Кретање пројектила

Чланак о кретању пројектила и примери задатака са решењима

Почетна брзина (v_o) и компоненте почетне брзине (v_ox и в_oy)

Објекат чија параболична кретања увек имају почетну брзину. Пошто је параболично кретање комбинација кретања у хоризонталном и вертикалном правцу, почетна брзина такође има хоризонталну и вертикалну компоненту.

Ако се објекат креће параболично као на сликама 1 и 3, онда се почетна брзина у хоризонталном правцу (v _ox ) и почетна брзина у вертикалном правцу (v _oy ) израчунавају помоћу једначине:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Ако се објекат креће параболично као на слици 2, онда је v _o = v _ox (v _oy = 0)

Брзина (v_x и в_y) и позиција (x и y)

Брзина у хоризонталном и вертикалном правцу у одређеном временском интервалу израчунава се помоћу једначине:

v _x = v _ox = константа ( равномерно линеарно кретање )

v _y = v _oy + gt или v _y ² = v _oy ² + 2 gh (кретање слободним падом)

Положај објеката у хоризонталном (x) и вертикалном (y) правцу у одређеном временском интервалу израчунава се помоћу једначине:

x = v _ох т

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Резултанта брзине (v) и положаја (h)

Резултујућа брзина у одређеном временском интервалу израчунава се помоћу једначине:

Правац објеката у одређеном временском интервалу израчунава се помоћу једначине:

Напомене:

1. Хоризонтална компонента параболичног кретања се сматра равномерно линеарним кретањем, тако да је vox = vx увек константно

2. Вертикална компонента параболичног кретања се посматра као кретање слободног пада, тако да ако се објекат креће параболично, као што је приказано на сликама 1 и 3, вертикална компонента брзине објекта на максималној висини је нула (v _y = 0). Ако баците кликер усправно нагоре на максималној висини, објекат мирује тренутак (v _y = 0) пре него што се окрене надоле. Стога је брзина објекта који се креће параболично на максималној висини = v _x = v _ox

3. Ако се објекат креће параболично као што је приказано на слици 2, вертикална компонента параболичног кретања се посматра као кретање слободног пада. Ако се објекат креће параболично као на сликама 1 и 3, онда се вертикална компонента параболичног кретања посматра као вертикално кретање нагоре.

Примери проблема:

1. Метак је испаљен у хоризонталном правцу са почетном брзином од 20 m/s. Ако је пиштољ 5 метара изнад тла, одредите:

(а) време у ваздуху

(б) максимална висина

(ц) хоризонтална удаљеност

(д) брзина метка када удари у земљу

Решење:

Кретање у хоризонталном смеру се анализира као равномерно линеарно кретање, док се кретање у вертикалном смеру анализира као кретање слободног пада.

Познато:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

а) Време у ваздуху

Решење је као одређивање временског интервала (t) у кретању слободног пада.

Познато: v = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m _/ ^s²

Тражи се: т

б) Максимална висина

Максимална висина = h = 5 метара.

ц) Хоризонтално растојање (д)

Решење је као одређивање растојања при равномерном линеарном кретању

Познато: v _ox = 20 m/s, t = 1 секунда

Тражи се: д

d = vt

d = (20 м/с)(1 с) = 20 м

д) Брзина када метак удари у земљу

vtx = _vox = 20 m/ _s

v _ty = ?

Прво, израчунавамо коначну брзину у вертикалном правцу (vty). Решење је као одређивање коначне брзине кретања слободног пада.

Познато: v = 0, g = 9.8 m/s² _, ^t = 1 s

Тражи се: веома _добро

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt ₌ 9.8 m/s

Брзина метка када падне на земљу:

Правац метка:

Пошто је v _tx у правцу позитивне x-осе (десно) и v _ty у правцу негативне y-осе (надоле),

правац метка када удари у тло је -26.1 ^° у односу на позитивну x-осу (видети слику испод).

2. Топ је испалио метак под углом од 30 ^° у односу на хоризонталу брзином од 60 m/s. Одредити:

(а) максимална висина

(б) брзина метка на максималној висини

(ц) време у ваздуху

(d) хоризонтална удаљеност

(е) брзина метка када удари у земљу. Претпоставимо да је земља равна. 🙂

Решење:

Кретање у хоризонталном смеру се анализира као равномерно линеарно кретање, кретање у вертикалном смеру се анализира као вертикално кретање нагоре.

Познато: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

На основу познатих података, прво израчунавамо вертикалну (v _oy ) и хоризонталну (v _ox ) компоненту почетне брзине (v _o ).

а) Максимална висина (h)

Решење је као одређивање максималне висине при вертикалном кретању нагоре.

Познато:

в _ок = в _о цос θ = (60)(цос 30) = (60)(0.87) = 52 м/с

в _ои = в _о син θ = (60)(син 30) = (60)(0.5) = 30 м/с

а) Максимална висина (х)

Решење је као одређивање максималне висине при вертикалном кретању нагоре.

Познато:

v _oy = 30 m/s (ово је почетна брзина метка)

v _ty = 0 m/s (На максималној висини, вертикална брзина метка = 0 m/s. Ово је коначна брзина.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Тражи се: х

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 сати

900 = 19.6 сати

х = 900 / 19.6

h = 45.9 метара

Максимална висина коју је метак постигао = 45.9 метара.

б) Брзина на максималној висини

На максималној висини, брзина у вертикалном правцу = 0 m/s. На максималној висини, постоји једина брзина у хоризонталном правцу. Брзина у хоризонталном правцу на максималној висини једнака је почетној брзини у хоризонталном правцу, која износи 52.2 m/s. Правац брзине у хоризонталном правцу је увек константан, односно у правцу позитивне x-осе (ако је кретање објекта описано на горњем дијаграму).

ц) Време у ваздуху

Решење је као одређивање временског интервала (t) у дискусији о вертикалном кретању навише.

Познато:

v _oy = 30 m/s (ово је почетна брзина метка у вертикалном правцу)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (када се метак врати на земљу, померање метка у вертикалном правцу = 0 m)

Тражи се: т

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 т

т = 30 / 4.9

t = 6.12 секунде

Време у ваздуху = 6.12 секунди

г) Хоризонтално растојање (д)

Решење је као одређивање растојања (d) на равномерном линеарном кретању.

Познато:

v- _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 секунде

Тражи се: д

d = vt = (52.2 м/с)(6.12 секунди) = 319.5 м

е) Брзина када метак удари у земљу

vtx = _vox = 52.2 m/ _s

v _ty = ?

Прво, израчунавамо коначну брзину у вертикалном правцу (v _ty ). Решење је одређивање коначне брзине при вертикалном кретању навише.

Жељено: _v = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 секунди

Тражи се: веома _добро

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Негативан знак означава да је смер коначне брзине надоле. Треба напоменути да је почетна брзина у вертикалном смеру једнака коначној брзини у вертикалном смеру.

Брзина метка када удари у земљу:

Правац метка:

Пошто је v _tx у правцу позитивне x-осе (десно), а vty у правцу негативне y-осе (надоле),

смер брзине метка када удари у тло је -30 ^° у односу на позитивну x-осу (видети слику испод).

3. Лопта је бачена са ивице зграде високе 50 метара почетном брзином од 10 m/s. Ако је лопта бачена под углом од 30° у односу на хоризонталу, одредите:

(а) временски интервал у којем лопта падне на тло

(б) брзина лопте када удари о тло

(ц) хоризонтална удаљеност коју лопта може досегнути мери се од ивице зграде

(d) максимална висина коју лопта достигне

Решење:

Прво, израчунавамо вертикалну компоненту (v _oy ) и хоризонталну компоненту (v _ox ) почетне брзине (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

а) Временски интервал у којем лопта падне на тло

Решење је као одређивање временског интервала (t) при вертикалном кретању нагоре. Величина вектора чији је смер нагоре изабрана је да буде позитивна, величина вектора чији је смер надоле изабрана је да буде негативна. Положај лопте у коју је бачена изабрана је као референтна тачка. h је негативно јер је површина тла испод референтне тачке, g је негативно јер је смер убрзања гравитације надоле.

Познато:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Тражи се: т

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 т – 4.9 т ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Користите квадратну формулу:

Време у ваздуху = временски интервал од тренутка када је лопта бачена до пада на тло = 1.64 секунде.

б) Брзина лопте када удари о површину земље

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Прво, израчунавамо коначну брзину у вертикалном правцу (v _ty ). Решење је као одређивање коначне брзине при вертикалном кретању навише.

Познато: v = 5 m/s, g = -9.8 m/s² _, ^t = 1.64 секунде

Тражи се: веома _добро

v _ty = v _oy + gt

v _ти = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Негативни знак означава да је смер коначне брзине надоле.

Брзина метка када удари у земљу:

Смер брзине метка = смер кретања метка када удари у земљу:

Брзина метка када удари у земљу:

Пошто је vtx у правцу позитивне x-осе (десно), а vty у правцу негативне y-осе (надоле),

правац метка када удари у тло је -52° у односу на позитивну x-осу (видети слику испод).

ц) Хоризонтална удаљеност коју лопта може да достигне мери се од ивице зграде

Решење је као одређивање пређене удаљености (d) при равномерном линеарном кретању.

Познато: t = 1.64 секунде, v _x = 8.7 м/с

Тражи се: д

d = vt = (8.7 м/с)(1.64 с) = 14.3 м

д) Максимална висина коју је лопта достигла

Познато: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( вертикална компонента брзине на максималној висини = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s2.

Тражи се: х

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 м/с = (5 м/с) ^² + 2(-9.8 м/с² ⁾ (х)

0 м/с = 25 (м/с) ^² + (-19.6 м/с² ⁾ (х)

25 (м/с) ^² = -19.6 м/с² (ч)

h = 25 (м/с) ^² : -19.6 м/с² ⁼ 1.3 метра

Максимална висина коју лопта достиже = 1.3 метра изнад врха зграде = 1.3 м + 50 м = 51.3 метра изнад површине тла.