Článok o Bernoullisovom princípe a Bernoullisovej rovnici
Keď jazdíme na motorke, oblečenie, ktoré nosíme, sa nafúkne dozadu. Niekedy, ak fúka silný vietor, dvere sa môžu samy zatvoriť. Hoci vietor fúka zvonku domu, dvere sú vnútri domu.
Toto sa dá vysvetliť pomocou Bernoulliho princípu. Daniel Bernoulli (1700-1782) objavil princíp, ktorý by sa dal použiť na vysvetlenie vyššie uvedeného javu.
Bernoulliho princíp
Bernoulliho princíp hovorí, že tam, kde je rýchlosť prúdenia kvapaliny vysoká, je tlak kvapaliny nízky. Naopak, ak je rýchlosť prúdenia kvapaliny nízka, tlak kvapaliny je vysoký. Keď sa motocykel pohybuje rýchlo, rýchlosť vzduchu na prednej a bočnej strane tela je vysoká. Tlak vzduchu sa teda znižuje. Zadná časť tela je blokovaná prednou časťou tela, takže rýchlosť vzduchu na zadnej strane tela sa nezvýši. V dôsledku toho sa tlak vzduchu v zadnej časti tela zvyšuje. Pretože existuje rozdiel v tlaku vzduchu, kde je tlak vzduchu v zadnej časti tela vyšší ako tlak vzduchu, tlačí sa vám košeľa dozadu, takže vaše oblečenie vyzerá nafúknuté dozadu.
A čo dvere domu, ktoré sa samy zatvoria, keď vonku fúka vietor? Vzduch vonku sa pohybuje rýchlejšie ako vzduch vo vnútri domu. V dôsledku toho je tlak vzduchu vonku menší ako tlak vzduchu vo vnútri domu. Keďže existuje tlakový rozdiel, keď je tlak vzduchu vo vnútri domu väčší, dvere sa vytlačia von. Inými slovami, krídlo dverí sa pohybuje z miesta, kde je tlak vzduchu veľký, smerom k miestu, kde je tlak vzduchu malý.
Bernoulliho rovnica
Predtým sme sa učili o Bernoulliho princípe. Bernoulli tento princíp rozvinul aj kvantitatívne. Na odvodenie Bernoulliho rovnice predpokladáme, že prúdenie tekutiny je ustálené a laminárne, nestlačené a viskozita je minimálna, takže ju možno zanedbať.
V diskusii o rovnici kontinuity sme sa dozvedeli, že prietok kvapaliny sa môže meniť aj v závislosti od prietokovej plochy prietokovej trubice. Na základe vyššie opísaného Bernoulliho princípu sa tlak kvapaliny môže meniť aj v závislosti od prietoku kvapaliny. Tlak kvapaliny sa môže meniť aj v závislosti od výšky hladiny kvapaliny. Vzťah medzi tlakom, prietokom a výškou hladiny kvapaliny možno získať pomocou Bernoulliho rovnice.
Bernoulliho rovnica je kľúčová, pretože sa dá použiť na analýzu letov lietadiel, vodných elektrární, potrubných systémov atď. Pre odvodenie Bernoulliho rovnice vo všeobecnosti predpokladáme, že tekutina prúdi prietokovou trubicou s prierezom, ktorý nie je rovnaký, a výška je tiež odlišná. Na odvodenie Bernoulliho rovnice aplikujeme vetu o práci a energii na tekutinu v prietokovej trubici.
Nepriehľadná farba v prietokovej trubici na obrázku nižšie znázorňuje tok kvapaliny, zatiaľ čo biela farba znázorňuje žiadnu kvapalinu.
Kvapalina v prierezovej ploche 1 (ľavá strana) prúdi až po L1 a núti kvapalinu v sekcii 2 (pravá strana) pohybovať sa až po L2 . Pretože prierezová plocha 2 vpravo je menšia, rýchlosť prúdenia kvapaliny na pravej strane prietokovej trubice je väčšia (spomeňte si na rovnicu kontinuity). To spôsobuje tlakový rozdiel medzi sekciou 2 (pravá strana prietokovej trubice) a sekciou 1 (ľavá strana prietokovej trubice) – Spomeňte si na Bernoulliho princíp. Kvapalina, ktorá je naľavo od sekcie 1, pôsobí tlakom (P1 ) na kvapalinu vpravo a vykonáva prácu:
Potom možno rovnicu W1 zapísať:
W1 = p1A1L1
V časti 2 (pravá strana prietokovej trubice) je práca vykonaná na tekutine:
W² = −p²A²L²
Znamienko záporné znamená, že pôsobiaca sila je opačná ako smer pohybu. Tekutina teda vykonáva prácu napravo od prierezu 2. Okrem toho gravitačná sila pôsobí na tekutinu. Vo vyššie uvedenom prípade sa niektoré hmoty tekutiny prenesú z úseku 1 až po L1 do úseku 2 až po L2 , kde je objem tekutiny v úseku 1 (A1L1 ) = objem tekutiny v úseku 2 (A2L2 ) . Práca vykonaná gravitáciou je :
W³ = −mg( h² − h¹ )
W3 = −mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Záporné znamienko je spôsobené prúdením tekutiny smerom nahor, na rozdiel od smeru gravitácie. Čistá práca vykonaná na tekutine je teda:
Š = Š1 + Š2 + Š3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Veta o práci a energii hovorí, že čistá práca vykonaná na systéme je rovnaká ako zmena kinetickej energie. Preto môžeme nahradiť prácu (W) zmenami kinetickej energie (EK² – EK¹ ).
Vyššie uvedenú rovnicu možno zapísať znova:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Hmota tekutiny, ktorá preteká až do vzdialenosti L1 v priečnom reze A1 = hmotnosť tekutiny, ktorá preteká až do vzdialenosti L2 (prierez A2). Hmotnosť tekutiny, povedzme m, má objem A1 L1 a A2 L2 kde A1 L1 =A2 L2 (L2 je dlhší ako L1).
Teraz dosadíme m do vyššie uvedenej rovnice za m = ρ AL:
Toto je Bernoulliho rovnica. Bernoulliho rovnica je odvodená na základe princípu práce a energie, takže je formou zákona zachovania energie.
P = tlak, ρ = hustota, v = rýchlosť kvapaliny, g = gravitačné zrýchlenie, h = výška potrubia nad zemou.
Ľavý a pravý segment Bernoulliho rovnice vyššie sa môžu vzťahovať na dva body kdekoľvek pozdĺž prietokovej trubice, takže môžeme vyššie uvedenú rovnicu prepísať do tvaru:
Teraz si zopakujeme Bernoulliho rovnicu pre niektoré prípady.
Bernoulliho rovnica v statických tekutinách
Špeciálny prípad Bernoulliho rovnice je pre statickú tekutinu, kde tekutina nemá žiadnu rýchlosť. Preto v1 = v2 = 0. V prípade statickej tekutiny môžeme Bernoulliho rovnicu formulovať takto:
Ak h² – h¹ = h, túto rovnicu možno zapísať ako:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoulliho rovnica na potrubí rovnakej výšky
Ak je výška potrubia rovnaká, Bernoulliho rovnica sa zmení na:
