Článok o rovnici kontinuity
Skúste pomaly otvoriť vodovodný kohútik a zároveň venujte pozornosť rýchlosti vody vytekajúcej z ústia kohútika. Teraz porovnajte, kde je prietok vody rýchlejší, keď je ústie kohútika zatvorené alebo nie? Prečo je to tak? Aby ste to pochopili, preštudujte si rovnicu kontinuity.
racionalizovať
V ustálenom prúde je rýchlosť každej častice tekutiny v bode, napríklad v bode A, vždy rovnaká. Pri prechode bodom B sa rýchlosť častíc tekutiny môže meniť. Avšak pri príchode do bodu B častice tekutiny, ktoré nasledujú za nimi, prúdia rovnakou rýchlosťou ako častice tekutiny, ktoré ich predchádzajú. Podobne aj pri príchode do bodu C atď. Čiara toku je krivka, ktorá spája body A, B a C.
Prietoková trubica
Každú prúdnicu môžeme opísať cez každý bod v prúdení tekutiny. Ak vnímame ustálený tok tekutiny, niektoré prúdnice, ktoré zvierajú určitý uhol na imaginárnej ploche povrchu, tvoria prietočnú trubicu. Žiadne častice tekutiny sa nepretínajú, ale sú vždy rovnobežné a prietoková trubica sa bude podobať rúre, ktorej tvar je stále rovnaký. Kvapalina vstupujúca na jednom konci trubice bude z trubice vytekať na druhom konci.
Dlh
Prietok udáva objem tekutiny pretekajúcej určitým prierezom v určitom časovom intervale. Matematicky sa to dá vyjadriť ako:
Výtok = Objem tekutiny / časový interval
Q = V/t
Pre lepšie pochopenie použijeme príklad. Napríklad tekutina prúdi potrubím. Potrubia sú zvyčajne valcové a majú určitý prierez. Potrubie má tiež určitú dĺžku.
Keď tekutina prúdi potrubím až po dĺžku L, objem tekutiny v potrubí je V = AL (V = objem tekutiny, A = plocha prierezu a L = dĺžka potrubia). Pretože pokiaľ tekutina prúdi potrubím pozdĺž dĺžky L, potrebuje určitý časový interval, môžeme povedať, že množstvo tekutiny je:
Pretože v = s / t = L / t —> L = vt, vyššie uvedená rovnica sa zmení na:
Keď teda tekutina preteká potrubím s určitou plochou prierezu a dĺžkou po určitý čas, množstvo vytečenej tekutiny (Q) sa rovná ploche prierezu (A) vynásobenej rýchlosťou prúdenia tekutiny (v).
Rovnica kontinuity
Skontrolujte tok tekutiny v potrubí s rôznym priemerom, ako je znázornené na obrázku nižšie.
Tento obrázok znázorňuje tok tekutiny zľava doprava (tekutina prúdi z potrubia s veľkým priemerom do potrubia s malým priemerom). Prerušovaná čiara je znázornená ako aerodynamická.
A 1 = plocha prierezu potrubia s veľkým priemerom, A 2 = plocha prierezu potrubia s malým priemerom, v 1 = rýchlosť prúdenia kvapaliny v potrubí s veľkým priemerom, v 2 = rýchlosť prúdenia kvapaliny v potrubí s malým priemerom, L = vzdialenosť prejdená kvapalinou.
V ustálenom prúdení sa rýchlosť prúdenia častíc tekutiny v danom bode rovná rýchlosti prúdenia ostatných častíc tekutiny, ktoré prechádzajú týmto bodom. Prúd tekutiny sa tiež nepretína (čiary sú rovnobežné). Preto sa hmotnosť tekutiny, ktorá vstupuje do jedného konca potrubia, musí rovnať hmotnosti tekutiny, ktorá vystupuje na druhom konci. Ak má tekutina určitú hmotnosť prichádzajúcu do potrubia s veľkým priemerom, potom tekutina bude vystupovať cez potrubie s malým priemerom a rovnakou hmotnosťou.
Teraz si pozrite obrázok potrubia vyššie. Pozrite sa na potrubie s veľkým priemerom a potrubie s malým priemerom.
Počas určitého časového intervalu preteká časť potrubia s veľkým priemerom (A1 ) až po L1 ( L1 = v1t ) . Objem pretekajúcej tekutiny je V1 = A1L1 = A1v1t . Počas rovnakého časového intervalu pretekajú časťou potrubia s malým priemerom ( A2 ) ďalšie tekutiny až po L2 ( L2 = v2t ) . Objem pretekajúcej tekutiny je V2 = A2L2 = A2v2t.
Rovnica kontinuity pre nestlačiteľné kvapaliny
V nestlačiteľných kvapalinách je hustota kvapaliny vždy rovnaká v každom bode, ktorým prechádza. Hmotnosť kvapaliny prúdiacej v potrubí s prierezom A1 (veľký priemer potrubia) počas určitého časového intervalu je:
Podobne, hmotnosť tekutiny prúdiacej v potrubí s prierezom A² ( malý priemer potrubia) počas určitého časového intervalu je:
V ustálenom prúde je hmotnosť pritekajúcej tekutiny rovnaká ako hmotnosť vytekajúcej tekutiny, takže:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
A 1 proti 1 = A 2 proti 2
Takže rovnica kontinuity v nestlačiteľných tekutinách:
A1 v1 = A2 v 2 — Rovnica 1
A 1 = plocha prierezu 1, A 2 = plocha prierezu 2, v 1 = rýchlosť prúdenia kvapaliny v sekcii 1, v 2 = rýchlosť prúdenia kvapaliny v sekcii 2, A v = objemový prietok (V / t) = prietok.
Rovnica 1 ukazuje, že prietok je v každom bode potrubia alebo prietokovej trubice vždy rovnaký. Keď sa prierez potrubia zmenší, prietok kvapaliny sa zvýši, zatiaľ čo keď sa prierez potrubia zväčší, prietok kvapaliny sa zmenší.
Keď je časť ústia kohútika zatvorená, prietok vody sa stáva silnejším ako vtedy, keď časť ústia kohútika nie je zatvorená. Je to preto, že prierez kohútika sa zmenšuje, keď je časť ústia kohútika zatvorená, takže prietok vody sa zvyšuje. Je však dôležité vedieť, že prietok alebo výdaj tekutín je v každom bode pozdĺž toku vody vždy rovnaký, či už je časť ústia nášho kohútika zatvorená alebo nie. Čo sa teda mení v prietoku tekutiny?
A čo potom tok vody v rieke? Hlboká časť rieky má väčší prierez ako plytká časť rieky, takže rýchlosť toku vody v hlbokej rieke je menšia ako rýchlosť toku vody v plytkej časti rieky.
Rovnica kontinuity pre stlačiteľné kvapaliny
V prípade stlačenej kvapaliny nie je hustota kvapaliny vždy rovnaká. Inými slovami, hustota kvapaliny sa pri stlačení mení. Ak kvapalina nie je stlačená, hustota kvapaliny sa z rovnice odstráni, takže v tomto prípade je hustota kvapaliny v rovnici zahrnutá. S odkazom na rovnicu, ktorá bola odvodená predtým, odvodime rovnicu pre stlačenú kvapalinu.
Hmotnosť tekutiny, ktorá vstupuje, sa rovná hmotnosti tekutiny, ktorá vystupuje, takže:
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
Interval prúdenia tekutiny je rovnaký, takže ho možno eliminovať. Rovnice sa zmenia na:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Rovnica 2
Toto je rovnica pre stlačenú tekutinu. Rozdiel spočíva v hustote tekutiny. Ak je tekutina stlačená, hustota sa mení. Naopak, ak tekutina nie je stlačená, hustota je vždy rovnaká, takže ju možno z rovnice vylúčiť.
Príklad úlohy 1:
Voda preteká potrubím s priemerom 10 cm rýchlosťou 2 m/s. Aký je prietok vody?
Známe:
Priemer potrubia = 10 cm
Polomer potrubia (r) = 5 cm = 0.05 m
Rýchlosť vody (v) = 2 m/s
Hľadané: Debet
riešenie:
Q = A₂
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) ² (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m² ) (2 m/s²)
Q = 0.0157 m³ / s
Príklad úlohy 2:
Potrubie s priemerom 20 cm je spojené s iným potrubím s priemerom 10 cm. Ak je rýchlosť vody v potrubí s priemerom 20 cm 4 m/s, aká je rýchlosť vody v potrubí s priemerom 10 cm?
Známe:
Priemer 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/s
Priemer 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0.05 m)
Hľadá sa: v 1
Odpoveď:
Q1 = Q2
A 1 proti 1 = A 2 proti 2
( π r 12 ) (4 m/s) = ( π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v2 = 16 m/s
