volym som objektet. Matematiskt skrivs det:
Hur bestämmer man vikten av vatten som har samma volym som ett föremåls volym?
Enligt Arkimedes är vikten av vatten med samma volym som föremålets volym = storleken på den flytande kraften när föremålet sjunker (hela föremålet sänks ned i vatten). Detta är samma sak som föremålets vikt som förloras när det vägs i vatten. Således:
För att bestämma kronans specifika vikt vägs den först i luft (Kronans vikt i luft). Därefter placeras kronan i vatten och vägs sedan igen för att få vikten av den förlorade kronan. Så:
När kronans specifika vikt har beräknats jämförs den med guldets specifika vikt. Guldets specifika vikt är 19,3. Om kronans specifika vikt är lika med guldets specifika vikt, är kronan gjord av rent guld. Men om kronan inte är gjord av rent guld, kommer kronans specifika vikt inte att vara densamma som guldets specifika vikt.
Varför sjunker inte fartyg?
Om ett föremåls densitet är mindre än vattnets densitet, kommer föremålet att flyta. Omvänt, om ett föremåls densitet är större än vattnets densitet, kommer föremålet att sjunka. De flesta fartyg är gjorda av järn och stål. Densiteten för järn och stål = 7,8 x 10³ kg /m³ medan vattnets densitet = 1,00 x 10³ kg /m³ . Det verkar som att densiteten för järn och stål är större än vattnets densitet. I detta fall är den specifika vikten för järn och stål = 7,8. Fartyg gjorda av järn och stål borde sjunka. Varför sjunker inte fartyg? Fartygets totala densitet är mindre än densiteten för vatten eller havsvatten.
Exempelfrågor om Arkimedes lag
Exempelfråga 1:
En sten på 40 kg ligger på botten av en pool. Om stenens volym = 0,2 m³ , vad är den minsta kraft som krävs för att lyfta stenen?
Diskussion
Det är känt att:
Stenens massa (m) = 40 kg
Stenvolym (V) = 0,02 m³
Vattnets densitet = 1000 kg/ m³
Tyngdacceleration (g) = 10 m/ s²
Frågade: F minimum
Jawab:
F flytkraft = w F
F flytkraft = m F g → m = pV
F flytkraft = ρ F g V
F flytkraft = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
F flytkraft = 200 kg m/ s²
F flytkraft = 200 N
Stenens vikt (w) = mg
Stenens vikt = (40 kg) (10 m/ s² )
Stenens vikt = 400 kg m/ s²
Stenens vikt = 400 N
Minsta kraft som krävs för att lyfta en sten:
Stenens vikt – Flytkraft = 400 N – 200 N = 200 Newton.
Exempelfråga 2:
Ett föremåls vikt i luft = 5000 kg m/s² och föremålets vikt i vatten = 4000 kg m/s² . Om föremålets densitet = 2000 kg/m³ , vad är föremålets massa och volym? g = 10 m/ s²
Diskussion
Tyngdacceleration (g) = 10 m/ s²
Objektets densitet = 2000 kg/ m³
Vattnets densitet = 1000 kg/ m³
Objektets vikt i luft = 5000 kg m/ s²
Objektets vikt i vatten = 4000 kg m/ s²
Flytkraft (F buoyant) = Objektets vikt i luft – Objektets vikt i vatten
F flytkraft = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F flytkraft = 1000 kg m/ s²
F flytkraft = Vikt av förträngt vatten
F flytkraft = (vattenmassa)(g)
F flytkraft = (volym av förträngt vatten)(vattendensitet)(g)
Volym av fördrivet vatten = Volym av föremål nedsänkt i vatten 😉
Så objektets volym = 0,1 m³
Objektets massa = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = ( 2000 kg / m 3 )( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Objektets massa = 200 kg
Exempelfråga 3:
Vilken volym helium behövs om en ballong ska lyfta en last på 500 kg?
Diskussion
Heliumdensitet = 0,1786 kg/ m³
Luftdensitet = 1,293 kg/ m³
Flytkraft = Vikt av förflyttad luft = Lastens vikt + Heliumets vikt
Bärkraft = Lastens vikt + heliumets vikt
Flytkraft = (lastens massa)(g) + (heliummassa)(g)
Flytkraft = (lastens massa + heliummassa) g —- ekvation 1
Flytkraft = Vikt av förträngd luft
Flytkraft = (massa av fördriven luft)(g) —- ekvation 2
Vi kombinerar ekvation 1 och ekvation 2:
(lastens massa + heliumets massa)(g) = (massan av undanträngd luft)(g)
Lastens massa + heliummassa = förflyttad luftmassa
500 kg + (ρ helium)(V helium) = (ρ luft)(V luft)
500 kg = (ρ luft)(V luft) – (ρ helium)(V helium)
Volym av undanträngd luft (V luft) = Volym av helium som fyller ballongen (V helium)
500 kg = (ρ luft – ρ helium)(V)
Detta är den minsta volym helium som krävs för att lyfta en vikt vid jordytan. För att ballongen ska kunna sväva högre måste heliumvolymen ökas. Detta beror på att luftdensiteten minskar med höjden.
