Parimi dhe Ekuacioni i Bernoulli-t Materiali
Kur ngasim një motoçikletë mjaft shpejt, rrobat që veshim fryhen nga mbrapa. Nëse nuk dini ende të ngisni një motoçikletë, kushtojini vëmendje prindërve ose miqve tuaj që ngasin motoçikleta. Pjesa e pasme e rrobave të tyre zakonisht fryhet nga mbrapa kur motoçikleta po shkon shpejt. Ndonjëherë, kur fryn era e fortë, dera e shtëpisë mund të mbyllet vetë. Edhe pse era fryn jashtë shtëpisë, ndërsa dera është brenda shtëpisë.
Kjo mund të shpjegohet duke përdorur parimin e Bernoulli-t. Daniel Bernoulli (1700–1782) zbuloi një parim që mund të përdoret për të shpjeguar disa nga gjërat e mësipërme.
Parimi i Bernoulli-t
Parimi i Bernoulli-t thotë se aty ku shpejtësia e rrjedhjes së lëngut është e lartë, presioni i lëngut është i ulët. Anasjelltas, nëse shpejtësia e rrjedhjes së lëngut është e ulët, presioni bëhet i lartë. Kur një motoçikletë lëviz shpejt, shpejtësia e ajrit përpara dhe pranë trupit tuaj është e lartë. Kështu, presioni i ajrit bëhet i ulët. Pjesa e pasme e trupit tuaj bllokohet nga pjesa e përparme e trupit tuaj, kështu që shpejtësia e ajrit pas trupit tuaj nuk ndryshon në të lartë (pikërisht pas trupit tuaj). Si rezultat, presioni i ajrit pas trupit tuaj bëhet më i madh. Për shkak se ka një ndryshim në presionin e ajrit, aty ku presioni i ajrit menjëherë pas trupit tuaj është më i madh, ajri e shtyn bluzën tuaj prapa, duke e bërë të duket sikur është e fryrë nga mbrapa.
Po sikur një derë të mbyllet vetë kur jashtë fryn erë e fortë? Ajri jashtë lëviz më shpejt se ajri brenda. Si rezultat, presioni i ajrit jashtë është më i ulët se presioni i ajrit brenda. Për shkak të këtij ndryshimi presioni, aty ku presioni i ajrit brenda është më i lartë, dera shtyhet nga jashtë. Me fjalë të tjera, dera lëviz nga një vend me presion më të lartë ajri në një vend me presion më të ulët ajri.
Ekuacioni i Bernoulli-t
Më parë, mësuam rreth parimit të Bernoullit. Bernoulli e zhvilloi këtë parim edhe në mënyrë sasiore. Për të nxjerrë ekuacionin e Bernoullit, supozojmë rrjedhje të qëndrueshme, laminare të lëngut, pakompresueshmëri dhe viskozitet të ulët, të cilat mund të injorohen.
Në diskutimin e Ekuacionit të Vazhdimësisë, mësuam se shpejtësia e rrjedhjes së lëngut mund të ndryshojë gjithashtu në varësi të sipërfaqes së prerjes tërthore të tubit të rrjedhjes. Bazuar në parimin e Bernoulli-t të shpjeguar më sipër, presioni i lëngut mund të ndryshojë gjithashtu në varësi të shpejtësisë së rrjedhjes së lëngut. Presioni i lëngut mund të ndryshojë gjithashtu në varësi të lartësisë së lëngut. Marrëdhënia midis presionit, shpejtësisë së rrjedhjes dhe lartësisë së rrjedhjes mund të merret nga ekuacioni i Bernoulli-t.
Ekuacioni i Bernoullit është shumë i rëndësishëm sepse mund të përdoret për të analizuar fluturimin e avionëve, hidrocentralet, sistemet e tubacioneve, etj. Për ta bërë ekuacionin e Bernoullit që do të nxjerrim të zbatohet në përgjithësi, do të supozojmë se lëngu rrjedh përmes një tubi rrjedhës me sipërfaqe tërthore të pabarabarta dhe gjithashtu lartësi të ndryshme (shih figurën më poshtë). Për të nxjerrë ekuacionin e Bernoullit, ne zbatojmë teoremën e punës dhe energjisë në lëngun në rajonin e tubit të rrjedhjes. Më pas, do të llogarisim sasinë e lëngut dhe punën e bërë për të lëvizur lëngun.
Ngjyra e errët në tubin e rrjedhjes në imazh tregon rrjedhje lëngu, ndërsa ngjyra e bardhë tregon mungesë lëngu.
Lëngu në sipërfaqen e prerjes tërthore 1 (ana e majtë) rrjedh në një distancë L1 dhe e detyron lëngun në prerjen tërthore 2 (ana e djathtë) të lëvizë një distancë L2 . Meqenëse sipërfaqja e prerjes tërthore 2 në anën e djathtë është më e vogël, shpejtësia e rrjedhjes së lëngut në anën e djathtë të tubit të rrjedhjes është më e madhe (Mbani mend ekuacionin e vazhdimësisë). Kjo shkakton një ndryshim presioni midis prerjes tërthore 2 (ana e djathtë e tubit të rrjedhjes) dhe prerjes tërthore 1 (ana e majtë e tubit të rrjedhjes) - Mbani mend parimin e Bernoulli-t. Lëngu në anën e majtë të prerjes tërthore 1 ushtron një presion P1 mbi lëngun në anën e djathtë dhe kryen punën e:
Atëherë ekuacioni W1 mund të shkruhet si:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Në prerjen tërthore 2 (ana e djathtë e tubit të rrjedhjes), puna e kryer në lëng është:
W2 = − p2A2L2
Shenja negative tregon që forca e aplikuar është e kundërt me drejtimin e lëvizjes. Pra, lëngu ushtron punë në të djathtë të seksionit 2. Përveç kësaj, forca e gravitetit gjithashtu ushtron punë mbi lëngun. Në rastin e mësipërm, një masë e caktuar lëngu lëviz nga seksioni 1 deri në L1 në seksionin 2 deri në L2 , ku vëllimi i lëngut në seksionin 1 (A1L1 ) = vëllimi i lëngut në seksionin 2 (A2L2 ) . Puna e kryer nga graviteti është :
W3 = − mg ( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Shenja negative është për shkak të rrjedhjes së lëngut lart, në drejtim të kundërt me drejtimin e gravitetit. Kështu, puna totale e bërë mbi lëngun, siç tregohet në figurën më sipër, është:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Teorema e punës-energjisë pohon se puna totale e kryer në një sistem është e barabartë me ndryshimin në energjinë e tij kinetike. Kështu, ne mund ta zëvendësojmë Punën (W) me ndryshimin në energjinë kinetike (EK2 - EK1 ).
Mund ta rishkruajmë ekuacionin e mësipërm si:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Masa e lëngut që rrjedh në një distancë L1 në prerjen tërthore A1 = masa e lëngut që rrjedh në një distancë L2 ( prerja A2 ) . Një masë lëngu, le të themi m, ka një vëllim prej A1L1 dhe A2L2 ku A1L1 = A2L2 ( L2 është më i gjatë se L1 ).
Tani zëvendësojmë, ose zëvendësojmë m në ekuacionin e mësipërm me m = ρ AL:
Ky është ekuacioni i Bernoullit. Ekuacionin e Bernoullit e nxorëm bazuar në parimin punë-energji, pra është një formë e Ligjit të Ruajtjes së Energjisë.
Informacion:
P = Presioni
ρ = Dendësia e lëngut
v = Shpejtësia e rrjedhjes së lëngut
g = Përshpejtimi për shkak të gravitetit
h = Lartësia e tubit/tubacionit të rrjedhjes nga sipërfaqja e tokës
Anët e majta dhe të djathta të ekuacionit të Bernoulli-t më sipër mund t'i referohen çdo dy pikave përgjatë tubit të rrjedhjes, kështu që mund ta rishkruajmë ekuacionin e mësipërm si:
Ky ekuacion pohon se shuma totale e sasive në ekuacion ka të njëjtën vlerë në të gjithë tubin e rrjedhjes.
Tani le të shqyrtojmë ekuacionin e Bernoulli-t për disa raste.
Ekuacioni i Bernoulli-t për lëngjet në qetësi
Një rast i veçantë i ekuacionit të Bernoullit është për lëngjet në qetësi (lëngjet statike). Kur një lëng është në qetësi, ai nuk ka shpejtësi. Kështu, v 1 = v 2 = 0. Në rastin e një lëngu në qetësi, ekuacioni i Bernoullit mund të formulohet si:
Nëse h2 - h1 = h, atëherë ky ekuacion mund të shkruhet si:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρgh
Ekuacioni i Bernoulli-t për tubat e rrjedhjes ose tubacionet me të njëjtën lartësi
Nëse lartësia e tubit ose tubit të rrjedhjes është e njëjtë, atëherë ekuacioni i Bernoulli-t ndryshohet në:
