ویکٹر جو اضافو

ویکٹرز جي اضافي بابت مضمون

1. ویکٹر ۽ اسڪيلر جي مقدار

بنيادي ۽ نڪتل مقدارن کان علاوه، جسماني مقدارن کي اڃا تائين ٻن ٻين قسمن ۾ ورهائي سگهجي ٿو، يعني اسڪيلر مقدارون ۽ ویکٹر مقدارون. مقدارون جهڙوڪ ماس، فاصلو، وقت ۽ حجم، اسڪيلر مقدارون آهن، مقدارون جن جي صرف شدت هوندي آهي پر ڪا هدايت نه هوندي آهي. جڏهن ته شدتون جهڙوڪ بي گھرڻ، رفتار، تيز رفتاري، ۽ قوت ویکٹر مقدارون آهن، مقدارون جن جي شدت هوندي آهي ۽ انهن جي هدايت پڻ هوندي آهي.

الف. ايس ڪيلر ۽ ویکٹر مقدار جي وچ ۾ فرق

جيڪڏهن توهان چئو ٿا ته هڪ بال جو وزن 400 گرام آهي، ته هي بيان توهان لاءِ بال جي وزن کي ڄاڻڻ لاءِ ڪافي آهي. توهان کي بال جي وزن کي ڳولڻ لاءِ هدايت جي ضرورت ناهي. ساڳئي طرح وقت، گرمي پد، حجم، کثافت وغيره سان. ڪيتريون ئي جسماني مقدارون آهن جيڪي صرف شدت ۾ ظاهر نه ٿيون ڪري سگهجن. جيڪڏهن توهان چئو ٿا ته هڪ ٻار 100 ميٽر تائين هلندو آهي، ته پوءِ هي بيان ڪافي ناهي. توهان پڇي سگهو ٿا، هو ڪٿي هليو ويو؟ ڇا اهو اتر، ڏکڻ، اوڀر، يا اولهه آهي؟ ساڳئي طرح، جيڪڏهن توهان چئو ٿا ته توهان 200 N جي قوت سان ٽيبل کي دٻايو ٿا.

توهان ڪٿي گاڏي هلائيندا آهيو؟ خير، اهڙين مقدارن کي ویکٹر مقدارون چيو ويندو آهي، جن کي شدت ۽ هدايت جي وضاحت جي ضرورت هوندي آهي. ویکٹر مقدارن جون مثالون بي گھرڻ، تيزي، تسلسل، رفتار ، وغيره آهن. توهان ان کي وڌيڪ واضح طور تي سمجهي سگهو ٿا جڏهن انهن مقدارن سان لاڳاپيل مضمونن جو مطالعو ڪيو وڃي.

ب. هڪ ویکٹر ٺاهيو

ویکٹر کي تير سان ظاهر ڪيو ويندو آهي. تير هميشه اهڙي طرح ٺاهيو ويندو آهي ته اهو ویکٹر جي طرف اشارو ڪري. تير جي ڊيگهه کي ویکٹر جي شدت طور بيان ڪيو ويو آهي. مثال طور، 2 N جي شدت سان قوت (F) جي ویکٹر جي شڪل ۾ جنهن جو رخ اتر اوڀر يا x-محور جي چوڌاري 45 ^{o آهي.}

ج. ویکٹر جي مقدار لکڻ جا قاعدا

ویکٹر لکڻ ۾، جيڪڏهن توهان هٿ سان لکڻ استعمال ڪندا آهيو، ته ویکٹر جي علامت عام طور تي وڏن اکرن ۾ ترڪيب ۾ لکيل هوندي آهي، ۽ ان جي مٿان تير سان شامل ڪرڻ جي ضرورت هوندي آهي. ڇپيل ڪتابن لاءِ، ویکٹر جي علامتن کي وڏي اکرن ۾ بولڊ ۾ لکيو ويندو آهي، مثال طور، F. ویکٹر جي شدت لاءِ، جيڪڏهن اسان هٿ سان لکڻ استعمال ڪندا آهيون ته پوءِ ویکٹر جي شدت لکي ويندي آهي، مثال طور، |F|. ڇپيل ڪتابن لاءِ، ویکٹر جي شدت ترڪيب ۾ لکيل هوندي آهي، مثال طور ، F.

2. ویکٹرن جو اضافو - گرافڪ طريقا

گرافڪ طور تي ویکٹر شامل ڪرڻ جا ڪيترائي طريقا آهن، جن ۾ ٽيل-ٽو-ٽپ طريقو ۽ متوازي گرام طريقو شامل آهن.

الف. ویکٹر شامل ڪرڻ جو ٽيل-ٽو-ٽپ طريقو

ویکٹر A ۽ B سڃاتل آهن. ویکٹر A = 3 سينٽي ميٽر x-محور (اوڀر طرف) سان ٺهڪي اچي ٿو. ویکٹر B = 2 سينٽي ميٽر x-محور (اتر اوڀر طرف) ڏانهن 30 ^o جو زاويه ٺاهي ٿو . ٽيل-ٽو-ٽپ طريقو استعمال ڪندي گرافڪ طور تي A ۽ B شامل ڪريو. a) R = A + B b) R = A – B

نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر (R) جي شدت هڪ حڪمران جي استعمال سان ماپي ويندي آهي. نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هدايت هڪ پروٽريڪٽر جي استعمال سان ماپي ويندي آهي.

ڄاتل سڃاتل ویکٹر A، B، ۽ C. ویکٹر A = 3 سينٽي ميٽر x-محور (اوڀر طرف) سان ٺهڪي اچي ٿو. ویکٹر B = 2 سينٽي ميٽر x-محور (اتر اوڀر طرف) ڏانهن 30 ^{o جو زاويه ٺاهي ٿو. ویکٹر C = 1 سينٽي ميٽر x-محور (اتر اوڀر طرف) ڏانهن 60 o} جو زاويه ٺاهي ٿو . ٽيل-ٽو-ٽپ طريقو استعمال ڪندي گرافڪ طور تي A، B، ۽ C شامل ڪريو.

الف) آر = الف + ب + سي

ب) آر = الف – ب – سي

نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر (R) کي هڪ رولر استعمال ڪندي ماپيو ويندو آهي. نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هدايت کي پروٽريڪٽر استعمال ڪندي ماپيو ويندو آهي.

ب. متوازي چترڪاري جو طريقو

ڄاتل سڃاتل ویکٹر A، B، ۽ C. ویکٹر A = 3 سينٽي ميٽر x-محور (اوڀر طرف) سان ٺهڪي اچي ٿو. ویکٹر B = 2 سينٽي ميٽر x-محور (اتر اوڀر طرف) ڏانهن 30 ^o جو زاويه ٺاهي ٿو. ویکٹر C = 1 سينٽي ميٽر x-محور (اتر اوڀر طرف) ڏانهن 60 ^{o جو زاويه ٺاهي ٿو. متوازي گرام استعمال ڪندي A، B، ۽ C کي گرافڪ طور تي شامل ڪريو.}

الف) آر = الف + ب

ب) آر = الف – ب

ج) آر = الف + ب + ج

د) آر = الف – ب – ج

نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر (R) کي هڪ رولر استعمال ڪندي ماپيو ويندو آهي. نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هدايت کي پروٽريڪٽر استعمال ڪندي ماپيو ويندو آهي.

3. ویکٹرن جو اضافو - الفتجزياتي طريقو

گرافڪ طريقي سان نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي شدت ۽ هدايت جو تعين ڪرڻ هڪ طريقو آهي. نتيجن جي درستگي توهان جي درستگي ۽ پيمانو ڊرائنگ ۽ پڙهڻ ۾ درستگي تي منحصر آهي. نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي شدت ۽ هدايت رياضياتي حسابن ذريعي وڌيڪ صحيح طور تي حاصل ڪئي ويندي آهي.

الف. ڪوسائن قاعدي جي استعمال سان 2 ویکٹرن جي رقم جو حساب ڪرڻ

نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي شدت کي طئي ڪرڻ جو فارمولو:

نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هدايت کي طئي ڪرڻ جو فارمولا:

سي = نتيجو ڪندڙ ویکٹر

الف = ویکٹر 1

ب = ویکٹر 2

cos ∠(A, B) = ویکٹر A ۽ B سان ٺهيل زاويه

نموني مسئلو 1:

F ₁ = 2 N، x-محور جي چوڌاري 30 جو زاويه ٺاهي ٿو، F ₂ = 3 N ، x-محور جي چوڌاري 60 ^o جو زاويه ٺاهي ٿو ، θ = 30 ^o.

نموني مسئلو 2:

F ₁ = 2 N x-محور سان ٺهڪي اچي ٿو، F ₂ = 3 N x-محور جي چوڌاري 90 ^o جو زاويه ٺاهي ٿو ، θ = 90 ^o.

ب. حصن جي لحاظ کان ویکٹر شامل ڪرڻ

هڪ ویکٹر F جو جائزو وٺو جيڪو x-محور جي چوڌاري هڪ خاص زاويه ٺاهيندو آهي، جيئن هيٺ ڏنل شڪل ۾ ڏيکاريل آهي. F _x ۽ F _y ویکٹر F جا جزو ویکٹر آهن.

جزو ویکٹر جي شدت فارمولا استعمال ڪندي طئي ڪئي ويندي آهي:

ايف _ايڪس = ايف ڪوس θ

ايف _وائي = ايف گناهه θ

ٻن ویکٹرن F جو جائزو وٺو.₁ ۽ ايف₂ جيڪو x-محور جي چوڌاري هڪ خاص زاويه ٺاهيندو آهي، جيئن هيٺ ڏنل شڪل ۾ ڏيکاريل آهي. F_1x ۽ ايف_1y ویکٹر ايف جا جزا آهن₁، تنهنڪري ايف_2x ۽ ايف_2y ویکٹر ايف جا جزا آهن₂.

جزو ویکٹر فارمولا استعمال ڪندي طئي ڪيو ويندو آهي:

F_1x = ڀ₁ ڪوس θ

ايف _1y = ايف ₁ گناهه θ

ايف _2x = ايف ₂ ڪوس θ

ايف _1y = ايف ₁ گناهه θ

جزو ویکٹر شامل ڪرڻ:

ف _x = ف _1x + ف _2x

ف _و = ف _{1 و} + ف _{2 و}

نتيجو ڪندڙ ویکٹر فارمولا استعمال ڪندي طئي ڪيو ويندو آهي:

نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هدايت فارمولا استعمال ڪندي طئي ڪئي ويندي آهي:

نموني مسئلو 1:

ویکٹر F جا جزا معلوم ڪريو جن جي شدت 20 N آهي ۽ x-محور جي چوڌاري 30 ^{o جو زاويه ٺاهيو.}

F _x = (20 N) (cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

نموني مسئلو 2:

F ₁ = 20 N ، x-محور جي چوڌاري 30 ^o جو زاويه ٺاهي ٿو ۽ F ₂ = 15 N، x-محور جي چوڌاري 180 o جو زاويه ٺاهي ٿو. نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي شدت ۽ هدايت جو تعين ڪريو.

ايف _1x = (20 ن) (30 ^او جي ڪري ) = 17 ن

ايف _2x = ايف ₁ = – 15 ن

F _1y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

ف _2y = 0

جزو ویکٹر شامل ڪرڻ:

ف _x = ف _1x – ف _2x = 17 ن – 15 ن = 2 ن

فائي _وائي = 10 ن

نتيجو ڪندڙ ویکٹر:

ف ₂ = ف _x ² + ف _y ² = 2 ² + 10 ² = 4 + 100 = 104

F = 10.2N

نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هدايت:

θ = ٽين −15 = 78.7 ^o ايڪس محور جي چوڌاري

نموني مسئلو 3:

F₁، ف_2, ۽ ايف₃ 20 N، 30 N ۽ 40 N آهن. F₁ 60 جو زاويه ٺاهي ٿو^o ايڪس محور بابت، ايف₂ 150 جو زاويه ٺاهي ٿو^o ايڪس محور بابت، ۽ ايف₃ 315 جو زاويه ٺاهي ٿو^o x-محور بابت. نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي شدت ۽ هدايت جو تعين ڪريو.

ايف _1x = (20 ن) (60 ^او جي ڪري ) = 10 ن

F _1y = (20 N) (sin 60 ^o ) = 17 N

ايف _2x = (30 ن) (ڪائنس 30 ^او ) = -26 ن

F _2y = (30 N) (sin 30 ^o ) = 15 N

ايف _3x = (40 ن) (45 ^او جي ڪري ) = 28 ن

F _3y = (40 N) (sin 45 ^o ) = -28 N

جزو ویکٹر شامل ڪرڻ:

ف _x = ف _1x – ف _2x + ف _3x = 10 ن – 26 ن + 28 ن = 12 ن

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

نتيجو ڪندڙ ویکٹر:

ف ² = ف _x ² + ف _y ² = 12 ² + 4 ² = 144 + 16 = 160

F = 13N

نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هدايت:

θ = ٽين ⁻¹ 0.3 = 17 ^o ايڪس محور جي چوڌاري