Момент импулса

Момент импулса

Количина ротационог кретања, која је идентична маси (m) код линеарног кретања, је момент инерције (I). Количина ротационог кретања, која је идентична брзини (v) код линеарног кретања, је угаона брзина (ω). Дакле, ротирајући објекат има угаони момент који се може израчунати помоћу једначине:

L = Iω

L = угаони момент (kg m² ^/ s), I = момент инерције (kg m² ⁾ , ω = угаона брзина (rad/s)

Примери проблема угаоног момента

Пример проблема 1.

Честица масе 0.5 грама креће се по кругу константном угаоном брзином од 2 рад/с. Одредити угаони момент честице ако је полупречник путање честице 10 цм.

Решење:

Момент инерције честице:

I = mr² ⁼ (0.5 x 10⁻³ ^кг )(1 x 10⁻¹ ^м ) ^² = (0.5 x ^10⁻³ кг)(1 x ^10⁻² м² ⁾ = 0.5 x ^10⁻⁶ кг ^м²

Угаона брзина честице:

ω = 2 рад/с

Угаони момент честице:

L = (0.5 x 10⁻⁶ ^кг м² ⁾ (2 рад/с) = 1 x 10⁻⁶ ^кг м² ^/ с

Закон очувања угаоног момента

Закон очувања угаоног момента каже да ако је резултујући момент силе на круто тело при ротацији једнак нули, онда је угаони момент крутог тела при ротацији увек константан. Закон очувања угаоног момента може се математички извести модификовањем једначине Њутновог другог закона угаоног момента. Ево једначине Њутновог другог закона о угаоном моменту:

Ако је резултујући момент силе једнак нули, онда се горња једначина мења у:

I _t = коначни момент инерције, I _o = почетни момент инерције, ω _t = коначна угаона брзина, ω _o = почетна угаона брзина, L _t = коначни угаони момент, L _o = почетни угаони момент.

Примери проблема закона о одржању угаоног момента

Пример проблема 1.

Хомогени чврсти цилиндрични диск се у почетку окреће око своје осе брзином од 4 рад/с. Маса и полупречник диска су 1 кг и 0.5 м. Ако се изнад плоче постави прстен који има масу и полупречник од 0.2 кг и 0.1 м, а центар прстена је...

одмах изнад центра диска, диск и прстен ће се ротирати заједно са угаоном брзином од…..

Решење:

Момент инерције чврстог цилиндра: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m²) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Момент инерције прстена: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Почетни угаони момент (L1 ₎ = Коначни угаони момент ( _L2 )

I1ω1 = _I2ω2​​_​​_​

(0.125 кг м² ⁾ (4 рад/с) = (0.125 кг м² ⁺ 0.002 кг м² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ рад/с

Концептуална питања и одговори

1. Шта је угаони момент?
   Одговор: Угаони момент је мера количине ротације објекта, узимајући у обзир његову масу и облик. То је ротациони аналог линеарног момента.
2. Како се математички одређује угаони момент?
   Одговор: Угаони момент (L) је дефинисан као $L=r\times p$, Где $r$ је вектор положаја од осе ротације до тачке примене, и $p$ је линеарни моментум.
3. Да ли је угаони момент скаларна или векторска величина?
   Одговор: Угаони момент је векторска величина.
4. Која је јединица за угаони момент у СИ систему?
   Одговор: Јединица за угаони момент у СИ систему је килограм-метар на квадрат у секунди (kg·m²/ с).
5. Како се очува угаони момент?
   Одговор: У затвореном систему без спољашњих обртних момената, укупни угаони момент остаје константан.
6. Који је принцип очувања угаоног момента?
   Одговор: Принцип каже да укупни угаони момент затвореног система остаје константан осим ако на њега не делује спољашњи обртни момент.
7. Како се окретање уметничког клизача односи на угаони момент?
   Одговор: Када уметнички клизач приближи руке и ноге телу током окрета, смањује свој момент инерције, што доводи до бржег окретања. Ово показује закон очувања угаоног момента.
8. Каква је веза између обртног момента и угаоног момента?
   Одговор: Обртни момент ($\tau$) је брзина промене угаоног момента. Математички, τ=dл/сек​.
9. Да ли је могуће да објекат има угаони момент без угаоне брзине?
   Одговор: Не, ако објекат има угаони момент, онда има и угаону брзину. Величина и смер угаоног момента зависе и од момента инерције и од угаоне брзине.
10. Како момент инерције утиче на угаони момент?
    Одговор: Угаони момент (L) је производ момента инерције (I) и угаоне брзине (ω). САД $L=I\omega$, повећање момента инерције за дату угаону брзину повећаће угаони момент.
11. Која је разлика између спинског и орбиталног угаоног момента у квантној механици?
    Одговор: Спински угаони момент је суштинско својство честица, попут електрона, и не настаје кретањем у простору. Орбитални угаони момент, с друге стране, настаје кретањем честице око централне тачке.
12. Какву улогу игра угаони момент у формирању планетарних система?
    Одговор: Како се молекуларни облак урушава и формира звезде и планете, очување угаоног момента узрокује да се материјал спљошти у диск око новорођене звезде, из којег се могу формирати планете.
13. Како жироскоп одржава своју оријентацију у простору?
    Одговор: Ротирајући жироскоп има угаони момент. Када спољашњи обртни момент покуша да промени његову оријентацију, жироскоп се прецесира, односно мења своју осу ротације, у смеру нормалном на примењени обртни момент због очувања угаоног момента.
14. Шта узрокује прецесију у чигри?
    Одговор: Прецесија код чигре је узрокована обртним моментом услед гравитације који делује на центар масе чигре, који је померен у односу на њену тачку вешања. Овај обртни момент доводи до промене правца угаоног момента чигре, што узрокује њену прецесију.
15. Зашто се звезде спљоштавају на својим половима?
    Одговор: Како се звезде окрећу, оне доживљавају центрифугалну силу која гура материју ка споља. Овај ефекат је јачи на екватору него на половима, што доводи до спљоштеног облика.
16. Како је угаони момент повезан са другим Кеплеровим законом?
    Одговор: Кеплеров други закон каже да дуж која спаја планету и Сунце покрива једнаке површине током једнаких временских интервала. То је последица закона очувања угаоног момента.
17. Зашто мачка увек доскочи на ноге када падне?
    Одговор: Мачке користе закон очувања угаоног момента. Увијањем тела и променом момената инерције у ваздуху, могу се преоријентисати да би слетеле на ноге без кршења закона очувања.
18. Како је магнетни момент повезан са угаоним моментом у електронима?
    Одговор: Магнетни момент електрона настаје из његовог спинског и орбиталног угаоног момента. Магнетни момент је пропорционалан угаоном моменту електрона.
19. Шта је угаони момент у смислу поларних координата?
    Одговор: У поларним координатама, угаони момент $L$ за тачкасту масу може се изразити као $L=mrv$, Где $m$ је маса, $r$ је радијална удаљеност, и $v$ је тангенцијална брзина.
20. Шта се дешава са угаоним моментом затвореног система када се два објекта сударају?
    Одговор: У затвореном систему где се два објекта сударају, укупни угаони момент пре судара једнак је укупном угаоном моменту после судара, под претпоставком да на систем не делују спољашњи моменти.

Проблеми и решења

1. Задатак: Тачка масе m = 2 kg креће се брзином v = 3 m/s у кругу полупречника r = 4 m. Израчунајте њен угаони момент око центра круга.

Решење: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg· ^m² /s

2. Задатак: Чврста сфера масе 3 kg и полупречника 0.5 m ротира око свог пречника угаоном брзином ω = 2 rad/s. Колики је њен угаони момент?

Решење: ^За чврсту сферу, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

Л=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 кг.м ² /с

3. Задатак: Тачка масе 3 кг креће се брзином од 4 м/с праволинијски. Колики је њен угаони момент око тачке удаљене 5 м од њене линије кретања?

Решење:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg· ^m² /s

4. Задатак: Диск масе 5 kg и полупречника 3 m ротира угаоном брзином од 2 rad/s. Израчунајте његов угаони момент.

^Решење : За диск, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$

Л=1/2×5×3 ² ×2=45 кг.м ² /с

5. Задатак: Штап дужине 4 m и масе 2 kg ротира око једног краја угаоном брзином од 3 rad/s. Израчунати његов угаони момент.

Решење: За штап око једног краја, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

Л=1/3×2×4 ² ×3=96 кг.м ² /с

6. Проблем: Колика је промена угаоног момента ако тело које се окреће удвостручи своју угаону брзину?

Решење: Однос између угаоног момента (L) и угаоне брзине (ω) је $L=I\times \omega$ . Ако се ω удвостручи, угаони момент ће се такође удвостручити.

7. Проблем: Ако се полупречник кружне путање честице која се креће удвостручи уз константну брзину, за који фактор се мења угаони момент?

Решење: Угаони момент, $L=m\times r\times v$ . Ако се r удвостручи, L ће се такође удвостручити.

8. Задатак: Дете масе 30 kg стоји на ивици вртешке која мирује. Полупречник вртешке је 2 m. Ако дете почне да трчи брзином од 2m/s у односу на тло дуж ивице, израчунати угаони момент детета у односу на центар.

Решење: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg· ^m² /s

9. Задатак: Цилиндар масе 6 kg и полупречника 2 m ротира око своје централне осе угаоном брзином од 5 rad/s. Израчунајте његов угаони момент.

^Решење : За цилиндар, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2² ^× 5=120 kg·m² ^/ s

10. Проблем: Колики ће бити нови угаони момент тела ако се његов момент инерције преполови, а угаона брзина утростручи?

Решење: Дато је $L=I\times \omega$ , ако се $I$ преполови, а $\omega$ утростручи, ново $L$ ће бити 1/2×3=1.5 × оригинално.

11. Задатак: Обруч масе 2 кг и полупречника 1 м ротира угаоном брзином од 4 рад/с. Израчунајте његов угаони момент.

Решење: За обруч, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg ^·m² /s

12. Задатак: Вентилатор има лопатице дужине 0.5 м и укупну масу 1 кг. Ако се окреће угаоном брзином од 10 рад/с, одредите његов угаони момент.

Решење: Под претпоставком да су лопатице вентилатора попут шипки које се окрећу око једног краја, I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5² ^× 10=0.833 kg·m² ^/ s

13. Задатак: Израчунати угаони момент Земље око сопствене осе услед њене ротације. Дато је: Маса Земље ⁼ 5.972 × 10²⁴ ^kg , полупречник $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁶rad\text{/s}$.

Решење: Под претпоставком да ^је Земља чврста сфера, I = 2/5 ​m r²

$Л=И\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

Л ≈ 7.07 × 1 0 ³³ кг.м ² / с

14. Проблем: Дете се креће ка центру ротирајуће платформе. Да ли се угаони момент повећава, смањује или остаје исти?

Решење: Угаони момент је очуван. Како се дете креће ка центру, момент инерције се смањује. Да би се очувао угаони момент, угаона брзина се повећава. Дакле, угаони момент остаје исти.

15. Проблем: Ако се кинетичка енергија тела које се ротира удвостручи, за који фактор се мења његов угаони момент?

Решење: Кинетичка енергија K = 1/2 ​I ω ² и угаони момент $L=I\omega$ . Ако се кинетичка енергија удвостручи, а $I$ остане константан, ω ² се удвостручује. То имплицира да се $\omega$ повећава за фактор √ 2 ​.$Дакле,\; L$ се такође повећава за фактор √ 2 ​.

16. Задатак: Точак бицикла полупречника 0.3 м има обод масе 1.5 кг. Ако се окреће угаоном брзином од 5 рад/с, израчунати његов угаони момент.

Решење: Под претпоставком да је обод обруч, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

Л = 1.5 × 0 , 3 2 × 5 = 6.75 кг.м ² / с

17. Проблем: Клизачица повлачи руке ка унутра док се окреће. Шта се дешава са њеним угаоним моментом?

Решење: Угаони момент клизачице је очуван. Привлачењем руку, она смањује свој момент инерције, и самим тим се брже окреће (повећава се угаона брзина) како би сачувала свој угаони момент.

18. Задатак: ^{Замајац} има момент инерције од 0.2 kg.m² ^kg.m² и ротира се угаоном брзином од 10 rad/s. Израчунајте његов угаони момент$\text{.}$

Решење:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg· ^m² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² / s^​

19. Проблем: Систем има нето спољашњи обртни момент нула који делује на њега. Шта можете рећи о његовом угаоном моменту?

Решење: Ако је нето спољашњи обртни момент једнак нули, онда према закону очувања угаоног момента, укупни угаони момент система остаје константан.

20. Задатак: Тачка масе m = 5 kg креће се брзином v = 3 m/s нормално на линију која је спаја са тачком P. Ако је растојање од тачке P 4 m, израчунати њен угаони момент око тачке P.

Решење:

$Л=м\times р\times в$ =5×4×3=60 кг.м ² /с

Л = 5 × 4 × 3 = 60 кг.м ² / с