3 Problémy a riešenia týkajúce sa rovnice momentu zotrvačnosti
1. Valec má polomer 8 cm a hmotnosť 2 kg. Guľa má polomer 5 cm a hmotnosť 4 kg. Ak sa obe telesá otáčajú s osou prechádzajúcou ich stredom, určte pomer momentu zotrvačnosti valca a gule.
Známe:
Polomer plného valca (r) = 8 cm = 0.08 m
Hmotnosť pevného valca (m) = 2 kg
Polomer pevnej gule (r) = 5 cm = 0.05 m
Hmotnosť pevnej gule (m) = 4 kg
Hľadám: Porovnanie momentu zotrvačnosti valca a gule
Riešenie :
Vzorec pre moment zotrvačnosti plného valca:
I = ½ MR2 = ½ (2) (0,08) 2 = 0,0064
Vzorec pre moment zotrvačnosti pevnej gule:
I = 2/5 MR 2 = 1/5 (4) (0,05) 2 = (0,8) (0,0025) = 0,002
Porovnanie momentu zotrvačnosti valca a gule:
0,0064: 0,002
3,2: 1
2. Plechovka, v ktorej boli umiestnené sušienky, slúžila ako hračka. Hmotnosť plechovky je 200 gramov a polomer je 15 cm. Plechovka sa kotúľa po vodorovnej podlahe. Ak zanedbáme veko a dno plechovky, určíme moment zotrvačnosti plechovky.
Známe:
Plechovka pripomína dutý valec.
Hmotnosť (m) = 200 gramov = 0.2 kg
Polomer (r) = 15 cm = 0.15 m
Hľadá sa:
Riešenie:
Vzorec pre moment zotrvačnosti dutého valca cez os:
I = MR² = (0,2)(0,15) ² = (0,2)(0,0225) = 0,0045 kg m²
3. Disk, ktorý sa môže voľne otáčať okolo zvislej osi, sa môže otáčať rýchlosťou 80 otáčok za minútu. Ak je malý predmet s hmotnosťou 4 x 10⁻² kg pripevnený k disku 5 cm od osi, ukáže sa, že otáčanie je 60 otáčok za minútu, potom určte moment zotrvačnosti disku.
Známe:
Počiatočná uhlová rýchlosť (ω o ) = 80 ot./s = 4/3 ot./s
Počiatočný moment zotrvačnosti (Io ) = I
Konečná uhlová rýchlosť (ω t ) = 60 ot./s = 1 ot./s
Konečný moment zotrvačnosti ( It ) = I + mr² = I + (0.04)(0.05) ² = I + (0.04)(0.0025) = I + 0.0425
Hľadaný moment zotrvačnosti disku
Riešenie:
Zákon zachovania momentu hybnosti
Iωo = Iωt
I (4/3) = I + (0,0425 (1))
4 I / 3 = I + 0,0425
4 I = 3 I + 0,1275
4 I – 3 I = 0,1275
I = 0,1275 kg m²
