Gradivo o Arhimedovem zakonu
Ste že kdaj videli ladjo? Če je še niste videli v živo, ste jo upajmo videli na televiziji ali internetu. Ladja z zelo veliko maso se ne potopi, majhna, lahka skala pa lahko. Zakaj je temu tako? Odgovor je precej preprost, če razumete koncepta vzgona in Arhimedovega zakona.
V vsakdanjem življenju bomo ugotovili, da imajo predmeti, ki so postavljeni v tekočino, na primer skala, manjšo težo kot predmeti, ki niso v tekočini. Morda boste imeli težave z dvigovanjem skale s površine tal, vendar isto skalo zlahka dvignete z dna bazena. To je posledica sile vzgona. Vzgon nastane zaradi razlike v tlaku tekočine na različnih globinah. Tlak tekočine se povečuje z globino, globlje kot je tekočina, večji je tlak tekočine. Ko je predmet postavljen v tekočino, bo razlika v tlaku med tekočino nad predmetom in tekočino pod predmetom. Tekočina, ki se nahaja na dnu predmeta, ima večji tlak kot tekočina, ki se nahaja na vrhu predmeta.
Vzgon
Na sliki je viden predmet, ki plava v vodi. Tekočina pod predmetom ima večji tlak kot tekočina nad predmetom. To je zato, ker ima tekočina pod predmetom večjo globino kot tekočina nad predmetom (h2 > h1).
F2 = sila, ki jo tekočina izvaja na dno predmeta, F1 = sila , ki jo tekočina izvaja na vrh predmeta, A = površina predmeta
Razlika med F² in F¹ je skupna sila, ki jo tekočina izvaja na predmet, kar poznamo kot vzgonsko silo. Velikost vzgonske sile je:
F vzgon = F² − F¹
F vzgon = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F s plavajočo frekvenco = ρ g A ( h² − h¹ )
F vzgon = ρ g A h
F vzgon = ρ g V
Informacije:
ρ = gostota tekočine
g = pospešek zaradi gravitacije
V = volumen predmeta v tekočini
tako da lahko enačbo, ki določa velikost vzgonske sile (vzgon F) zgoraj, zapišemo kot:
F s plavajočo črko = ρ F g V → m = ρ V
vzgon F = m F g
vzgon F = w F
m F g = w F = teža tekočine, ki ima enak volumen kot volumen potopljenega predmeta.
Arhimedov princip
Na podlagi zgornje enačbe lahko rečemo, da je vzgonska sila enaka teži izpodrinjene tekočine, prostornina izpodrinjene tekočine pa je enaka prostornini predmeta, potopljenega v tekočino.
Če je predmet potopljen v tekočino in plava, pri čemer je potopljen le del predmeta, potem je prostornina izpodrinjene tekočine enaka prostornini dela predmeta, ki je potopljen v tekočino. Ne glede na obliko ali velikost predmeta se bo z vsemi zgodilo isto. To je delo Arhimeda (287–212 pr. n. št.), ki je danes znano kot Arhimedov princip.
Arhimedov princip pravi, da:
Ko je predmet popolnoma ali delno potopljen v tekočino, bo tekočina na predmet izvajala silo navzgor (vzgonsko silo), pri čemer je velikost sile navzgor (vzgonske sile) enaka teži izpodrinjene tekočine.
Zgodba o Arhimedu
Arhimed, ki je živel med letoma 287 in 212 pr. n. št., je po naročilu kralja Hierona II. raziskal, ali je krona, izdelana za kralja, narejena iz čistega zlata. Arhimed je bil sprva zmeden glede tega, ali je krona narejena iz čistega zlata ali vsebuje druge kovine. Težava je bila v tem, da je bila krona nepravilne oblike in je ni bilo mogoče uničiti, da bi ugotovili, ali je iz čistega zlata.
Ideja za ugotavljanje, ali je kraljeva krona narejena iz čistega zlata, je najprej določiti specifično težo krone in jo nato primerjati s specifično težo zlata. Če je krona narejena iz čistega zlata, potem je specifična teža krone = specifična teža zlata.
Specifična teža predmeta je razmerje med težo predmeta v zraku in težo vode z enako prostornino kot predmet. Matematično se zapiše:
Kako določiti težo vode, ki ima enak volumen kot volumen predmeta?
Po Arhimedu je teža vode z enako prostornino kot prostornina predmeta enaka velikosti vzgonske sile, ko se predmet potopi (celoten predmet je potopljen v vodo). To je enako teži predmeta, ki jo izgubimo pri tehtanju v vodi. Torej:
Za določitev specifične teže krone jo najprej stehtamo v zraku (teža krone v zraku). Nato krono potopimo v vodo in ponovno stehtamo, da dobimo težo izgubljene krone. Torej:
Ko je specifična teža krone izmerjena, se primerja s specifično težo zlata. Specifična teža zlata je 19,3. Če je specifična teža krone enaka specifični teži zlata, potem je krona narejena iz čistega zlata. Če pa krona ni narejena iz čistega zlata, potem specifična teža krone ne bo enaka specifični teži zlata.
Zakaj ladje ne potapljajo?
Če je gostota predmeta manjša od gostote vode, bo predmet plaval. Nasprotno, če je gostota predmeta večja od gostote vode, bo predmet potonil. Večina ladij je narejenih iz železa in jekla. Gostota železa in jekla = 7,8 x 10³ kg /m³ , medtem ko je gostota vode = 1,00 x 10³ kg /m³ . Zdi se, da je gostota železa in jekla večja od gostote vode. V tem primeru je specifična teža železa in jekla = 7,8. Ladje iz železa in jekla bi se morale potopiti. Zakaj se ladje ne potopijo? Skupna gostota ladje je manjša od gostote vode ali morske vode.
Primeri vprašanj o Arhimedovem zakonu
Primer vprašanja 1:
Na dnu bazena je skala, težka 40 kg. Če je prostornina skale = 0,2 m3 , kolikšna je najmanjša sila, potrebna za dvig skale?
Razprava
Znano je, da:
Masa kamna (m) = 40 kg
Prostornina kamna (V) = 0,02 m3
Gostota vode = 1000 kg/ m³
Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/ s²
Vprašano: Najnižja stopnja F
Odgovor:
vzgon F = w F
F vzgon = m F g → m = pV
vzgon F = ρ F g V
Vzgon F = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
vzgon F = 200 kg m/ s²
vzgon F = 200 N
Teža kamna (w) = mg
Teža kamna = (40 kg)(10 m/ s² )
Teža kamna = 400 kg m/ s²
Teža kamna = 400 N
Najmanjša sila, potrebna za dvigovanje skale:
Teža kamna – Vzgonska sila = 400 N – 200 N = 200 Newtonov.
Primer vprašanja 2:
Teža predmeta v zraku = 5000 kg m/s² in teža predmeta v vodi = 4000 kg m/s² . Če je gostota predmeta = 2000 kg/m³ , kolikšna je masa in prostornina predmeta? g = 10 m/ s²
Razprava
Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/ s²
Gostota predmeta = 2000 kg/ m³
Gostota vode = 1000 kg/ m³
Teža predmeta v zraku = 5000 kg m/ s²
Teža predmeta v vodi = 4000 kg m/ s²
Vzgonska sila (F vzgonska sila) = Teža predmeta v zraku – Teža predmeta v vodi
Vzgon F = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
vzgon F = 1000 kg m/ s²
F vzgon = teža izpodrinjene vode
F vzgon = (masa vode)(g)
F vzgon = (prostornina izpodrinjene vode)(gostota vode)(g)
Prostornina izpodrinjene vode = Prostornina predmeta, potopljenega v vodo 😉
Torej je prostornina predmeta = 0,1 m³
Masa predmeta = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Masa predmeta = 200 kg
Primer vprašanja 3:
Kolikšna količina helija je potrebna, če mora balon dvigniti breme 500 kg?
Razprava
Gostota helija = 0,1786 kg/ m³
Gostota zraka = 1,293 kg/ m³
Vzgonska sila = Teža izpodrinjene zraka = Teža bremena + Teža helija
Vzgonska sila = teža bremena + teža helija
Vzgonska sila = (masa bremena)(g) + (masa helija)(g)
Vzgonska sila = (masa bremena + masa helija)g —- enačba 1
Vzgonska sila = Teža izpodrinjene zraka
Vzgonska sila = (masa izpodrinjene zraka)(g) —- enačba 2
Združimo enačbo 1 in enačbo 2:
(masa bremena + masa helija)(g) = (masa izpodrinjenega zraka)(g)
masa bremena + masa helija = masa izpodrinjene zraka
500 kg + (ρ helija)(V helija) = (ρ zraka)(V zraka)
500 kg = (ρ zraka)(V zraka) – (ρ helija)(V helija)
Prostornina izpodrinjene zraka (V zraka) = Prostornina helija, ki napolni balon (V helija)
500 kg = (ρ zrak – ρ helij)(V)
To je najmanjša količina helija, potrebna za dvigovanje uteži na Zemljini površini. Da bi balon lahko lebdel višje, je treba količino helija povečati. To je zato, ker se gostota zraka z nadmorsko višino zmanjšuje.
