Mohlala oa Lipotso tsa Puisano tse Kopanetsoeng
Integral ke mohopolo oa motheo oa lipalo o nang le lits'ebetso tse pharaletseng mafapheng a fapaneng, ho kenyeletsoa fisiks, boenjiniere le moruo. Sengoloa sena se tla hlahloba mehlala e fapaneng ea mathata a kopaneng le litharollo tsa ona ho fana ka kutloisiso e tebileng.
1. Kutloisiso ea Motheo ea Li-Integrals
Ka mantsoe a bonolo, karolo e kopaneng ke ts'ebetso e fapaneng ea ntho e tsoang ho eona. Ho na le mefuta e 'meli ea likarolo tse kopaneng tse atisang ho tšohloa, e leng:
– E sa Feleng: ena ke sebopeho sa entegral se se nang meeli e ka hodimo le e ka tlase mme se bontshwa ke ∫ f(x) dx.
– Definite Integral: ena ke foromo ya bohlokwa e nang le meedi e hodimo le e tlase mme e bontshwa ke ∫[a,b] f(x) dx.
Hangata motsoako o sa lekanyetsoang o bitsoa anti-derivative, 'me sephetho se tla kenyelletsa C e sa fetoheng ka lebaka la thepa ea derivative e sa fetoheng e leng lefela.
2. Mehlala ea Mathata a Kopaneng a sa Feleng
Mohlala oa 1: Sesebelisoa se bonolo se sa feleng
Bala ∫ x^2 dx.
Puisano:
Rea tseba hore molao oa motheo oa kopanyo bakeng sa ∫ x^n dx ke (x^(n+1))/(n+1) + C, moo C e leng kamehla ea kopanyo.
Bakeng sa karolo e ka holimo, n = 2:
∫ x^2 dx = (x^(2+1))/(2+1) + C
= (x^3)/3 + C.
Kahoo, sephetho sa ∫ x^2 dx ke (x^3)/3 + C.
Mohlala oa 2: Mesebetsi e Kopanetsoeng ea Exponential
Bala ∫ e^x dx.
Puisano:
Molao oa motheo oa exponential integral ∫ e^x dx ke e^x + C.
Kahoo, sephetho sa ∫ e^x dx ke e^x + C.
3. Mehlala ea Mathata a Kopaneng a Tiileng
Mohlala oa 1: Sesebelisoa se Ikhethang se Bonolo
Bala ∫[1,3] x^2 dx.
Puisano:
Sa pele, re fumana anti-derivative ea x^2, e leng (x^3)/3.
Jwale re nkela dithibelo sebaka:
∫[1,3] x^2 dx = [(3^3)/3 – (1^3)/3]
= [27/3 – 1/3]
= [9 – 1/3]
= 8 + 2/3 kapa 8.6667.
Kahoo, sephetho sa ∫[1,3] x^2 dx ke 26/3 kapa 8.6667.
Mohlala oa 2: E kopantsoe ka ho nkeloa sebaka
Bala ∫[0,2] (2x + 1) dx.
Puisano:
Taba ea pele, re fumana antiderivative ea 2x + 1, e leng x^2 + x. Joale re nkela lithibelo sebaka:
∫[0,2] (2x+1) dx = [(2^2 + 2) – (0^2 + 0)]
= [(4 + 2) – 0]
= 6.
Kahoo, sephetho sa ∫[0,2] (2x + 1) dx ke 6.
4. Mohlala oa Mathata a Kopanetsoeng ka Mokhoa o sa Feleng
Karolo e kopaneng ke mokhoa o sebediswang ha karolo e kopaneng ya sehlahiswa sa mesebetsi e mmedi e le thata ho e bala ka ho toba. Foromo ya karolo e kopaneng ke:
∫ u dv = uv – ∫ v du
Mohlala: Metswako e sa fellang ya Trigonometric
Bala ∫ xe^x dx.
Puisano:
Mona re sebelisa mokhoa o sa fellang. A re re u = x le dv = e^x dx. Ebe du = dx le v = e^x.
Ho ipapisitsoe le foromo ea karolo e kopaneng:
∫ xe^x dx = xe^x – ∫ e^x dx
= xe^x – e^x + C
= e^x(x – 1) + C.
Kahoo, sephetho sa ∫ xe^x dx ke e^x(x – 1) + C.
5. Mehlala ea Mathata a Kopaneng a Trigonometric
Mohlala: Mesebetsi e Kopanetsoeng ea Motheo ea Trigonometric
Bala ∫ cos(x) dx.
Puisano:
Molao oa motheo oa ho kopanya cos(x) ke sin(x) + C.
Kahoo, sephetho sa ∫ cos(x) dx ke sin(x) + C.
Mohlala: Mesebetsi e Kopanetsoeng ea Trigonometric e nang le Meeli
Bala ∫[0,π/2] sin(x) dx.
Puisano:
Sa pele, re fumana anti-derivative ea sin(x), e leng -cos(x).
Jwale, nka sebaka sa dithibelo:
∫[0,π/2] sebe(x) dx = [ -cos(π/2) – (-cos(0)) ]
= [ -0 – (-1) ]
= 1.
Kahoo, sephetho sa ∫[0,π/2] sin(x) dx ke 1.
6. Mehlala ea Mathata a Kopaneng a Phetolo
Mohlala: Phetolo e Kopanetsoeng
Bala ∫ 2x sqrt(1-x^2) dx.
Puisano:
Sebelisa phetolo u = 1-x^2, ebe du = -2x dx.
Ebe phetoho ea bohlokoa e fetoha ho:
∫ sqrt(u) (-1/2 du)
= -1/2 ∫ u^(1/2) du
= -1/2 [(2/3) u^(3/2) ] + C
= -1/3 (1-x^2)^(3/2) + C.
Kahoo, sephetho sa ∫ 2x sqrt(1-x^2) dx ke -1/3 (1-x^2)^(3/2) + C.
7. Kesimpulan
Li-integral ke sesebelisoa se thusang haholo lipalo bakeng sa ho fumana sebaka se tlas'a mothapo, bophahamo ba modumo, le lits'ebetso tse ling tse ngata. Ho utloisisa mekhoa e fapaneng ea ho kopanya, joalo ka ho nkela sebaka sebaka, likaroloana, le metheo ea li-integral, ho bohlokoa. Mehlala e tšohliloeng kaholimo e tla thusa ho matlafatsa kutloisiso ea hau ea mohopolo oa li-integral.
Ho ikoetlisa kamehla le kutloisiso ea mohopolo ke senotlolo sa ho ba le tsebo ea ho kopanya lintho tse kopaneng. Tsoela pele ho ikoetlisa ka mefuta e fapaneng ea lintho tse fapaneng le mefuta e fapaneng ea ts'ebetso ho atolosa tsebo ea hau sebakeng sena.
Ke tšepa hore sehlooho sena se tla u thusa ho ithuta lintho tse kopaneng.
