Materiali i Ekuacionit të Vazhdimësisë
Mundohuni ta hapni rubinetin e ujit ngadalë, ndërsa vëzhgoni rrjedhën e ujit që del nga rubineti. Pasi rubineti të ndalojë së rrotulluari, bllokojeni pjesërisht rubinetin me dorën tuaj. Tani krahasoni se cila rrjedhë uji është më e madhe. Kur është pjesërisht e bllokuar apo e zhbllokuar? Nëse keni një tub që zakonisht përdoret për ujitje të luleve, lëreni ujin të rrjedhë përmes tij. Bllokojeni pjesërisht tubin me dorën ose gishtin tuaj. Sa më shumë pjesë të tubit të jetë e bllokuar, aq më shpejt do të rrjedhë uji. Anasjelltas, nëse tubi nuk është i bllokuar, uji do të rrjedhë më ngadalë. Pse ndodh kjo? Për ta kuptuar këtë, ju lutemi studioni ekuacionin e vazhdimësisë.
Tubat e rrjedhjes dhe kanalet e rrjedhjes
Së pari, le të kuptojmë konceptet e linjave të rrjedhjes dhe tubave të rrjedhjes. Ky koncept është i rëndësishëm sepse do t'ju ndihmojë të kuptoni ekuacionin e vazhdimësisë.
Linja e rrjedhës
Shikoni imazhin më poshtë, vija blu është Streamline.
Në rrjedhën e qëndrueshme, shpejtësia e secilës grimcë fluide në një pikë, le të themi në pikën A, mbetet konstante. Ndërsa kalon pikën B, shpejtësia e grimcave të fluidit mund të ndryshojë. Megjithatë, me të mbërritur në pikën B, grimcat e fluidit që vijnë pas tyre vazhdojnë të rrjedhin me të njëjtën shpejtësi si grimcat e fluidit që i paraprinë. E njëjta gjë vlen edhe kur mbërrijnë në pikën C, e kështu me radhë. Vija e rrjedhës është kurba që lidh pikat A, B dhe C.
Tub rrjedhës
Në thelb, ne mund të vizatojmë një vijë rrjedhëse përmes secilës pikë në rrjedhën e lëngut. Nëse marrim në konsideratë rrjedhën e qëndrueshme të lëngut, një seri vijash rrjedhëse që kalojnë përmes një sipërfaqeje imagjinare në një kënd të caktuar formojnë një tub rrjedhës. Asnjë grimcë lëngu nuk kryqëzohet me njëra-tjetrën, por është gjithmonë paralele, dhe tubi i rrjedhës i ngjan një tubi me të njëjtën formë. Lëngu që hyn në njërën anë të tubit do të dalë nga tubi në anën tjetër.
Debi
Shkarkimi tregon vëllimin e një lëngu që rrjedh nëpër një prerje tërthore të caktuar në një interval të caktuar kohor. Matematikisht, mund të shprehet si më poshtë:
Për ta kuptuar më mirë, le të përdorim një shembull. Supozojmë se një lëng rrjedh nëpër një tub. Tubat zakonisht janë cilindrikë dhe kanë një sipërfaqe të prerjes tërthore specifike. Tubi ka edhe një gjatësi.
Kur lëngu rrjedh në tub deri në L, atëherë vëllimi i lëngut në tub është V = AL (V = vëllimi i lëngut, A = sipërfaqja e prerjes tërthore dhe L = gjatësia e tubit). Meqenëse gjatë rrjedhjes në tub përgjatë L lëngu përshkon një interval të caktuar kohor, atëherë mund të themi se madhësia e shkarkimit të lëngut është:
Meqenëse v = s/t = L/t —> L = vt, ekuacioni i mësipërm ndryshohet në:
Kështu, kur lëngu rrjedh nëpër një tub që ka një sipërfaqe dhe gjatësi të caktuar të prerjes tërthore për një interval të caktuar kohor, madhësia e shkarkimit të lëngut (Q) është e barabartë me sipërfaqen e prerjes tërthore (A) të shumëzuar me shpejtësinë e rrjedhjes së lëngut (v).
Ekuacioni i Vazhdimësisë
Konsideroni rrjedhën e lëngut në një tub me diametra të ndryshëm, siç tregohet në figurën më poshtë.
Ky imazh tregon rrjedhën e lëngut nga e majta në të djathtë (lëngu rrjedh nga një tub me diametër të madh në një tub me diametër të vogël). Vijat e ndërprera janë vija rrjedhëse.
Mbishkrimi i imazhit: A1 = sipërfaqja e prerjes tërthore të seksionit të tubit me diametër të madh, A2 = sipërfaqja e prerjes tërthore të seksionit të tubit me diametër të vogël, v1 = shpejtësia e rrjedhjes së lëngut në seksionin e tubit me diametër të madh, v2 = shpejtësia e rrjedhjes së lëngut në seksionin e tubit me diametër të vogël, L = distanca e përshkuar nga lëngu.
Në hyrje të dinamikës së fluideve, u shpjegua se në dinamikën e fluideve, ne diskutojmë rrjedhën e fluideve që janë të patrupëzueshme, të patransparueshme, jo-turbulente dhe të qëndrueshme. Në rrjedhën e qëndrueshme, shpejtësia e grimcave të fluideve në një pikë është e njëjtë me shpejtësinë e grimcave të tjera të fluideve që kalojnë nëpër atë pikë. Rrjedhat e fluideve gjithashtu nuk kryqëzohen me njëra-tjetrën (vijat e rrjedhës janë paralele). Prandaj, masa e fluideve që hyjnë në njërën anë të tubit duhet të jetë e barabartë me masën e fluideve që dalin nga ana tjetër. Nëse një fluid me një masë të caktuar hyn në një tub me një diametër të madh, atëherë fluidi do të dalë nga tubi me një diametër të vogël me një masë konstante.
Tani, shikoni foton e tubit më sipër. Shikoni pjesën e tubit me diametër të madh dhe pjesën e tubit me diametër të vogël.
Gjatë një intervali të caktuar kohor, një sasi e caktuar lëngu rrjedh nëpër një seksion tubi me diametër të madh (A).1) deri në L1 (L1 v1 t). Vëllimi i lëngut që rrjedh është V1 = A1 L1 = A1 v1 Gjatë të njëjtit interval kohor, një sasi tjetër lëngu rrjedh nëpër një seksion tubi me një diametër më të vogël (A).2) deri në L2 (L2 v2 t). Vëllimi i lëngut që rrjedh është V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Ekuacioni i vazhdimësisë për lëngjet e pakompresueshme (i pangjeshshëm)
Së pari, le të shqyrtojmë rastin e një lëngu të patrupëzueshëm. Në një lëng të patrupëzueshëm, dendësia, ose masa, e lëngut është gjithmonë e njëjtë në çdo pikë nëpër të cilën kalon. Masa e lëngut që rrjedh në një tub me një sipërfaqe të prerjes tërthore A1 ( diametri i madh i tubit) gjatë një intervali të caktuar kohor është:
Po kështu, masa e lëngut që rrjedh në një tub me një sipërfaqe tërthore prej A2 ( diametër i vogël i tubit) gjatë një intervali të caktuar kohor është:
Duke marrë parasysh që në rrjedhje të qëndrueshme, masa e lëngut që hyn është e njëjtë me masën e lëngut që del, atëherë:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (dendësia e lëngut dhe intervali kohor janë të njëjta, kështu që ato anulohen)
A 1 v 1 = A 2 v 2
Pra, në lëngjet e patrupëzueshme, zbatohet ekuacioni i vazhdimësisë:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Ekuacioni 1
Informacion:
A 1 = sipërfaqja e prerjes tërthore 1, A 2 = sipërfaqja e prerjes tërthore 2, v 1 = shpejtësia e rrjedhjes së lëngut në prerjen tërthore 1, v 2 = shpejtësia e rrjedhjes së lëngut në prerjen tërthore 2, A v = shkalla e rrjedhjes vëllimore V/t, e njohur edhe si shkarkim
Ekuacioni 1 tregon se shkalla e rrjedhjes vëllimore, e njohur edhe si shkarkim, është gjithmonë e njëjtë në çdo pikë përgjatë një tubi ose tubi rrjedhës. Ndërsa zvogëlohet prerja tërthore e tubit, rritet edhe shpejtësia e rrjedhjes së lëngut; anasjelltas, ndërsa rritet prerja tërthore e tubit, zvogëlohet edhe shpejtësia e rrjedhjes së lëngut.
Kur e mbyllim pjesërisht rubinetin, rrjedha e ujit bëhet më e shpejtë sesa kur rubineti është pjesërisht i mbyllur. Kjo ndodh sepse sipërfaqja e prerjes tërthore të rubinetit zvogëlohet kur rubineti është pjesërisht i mbyllur, duke rritur shpejtësinë e rrjedhjes së ujit (lëngu rrjedh më shpejt). E njëjta gjë vlen edhe për tubat. Megjithatë, është e rëndësishme të theksohet se shpejtësia e shkarkimit ose e rrjedhjes vëllimore mbetet e njëjtë në të gjitha pikat përgjatë rrjedhës së ujit, pavarësisht nëse rubineti është pjesërisht i mbyllur apo jo. Pra, ajo që ndryshon është shpejtësia e rrjedhjes së lëngut.
Po rrjedha e ujit në një lumë? Seksionet më të thella të një lumi kanë një prerje tërthore më të madhe se seksionet më të cekëta, kështu që shkalla e rrjedhjes së ujit në seksionet më të thella është më e ulët se në seksionet më të cekëta. Nëse shihni një rrjedhë shumë të qetë të lumit, kjo do të thotë se lumi është i thellë. Por nëse lumi papritmas bëhet me rrjedhë të shpejtë, ajo pjesë është padyshim e cekët. Megjithatë, shkalla e rrjedhës vëllimore të ujit është gjithmonë e njëjtë, qoftë në seksionet e thella apo të qeta të lumit.
Ekuacioni i vazhdimësisë për lëngjet e kompresueshme (i ngjeshshëm)
Në rastin e lëngjeve të kompresueshme , dendësia e lëngut nuk është gjithmonë e njëjtë. Me fjalë të tjera, dendësia e lëngut ndryshon kur kompresohet. Ndërsa në lëngjet e patrupëzueshme , dendësia e lëngut eliminohet nga ekuacioni, në këtë rast, dendësia e lëngut është ende e përfshirë. Duke iu referuar ekuacionit të nxjerrë më parë, le të nxjerrim ekuacionin për lëngjet e kompresueshme.
Duke marrë parasysh që në rrjedhje të qëndrueshme, masa e lëngut që hyn është e njëjtë me masën e lëngut që del, atëherë:
m 1 = m 2
ρA 1 v 1 t = ρA 2 v 2 t
Intervali kohor i rrjedhjes së lëngut është i njëjtë, kështu që mund të eliminohet. Ekuacioni ndryshon në:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Ekuacioni 2
Ky është ekuacioni për një lëng të kompresueshëm. E vetmja ndryshim qëndron në dendësinë e lëngut. Kur një lëng kompresohet, dendësia e tij ndryshon. Anasjelltas, kur një lëng është i pakompresueshëm, dendësia e tij mbetet konstante dhe mund të anulohet.
Shembull pyetjeje 1:
Uji rrjedh nëpër një tub me diametër 10 cm me një shpejtësi prej 2 m/s. Sa është shkarkimi i ujit?
Diskutim
Dihet që:
Diametri i tubit = 10 cm (ky është diametri i brendshëm i tubit)
Rrezja e tubit (r) = 5 cm = 0,05 m
v ujë = 2 m/s
I pyetur: Debiti
Përgjigje:
Q = A v
Q = (π r2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m2 ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m3 / s
Shembull pyetjeje 2:
Një tub uji me diametër 20 cm është i lidhur me një tub tjetër me diametër 10 cm. Nëse shpejtësia e rrjedhjes së ujit në tubin me diametër 20 cm është 4 m/s, cila është shpejtësia e rrjedhjes së ujit në tubin me diametër 10 cm?
Diskutim
Dihet që:
Diametri 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m/s
Diametri 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)
Pyetur: v 1
Përgjigje:
Q1 = Q2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) 2 (4 m/s) = (0,05 m) 2 (v 2 )
(0,01 m2 ) (4 m/s) = (0,0025 m2 ) ( v2 )
(0,04 m3 / s) = (0,0025 m2 ) ( v2 )
v2 = 16 m/s
