ذرڙن لاءِ جڙت جو لمحو - مسئلا ۽ حل

ذرڙن لاءِ جڙت جو لمحو - مسئلا ۽ حل

1. هيٺ ڏنل شڪل ۾ ڏيکاريل ٻه بال هڪ راڊ سان ڳنڍيل آهن. راڊ جي ماس کي نظرانداز ڪريو . بال P جو ماس 600 گرام ۽ بال Q جو ماس 400 گرام آهي. AB جي باري ۾ سسٽم جي انرشيا جو لمحو ڇا آهي؟

ڄاتل سڃاتل:

گردش جو محور AB آهي.

m _p = 600 گرام = 0.6 ڪلوگرام، m _q = 400 گرام = 0.4 ڪلوگرام

r _p = 20 سينٽي ميٽر = 0.2 ميٽر، r _q = 50 سينٽي ميٽر = 0.5 ميٽر

گهربل: نظام جي جمود جو لمحو

حل:

مان = م _پر پ ₂ ⁺ م _ق ر _ق ²

مان = (0.6 ڪلوگرام)(0.2 ميٽر) ² + (0.4 ڪلوگرام)(0.5 ميٽر) ²

I = (0.6 ڪلوگرام)(0.04 ميٽر ² ) + (0.4 ڪلوگرام)(0.25 ميٽر ² )

مان = 0.024 ڪلوگرام م ² + 0.1 ڪلوگرام م ²

مان = 0.124 ڪلوگرام م ²

2. AB جو راڊ 2 ڪلوگرام وزن سان نقطي A جي چوڌاري گھمندو آهي، راڊ جي جڙت جو لمحو 8 ڪلوگرام m ² آهي . جيڪڏهن نقطي O (AO = OB) جي چوڌاري گھمايو وڃي، ته راڊ جي جڙت جو لمحو ڪيترو هوندو.

ڄاتل سڃاتل:

راڊ AB (m) جو وزن = 2 ڪلوگرام

جيڪڏهن نقطي A جي چوڌاري گھمايو وڃي ته گردش جو ريڊيس (r) = AB جي ڊيگهه = r هجي ته پوءِ انرشيا جو لمحو (I) = 8 ڪلوگرام ^m2

گهربل: جيڪڏهن نقطي O جي چوڌاري گھمايو وڃي ته گردش جو ريڊيس (r) = AO جي ڊيگهه = OB جي ڊيگهه = 1/2 r هجي ته پوءِ راڊ جي انرشيا جو لمحو ڪيترو هوندو.

حل:

مان = مسٽر ²

8 ڪلو ميٽر ² = (2 ڪلوگرام) ر ²

8 م ² = (2) ر ²

ر ² = 8 م ² / 2

ر ² = 4 م ²

ر = 2 ميٽر

جيڪڏهن نقطي O جي چوڌاري گھمايو وڃي ته ½ r = 1 ميٽر، پوءِ انرشيا جو لمحو:

آئون = مسٽر ² = (2 ڪلوگرام)(1 ميٽر) ² = (2 ڪلوگرام)(1 ميٽر ² ) = 2 ڪلوگرام ميٽر ²

3. هيٺ ڏنل شڪل ۾ ڏيکاريل ٻه بال هڪ راڊ سان ڳنڍيل آهن. راڊ جي ماس کي نظرانداز ڪريو. سسٽم جي انرشيا جو لمحو ڇا آهي.

ڄاتل سڃاتل:

بال جو وزن A (m_A) = 200 گرام = 0.2 ڪلوگرام

بال B (m _B ) جو وزن = 400 گرام = 0.4 ڪلوگرام

بال A ۽ گردش جي محور (r _A ) جي وچ ۾ فاصلو = 0

بال B ۽ گردش جي محور (r _B ) جي وچ ۾ فاصلو = 25 سينٽي ميٽر = 0.25 ميٽر

گهربل: نظام جي جمود جو لمحو

حل:

بال A جي جمود جو لمحو:

آئون _الف = (م _الف ) (ر _الف ² ) = (0.2) (0) ² = 0

بال B جي جمود جو لمحو:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 ڪلوگرام m ²

سسٽم جي جمود جو لمحو:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 ڪلوگرام m ² = 25 x 10 ^-3 ڪلوگرام m ²

4. هيٺ ڏنل شڪل ۾ ڏيکاريل چار ذرڙا مختلف وزنن سان. افقي لڪير P جي چوڌاري سسٽم جي جمود جي لمحي جو تعين ڪريو.

حل

گردش جو محور افقي لڪير P آهي.

ڄاتل سڃاتل:

ذرڙي A جو مايو (m _A ) = m

_{ذرڙي B (m B} ) جو مايو = 2m

_{ذرڙي C ( mC} ) جو وزن = 3m

ذرڙن جو گذر D (m _D ) = 4m

ذرڙو A ۽ گردش جي محور جي وچ ۾ فاصلو (r _A ) = b

ذرڙو B ۽ گردش جي محور جي وچ ۾ فاصلو (r _B ) = b

ذرڙو C ۽ گردش جي محور (r _C ) جي وچ ۾ فاصلو = 2b

ذرڙو D ۽ گردش جي محور (r _D ) جي وچ ۾ فاصلو = 2b

گهربل: افقي لڪير P جي چوڌاري سسٽم جي جڙت جو لمحو

حل:

آئون = م _اي ر _اي ² + م _ب ر _ب ² + م _سي ر _سي ² + م _ڊ ر _ڊ ²

I = (m) (b) ² + (2m) (b) ² + (3m) (2b) ² + (4m) (2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m) (4b ² )

I = ايم بي ² + 2 ايم بي ² + 12 ايم بي ² + 16 ايم بي ²

مان = 31 ايم بي ²

_{5. چار ذرڙا هڪ راڊ سان ڳنڍيل آهن. راڊ جي ماس کي نظرانداز ڪريو. ذرڙن m 1} ۽ m ₂ ذريعي گردش جي محور جي چوڌاري انرشيا جي لمحي جو تعين ڪريو ، جيئن هيٺ ڏنل شڪل ۾ ڏيکاريل آهي.

ڄاتو

ذرڙي 1 (ميٽر) جو مايو₁) = 1/4 ڪلوگرام

_{ذرڙو 2 ( m2} ) جو مايو = 1/2 ڪلوگرام

_{ذرڙو 3 ( m3} ) جو مايو = 1/4 ڪلوگرام

_{ذرڙو 4 ( m4} ) جو مايو = 1/4 ڪلوگرام

ذرڙو 1 ۽ گردش جي محور جي وچ ۾ فاصلو (r ₁ ) = 0

ذرڙو 2 ۽ گردش جي محور جي وچ ۾ فاصلو (r ₂ ) = 0

ذرڙو 3 ۽ گردش جي محور (r ₃ ) جي وچ ۾ فاصلو = 10 سينٽي ميٽر = 10/100 ميٽر = 1/10 ميٽر

ذرڙو 4 ۽ گردش جي محور (r ₄ ) جي وچ ۾ فاصلو = 10 سينٽي ميٽر = 10/100 ميٽر = 1/10 ميٽر

گهربل: جمود جو لمحو

حل:

مان = م ₁ ر ₁ ² + م ₂ ر ₂ ² + م ₃ ر ₃ ² + م ₄ ر ₄ ²

مان = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

مان = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

مان = 1/400 + 1/400

مان = 2/400

مان = 1/200 ڪلوگرام. ميٽر ²

1. ڪنهن ذرڙي لاءِ جڙت جو لمحو ڇا آهي؟
   • جواب: ماس جي هڪ ذري لاءِ $m$ ٿوري فاصلي تي $r$ گردش جي محور کان، ان جي جمود جو لمحو $I$ پاران ڏنل آهي I=m×r².
2. انرشيا جي لمحي کي اڪثر ماس جي "گردش اينالاگ" ڇو سڏيو ويندو آهي؟
   • جواب: جيئن ماس ڪنهن شيءِ جي ان جي ترجمي واري حرڪت ۾ تبديلين جي مزاحمت جو ماپ آهي (نيوٽن جي ٻئي قانون جي ڪري)، انرشيا جو لمحو ڪنهن شيءِ جي گردش واري حرڪت ۾ تبديلين جي مزاحمت جو ماپ آهي.
3. ڪنهن ذرڙي جي گردش جي محور کان فاصلي کي تبديل ڪرڻ سان ان جي جڙت جي لمحي تي ڪيئن اثر پوي ٿو؟
   • جواب: جڙت جو لمحو گردش جي محور کان مفاصلي جي چورس جي متناسب آهي. جيڪڏهن توهان فاصلو ٻيڻو ڪندا، ته جڙت جو لمحو چار جي عنصر سان وڌي ويندو.
4. مفاصلي جو چورس ڇو آهي (r²) فارمولي ۾ صرف فاصلي جي بدران انرشيا جي لمحي لاءِ استعمال ڪيو ويو آهي؟
   • جواب: مفاصلي جو چورس استعمال ڪيو ويندو آهي ڇاڪاڻ ته گردش ۾ حرڪي توانائي ڪيئن ڪم ڪري ٿي. گردش جي حرڪت ۾، ڪنهن به شيءِ جو هر ذرو ان جي ماس ۽ محور کان ان جي چورس جي فاصلي جي بنياد تي گردش جي حرڪي توانائي ۾ حصو وٺندو آهي.
5. جيڪڏهن ڪنهن ذرڙي جي ماس کي ٽي ڀيرا وڌايو وڃي ۽ محور کان فاصلو برقرار رکيو وڃي ته ان جي جمود جو لمحو ڪيئن بدلجي ٿو؟
   • جواب: جيڪڏهن ماس کي ٽي ڀيرا ڪيو وڃي ۽ فاصلو مستقل رکيو وڃي، ته انرشيا جو لمحو به ٽي ڀيرا ٿيندو ڇاڪاڻ ته اهو ماس جي سڌي طرح متناسب آهي.
6. ڇا ڪنهن ذرڙي ۾ صفر جي جمود جو لمحو ٿي سگهي ٿو؟ جيڪڏهن ها، ته ڪهڙي حالت ۾؟
   • جواب: ها، جيڪڏهن ڪو ذرڙو گردش جي محور تي سڌو واقع هجي ته ان ۾ صفر جي جمود جو لمحو هوندو، جيڪو ان جو فاصلو ٺاهيندو $r$ محور کان صفر جي برابر.
7. مختلف محورن تي گردش ڪرڻ وقت ساڳي وزن ۽ سائيز جون مختلف شيون مختلف جمود جا لمحا ڇو محسوس ڪنديون آهن؟
   • جواب: گردش جي محور جي چوڌاري ماس جي ورڇ انرشيا جي لمحي کي طئي ڪري ٿي. جيتوڻيڪ ٻن شين جو ماس ۽ سائيز ساڳيو هجي، گردش جي محور جي نسبت انهن جي ماس جي ورڇ مختلف ٿي سگهي ٿي، جنهن جي ڪري انرشيا جا مختلف لمحا پيدا ٿين ٿا.
8. ڇا انرشيا جو لمحو هڪ اسڪيلر يا ویکٹر مقدار آهي؟
   • جواب: انرشيا جو لمحو هڪ اسڪيلر مقدار آهي. جڏهن ته، پيچيده شڪلن ۽ گردش جي ڪيترن ئي محورن سان سخت جسمن لاءِ، ان کي ٽينسر سان ظاهر ڪيو ويندو آهي.
9. جيڪڏهن ٻه ذرڙا، هر هڪ مايو $m$، فاصلي تي واقع آهن r_1​ ۽ r₂​ گردش جي محور کان، جڙت جو گڏيل لمحو ڇا آهي؟
   • جواب: جڙت جو لمحو الڳ الڳ ذرڙن لاءِ اضافو آهي. تنهن ڪري، جڙت جو گڏيل لمحو I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. جڙت جو لمحو ڪوئلي جي رفتار جي تحفظ سان ڪيئن لاڳاپيل آهي؟

    • جواب: ڪوئلي مومينٽم $L$ جمود جي لمحي جي پيداوار آهي $I$ ۽ ڪوئلي جي رفتار $\omega$، مساوات سان نمائندگي ڪئي وئي آهي $L=I\times \omega$. جيڪڏهن ڪو به ٻاهرين ٽورڪ ڪنهن نظام تي عمل نه ڪندو، ته ڪوئلي جي رفتار مستقل رهندي. ان جو مطلب آهي ته جيڪڏهن انرشيا جو لمحو تبديل ٿئي ٿو (جيئن هڪ فگر اسڪيٽر پنهنجي هٿن ۾ ڇڪيندو آهي)، ڪوئلي جي رفتار کي پيداوار کي مستقل رکڻ لاءِ ترتيب ڏيڻ گهرجي.